Диссертация (1143817), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Алгоритмы расстановкиоснованы на многократном разделении массива на квадранты с последующим ихперемешиванием.Такимобразом,удаётсядобиться«случайного»вкладасистематической ошибки в значение взвешивающего элемента. Впервые данный былприменён при разработке широко известной методики «Q2 Random walk», предложеннойв [2.6]. Отмечалось, что данная методика позволила скомпенсировать не тольколинейную, но квадратичную составляющую систематической ошибки, что было слабымместом методик из первых двух групп, так как они эффективно компенсировали тольколинейную составляющую систематической ошибки.
Однако данная методика не имелаобобщения на произвольную разрядность, что сильно ограничивало её применимость.Поэтому в работе [5.2] было предложен обобщённый подход «QN Rotated Walk», так жепозволяющийкомпенсироватьлинейнуюиквадратичнуюсоставляющиесистематической ошибки.Методики, показанные в работах [5.4, 5.19, 5.20], можно объединить в группу «сполным распределением». Отличительная черта данных методик в том, что каждыйвзвешивающий элемент разбивается на 2N-1 и более частей. Такое большое число частейпозволяет разместить части каждого взвешивающего элемента в каждой строке и каждомстолбце. Такие методики редко встречаются и не имеют чётких описаний своих свойств.Однако один их недостаток очевиден: с точки зрения разработки топологии, такоеколичество частей взвешивающего элемента, фактически, эквивалентно удвоениюразрядности ЦАП, а значит и сложности разработки.Так как в литературе отсутствует детальный сравнительный анализ указанных группметодик, как при различных разрядностях ЦАП, так и с точки зрения эффективности поснижению DNL и INL, в данный работе будет такой анализ проведён.5.3 Анализ методик5.3.1 Методики «строка-столбец»93Существует всего несколько работ, в которых предпринимались попыткианалитического обоснования эффективности методики [5.8, 5.19].
Проведём анализвлияния методики «строка столбец» из [2.2] на нелинейность ЦАП. Для матрицы из этойметодики справедливы следующие соотношения:2 = + 1 − 2−1 ↔ +2 = + 1 − +2−1 , = 1. . , = 0. . − 122+ = + 1 − (2+1)+ , = 0. . − 1, = 1. . 2Где xi и yi – номер строки и номер столбца i-го взвешивающего элемента, v – размерностьматрицы. Можно заменить для этих соотношений следующие свойства:2∑ + = ( + 1), = 1. .=122−1∑ + = ( + 1), = 1. .=02Произвольный входной код D можно представить в виде: = + .Тогда для линейной аппроксимации систематической ошибки значение характеристикипреобразования T для входного кода D можно записать в виде:−1 = ∑ ∑ 1 + ( (+ − ) + (+ − )) + ∑ 1 + ( (+ − ) + (+ − ))= =1=1−1 = + + ∑ ∑ ( (+ − ) + (+ − ))= =1+ ∑ ( (+ − ) + (+ − ))=1−1 = + ∑ ∑ ( (+ − ) + (+ − ))= =1+ ∑ ( (+ − ) + (+ − ))=1Компенсация будет происходить, когда выполняются оба замеченных свойства, тоесть когда a = 2k-1, b = v.
При этом = (2 − 1) + = · 2Тогда:942−1 = + ∑ ∑ ( (+ − ) + (+ − ))= =12−1 2−1 = + ( ∑ ∑ + − ) + ( ∑ ∑ + − )=0 =12−1 =0 =1 2−1= + ( ∑ ∑ + − ) + (∑ ∑ + − )=0 =1=1 =02−1=0=1= + ( ∑ ( + 1) − ) + (∑ ( + 1) − )2= + (2 ( + 1) − ) + (( + 1) − )2= + (( + 1) − ) + (( + 1) − )= + ( ( + 1) − ) + ( ( + 1) − )22+1+1= (1 + (− ) + (− ))22Получили, что значение характеристики преобразования не зависит от координатвзвешивающих элементов, только от параметров систематической ошибки.
Такимобразом, для кодов кратных 2v линейная составляющая систематической ошибки будетполностью скомпенсирована. Таким образом, можно сказать, что методики «строкастолбец» способны лишь частично (для некоторых кодов) компенсировать линейнуюсоставляющую систематической ошибки.5.3.2 Методики «с общим центром»Рассмотрим влияние линейной составляющей на значение взвешивающегоэлемента для методик «с общим центром». Пусть для наглядности взвешивающийэлемент разбит на 4 части.
Тогда выразим координаты всех частей взвешивающегоэлемента через координаты одной части (x1; y1) и размерность массива v:2 = 1 ; 2 = − 1 ;3 = − 1 ; 3 = 1 ;4 = − 1 ; 4 = − 1 ;95Можно заметить, что:44∑ = 1 + 2 + 3 + 4 = 2; ∑ = 1 + 2 + 3 + 4 = 2.=1=1Подставим координаты частей в выражение для значения взвешивающего элемента:441(1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 ) = ∑ + , ( , ) = 1 + ∑ ( ( − ) + ( − )) =4=1=144= 1 + ∑ ( − ) + ∑ ( − )=1=144= 1 + ∑ + ∑ − 4 − 4 == 1 + 2 · + 2 · − 4 − 4=1=1Получили, что значение взвешивающего элемента зависит только от параметровсистематической ошибки и не зависит от координат его частей.
Тогда значения всехвзвешивающихэлементовбудутодинаковыивкладлинейнойсоставляющейсистематической ошибки в нелинейность ЦАП будет полностью скомпенсирован.5.3.3 Методики «с полным распределением»Рассмотрим также случай методики из группы с «полным распределением». Длятаких методик взвешивающий элемент разбит на M = 2N частей и значениевзвешивающего элемента можно записать в виде:=1=11(1 , … , , 1 , … , ) = ∑ + ( , ) = 1 + ∑ ( , ).Рассмотрим второе слагаемое отдельно. Возьмём член аппроксимации систематическойошибки произвольного порядка p:∑( (=1− )+ (− ) )=∑ (=1− ) + ∑ ( − ) ,=1Где axp, ayp, bxp, byp – параметры составляющей систематической ошибки p-го порядка.Для любой методики из группы с «полным распределением» части взвешивающихэлементов распределены так, что присутствуют в каждой строке и каждом столбце.
Тоесть координаты xi и yi любого взвешивающего принимают все значения из диапазона от961 до v, где v – размерность матрицы, равная 2N/2. Тогда каждая из сумм будет равнаконстанте, не зависящей от конкретного способа размещения частей, а значит и номеравзвешивающего элемента; сумма будет зависеть только от параметров систематическойошибки. Обозначим этим константы:∑ (=1− )+ ∑ ( − ) = + =1Если аппроксимацию не ограничивать членами первого и второго порядков, азаписать в виде бесконечного ряда, то получим:∞(1 , … , , 1 , … , ) = 1 + ∑( + ).=1Так как αp и βp не зависят от конкретного способа размещения частей и номеравзвешивающего элемента, то и значение взвешивающего элемента не будет от нихзависеть и будет одинаковым для всех взвешивающих элементов.
Таким образом, вкладсистематической ошибки в нелинейность будет полностью компенсирован. Иначеговоря, методики из группы «с полным распределением» одинаково эффективны дляаппроксимации любого порядка, если оси ориентации систематической ошибкисовпадают с осями массива, как показано на рисунке 5.5.Рисунок 5.5 –Однако для аппроксимаций второго и более высоких порядков важна ориентацияотносительно осей массива. Например, на рисунке 5.6 показан вид кубическойаппроксимации, совпадающей с осями массива.
На рисунке 5.7 показана эта же97аппроксимация под углом в 45°, а на рисунке 5.8 показаны сечения этой аппроксимациив плоскости XOZ при y = 0 и y = 1. Видно, что в этих сечениях вид аппроксимацииразличные, то есть значение ошибки будет зависеть уже не только от координаты x илиy, но и от их комбинации.Рисунок 5.6 –Рисунок 5.7 –98Рисунок 5.8 –Если предположить, что систематическая ошибка имеет угол α по отношению ккоординатным осям, то его можно представить, как поворот координат взвешивающихэлементов. Тогда Координаты взвешивающих элементов можно рассчитать по формулам: ′ = cos − sin ; ′ = sin + cos Рассмотрим, что происходит при этом со значением взвешивающего элемента. Нетеряя общности, достаточно проанализировать лишь, что произойдёт со следующейсуммой:∑ =1после поворота массива на угол α.∑ ′=1= ∑( cos − sin ) ==1−1 = ∑( cos ) + ∑(− sin ) + ∑ ∑ ( cos ) (− sin )− ==1=1=1 =1−1 = ∑( cos ) + ∑(− sin ) + ∑ ∑(−1)− ( cos ) ( sin )−=1=1=1 =1−1 = ∑( cos ) + ∑(− sin ) + ∑ ∑(−1)− · (, , )=1=1=1 =199(, , ) = ( cos ) ( sin )−Как уже обсуждалось ранее, первые два слагаемых будут константами.
Третьеслагаемое будет зависеть от координат частей, то есть способа их размещения. А значитпри несовпадении осей полной компенсации происходить не будет.Рассмотрим, что произойдёт, если массив, как на рисунке 5.9а, зеркально отразитьотносительно одной оси, как на рисунке 5.9б, или двух осей, как на рисунке 5.9в, что ипредложено в методике ZC.123412342143341243212143341243214321341212344321214334123412214343211234а)21431234123443212143341234122143б)4321123443211234341221432143341212344321в)Рисунок 5.9 – Массив (а) исходный, (б) с отражение по одной из осей, (в) с отражениемпо обеим осямЕсли отражение произошло относительно одной оси, то у каждой части (xi; yi) естьсимметричная (-xi; yi) или (xi; -yi).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
