Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(13.19?) Так как в(х) симметрична относительно нуля, то при сближении альтернативы с гипотезой, т. е. при малом а, имеем 1см. (13.189) ) 1 !" в (г — а) о(г =- — + ав(0)+0 (а). о 2 Далее заменяя у=а — г ~и разлагая функцию Р~(у — 2а) в ряд Тей- лора по степеням малого параметра а, получаем Р, ( — г — а) в (г — а) о(г = ) Р, (у — 2а) в (у) о(у = [Р, (у) — 2 ав (у) + 0 (а)) в (у) о(у = — С 1 — — 2а ) в' (у) о!у+О (а).
2 374 При п»1 из (13.194) и (13.195) получим 7и~(5о(х) )Н) ио)4, ро(5л(х) )Н) по/12. (13.196) Для определения среднего значения статистики 5„(х) при альтернативе К обратимся к формуле (13.193а). Двойная сумма содержит и членов при 1=1 и п(п — 1)/2 членов при 1Ф11 Статистика 5„(х) равна числу тех случаев, когда хо+х,)0. Следовательно, при альтернативе К т, (5„(х) ) К) = иР (х; ) 0(К) + + В(о ') Р(х,+хт»О!К),1,1'=1,и,(му'. 2 Подставляя полученные выражения в (13.197), находим при п»1,и аУп=сопз( для альтернативы К и, [Я„(х) [К) —" + а' а [ !сз (у) ду.
(13. 198а) Можно показать, что при тех же условиях для альтернативы К р~(5 (х) (К) -а'/12 (13.198б) т. е. для дисперсии статистики 5 (х) асимптотические соотношения для гипотезы и для альтернативы совпадают [см. (13.!96)). 13.8.11. Асимптотическая характеристика линейного знаково- рангового алгоритма. При конечных размерах выборки определить распределение статистики 5„(х) трудно (см. [421). Но эта статистика удовлетворяет условиям применимости центральной предельной теоремы и, следовательно, она асимптотически нормальная и при гипотезе Н, и,при альтернативе К.
Параметры асимптотически нормального распределения определяются,по формулам (13.196), (13.'198а, б). Таким образом, для алгоритма (13.193) получим следуюшие асимптотические формулы вероятностей ошибок первого и второго рода: а = 1 — Р[(с — и'!4)1~/п'1~2 ][, !=к[(,— — "' —, ! ~ь!а„!! ° ~ — "'1, сз~99ч 4 /[ ~l !2! где Р(з) — интеграл Лапласа. При заданной вероятности а ошибки первого рода из (13.199а) находим в алгоритме (13.193) порог (13.
199а) с= — [х„)à — + [,à — ) (13.200) 13.8.12. Относительная эффективность линейного знаково-рангового алгоритма. Из (13.201) и (13.188) определяем КАОЭ линейного знаково-рангового алгоритма (13.193) по отношению к линейному (13.185) / ~ 3 р = 12о' ~ [ пз(у)г[у) 60 (13.202) где ш(х) =и( — х) — произвольная симметричная плотность ве- роятности и о' — дисперсия, которая предполагается ~известной.
375 где х — процентная точка стандартного нормального распределения. Подставляя (13.200) в (12.199б), вычисляем асимптотическую характеристику линей~ного знаково-рангового алгоритма (13.193) М х,„— х, в='у'12а'а [ !с'(у) !(у. (13.201) О Таблица 13.2 Рлспределеяяе Нормальное Лапласовское равномерное Синусоиды со случайной фазой 1,5 0,75 3 0,995 1,5 ! нг(х) = (1 — ), 0,884 1,94 (к! < о рг5 ' Легко видеть, что минимум функционала ) глз(у)ау при заданном о' и услозняк неотрицательностн н нормировки м(з) достигается для ю(у) =Ь вЂ ау-", )у!» )г Ь)о, Ь>0, а>0.
Константы а и Ь определяются нз условий тЫа з'ь)а 2 ) узнг (у) г(у= он 2 ) го (у) г(у = 1. о о 378 Если ш(х) — плотность нормального распределения, то юз(у)гйу= (4ло') н' и из (13.202) следует, что р!=3)я=0,955, т. е. при указан~нем условии эффективность линейного знаково- рангового алгоритма близка к эффективности оптимального линейного алгоритма. Такое существенное повышение эффектнвностзи по сравнению со знаковым алгоритмом (см.
(13.190)] в этом случае достигается, конечно, за счет усложнения алгоритма. В то время, как число операций для знакового алгоритма (13.176) растет линейно в зависимости от размера выборчои, число операций в знаково-ранговом алгоритме пропорционально квадрату размера выборки. В табл. 13.2 указаны значения коэффициента рг асимптотической относительной эффективности знаковонранго~вого алгоритма по отношению к линейному для тех же распределений, которые были приведены в п. 13.8.7. В последней строке приведено наименее благоприятное распределение, для которого коэффициент р! достигает наименьшего значения'. При всех других распределениях рг)0,864.
В табл. 13.1 приведены также значения КАОЭ знаковолрангового алгоритма (!3.193) по отношению к знаковому (13.176). При этом использовано соотношение рз = рг/р '[см. (13.162а), (!3.190) и (13.202)!. Только при лапласовском распределении эффективность знаково-рангового алгоритма меньше эффективности знакового. Используя рассуждения, приведенные в конце п. 13.8.7, приходим к выводу, что формула (13.202) остается справедливой и для КАОЭ рассматриваемого знаково-рангового алгоритма по от- ношению к равномерно наиболее мощному алгоритму (13.104) для проверки гипотезы о среднем нормального распределения. Для некоторых классов распределений вероятностей можно по- выоить эффективность алгоритма проверки гипотез о симметрии, если ,использовать более сложные знаково-ранговые статистики.
Таким алгоритмом является, например, знаково-ранговый алго- ритм Ван-дер-Вардена л 7 р+ з т, 2. Š— ' ~ — + — — ' ) и (х;) с, (13. 203) 2 2 с+1 т, где Г '(г) — функция, обратная интегралу Лапласа. тз.в. лнллоговык ллгогитмы ш'овкгки гипоткв 13.9.1. Постановка задачи. Ранее предполагалось, что исходной для статистических выводов является дискретная выборка— результат временной дискретизации наблюдаемой реализации случайного процесса.
Однако при такой дискретизации часть полезной информации неизбежно теряется. Поэтому представляют интерес аналоговые алгоритмы проверки гипотез, использующие непрерывно наблюдаемые реализации. Задача проверки гипотез в этом случае формулируется следующим образом. Рассматриваются два случайных процесса Хо(1) и Х,(1).
На интервале длительностью Т наблюдается реализация х(1), относительно которой выдвигается гипотеза Но, что х(1)еиХО(1), против альтернативы Н„что х(1)~Х~(1). Пространством наблюдений является функциональное пространство непрерывных функций. Задача состоит в принятии одного нз двух решений: тр — верна гипотеза Н, или у, — верна альтернатива Н,, Аналоговый алгоритм при|нятия решения предписывает сравнение с порогом функционала у[х(1)1 от наблюдаемой реализации, Оптимальный алгор~итм обусловлен заданным критерием качества. В приведенной постановке зад~ачи отсутствует один из важнейших элементов комплекта априорных данных — вероятностная мера на пространстве наблюдений, без которой, как показывают приведенные результаты,,невозможен синтез алгоритма проверки гипотез. Строгое в математическом отношении введение понятия вероятностной меры на функциональном пространстве,наблюдений выходит за рамки настоящей книги (см., например, 110), (46)), Приведем лишь результаты, необходимые для решения поставленной задачи.
Заметим прежде всего, что невозможно указать содержательный смысл используемого некоторыми авторами формального перехода к пределу при и- ос в функции правдоподобия К„(хь ... ..., х„) дискретной выборки для введения понятия так называемого функционала правдоподобия ))7(х(1)1. Такого предела просто не существует. Предельный переход возможен лишь для статистики отношения правдоподобия. 377 13.9.2. функционал отношения правдоподобия. Пусть последовательности конечномерных:непрерывных плотностей вероятности )е'„(хь ..., х„, 1ы ..., 1 ]Но) и В'„(хь ..., х„, 1ь ..., 1„]Н1) удовлетворяют условиям (4.5а и б), необходимым и достаточным для существования случайных процессов Хо(1) и Х,(1).
Для проверки гипотезы Н, против альтернативы Н, можно вместо дискретной выборки х= (хь ..., х„), х;=х(1»), 14~(0, Т) использовать непрерывно наблюдаемую реализацию х(1). Эта возможность базируется на фундаментальной теореме, согласно которой при определенных условиях существует предел по вероятности при и-~-со отношения правд!»подобия х о («г ... ° «в г» ... га)н:) 1 [х (1)) ( ! 3.204) л-+ )" а 1«»» «в т» „. тп!7 а) Предел (!3.204) называется функционалом отношения правдо- подобия наблюдаемой реализации х(1). Следуя Гренадеру [47], случай, для которого функционал отношения правдоподобия О( (1(х(1)] <оо, называют, регулярным. При других условиях фун- кционал отношения правдоподобия с вероятностью единица не- ограниченно возрастает или обращается в нуль, что соответству- ет вырожденному (или сингулярному) случаю'. Как и для дискретной выборки, в дальнейшем будет рассмат- риваться логарифм функционала отношения правдоподобия !п1[х(1)]. Тогда в сингулярном случае ]!п1(х(1)]] неограничен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
