Диссертация (1137920), страница 22
Текст из файла (страница 22)
То естьриск-нейтральная вероятность, что компания j обанкротится в промежутке, равна.Цена корпоративной облигации обозначается, где третийаргумент – размер купона, а четвертый – норма возмещения (долю ценыоблигации,выплачиваемойпридефолте).Ценатакойоблигацииопределяется ожиданием скорректированной кумулятивной процентнойставки в интервале (t, T). Данная скорректированная ставка равна.Цена корпоративной облигации равна:.Спецификация процесса, предложенная в работе [53], предполагает,что он моделируется как однофакторный стохастический процесс плюс двачлена, отвечающих за корреляцию с процессом безрисковой процентнойставки:,где:.По риск-нейтральной вероятности данное выражение записываетсяследующим образом (при спецификации цены риска какриск-нейтральной диффузии каки):.Данная спецификация позволяет представить в понятном виде триважных свойства спреда доходности корпоративных облигаций.
Спреддоходности колеблется стохастически совместно с колебаниями финансовойустойчивости компании. Спецификация процессаописывает данныеколебания. Обеспечивается положительный спред даже для самых надежныхэмитентов с помощью постоянного члена. Предусмотрена возможностькорреляции спреда доходности и колебаний во временной структуре135безрисковойпроцентнойставки.Теоретическоеобоснованиеданнойзависимости представлено в работе [93]. Данная зависимость обеспечиваетсяс помощью коэффициентови, стохастические процессы задаютсянезависимыми. Данная спецификация позволяет найти решение уравненийцен облигаций, а доходности описываются линейной зависимостью отпеременных,и.Спецификация Дай-СинглтонКлючевое преимущество модификации Даффи состоит в возможностиоценить переменные безрисковой ставки лишь с помощью наблюдений поценам казначейских (государственных) облигаций.
При этом, в динамикеспреда присутствует идиосинкратический фактор (переменная) идопускается отрицательная корреляция между безрисковой ставкой ивероятностью дефолта. Однако единственный канал реализации такойзависимости – через отрицательные коэффициентыв динамике спреда.Действительно, эмпирический анализ в [53] показал, что некоторые из нихотрицательны, в результате чего интенсивность дефолта может оказатьсяотрицательной, приводя к противоречию (вероятность не может бытьотрицательной).Выявленная проблема связана не с конкретной спецификацией модели,а имеет более общий характер: в рамках предложенной модели невозможноодновременно обеспечить положительную интенсивность дефолта иотрицательную корреляцию процесса безрисковой ставки и вероятностидефолта.
Эту особенность обнаружили в работе [43], где приводитсяследующее объяснение. Для согласованности модели недиагональныеэлементы матрицыне должны быть положительными, что непозволяет в рамках предложенной модели обеспечить отрицательнуюкорреляцию между любыми переменными состояния.
То есть единственнымканаломреализациитакойотрицательные коэффициентыотрицательнойили .136взаимосвязиявляютсяВ той же работе [43] утверждается, что большую гибкость моделиможно придать за счет спецификации корреляции между переменнымисостоянияпосредствомналожения дополнительных ограниченийназависимость их условной дисперсии от значения этих переменных.Например, динамику переменных состояния (факторов) можно задатьследующим процессом:,гдеисоответствуют описанию в предыдущей версии динамикиа новый элемент,позволяет задавать зависимость дисперсии переменныхсостояния от значения других факторов ( ) и представлен матрицойразмерности, а элементы диагональной матрицыравны:,,,где коэффициентыстрого положительны.Также предполагается, что динамика безрисковой ставки описываетсятремя факторами, а спред двумя:,,причем все коэффициенты,,,,также строго положительны.Дай К., Синглтон К.
[43] показывают, что для такой спецификациинаиболее гибкая и приемлемая форма аффинной модели срочной структурыхарактеризуется следующими параметрами,и :,где недиагональные элементы матрицыне положительные.Два важных свойства такой спецификации необходимо отметить. Вопервых,процессспредастрогоположительный,таккакзадаетсяположительной аффинной функцией. В то же время, не накладываются137ограничения на знаки элементови, так что допускаетсяотрицательная взаимосвязь третьего фактора с первыми двумя. Какрезультат, отрицательная корреляция между безрисковой процентнойставкой и интенсивностью дефолта.
Однако, принимая во внимание такуюотрицательную зависимость между переменными состояния, параметрымодели необходимо оценивать одновременно по государственным икорпоративным облигациям.Вместе с тем, возможна такая спецификация, при которой можнообеспечить раздельную оценку двух процессов, сохраняя условие оботрицательнойкорреляции.следующие условия.Вчастности,предлагаетсярассмотреть, так чтоможно рассматривать какидиосинкратический фактор спреда, а– специфический факторбезрисковой процентной ставки. Также,и. Тогда:процессбезрисковой,,,Врамкахтакой.спецификациимоделипроцентной ставки задается двухфакторной аффинной моделью от,параметры которой могут быть оценены исключительно по наблюдениям ценгосударственных облигаций, то есть нет необходимости одновременногооценивания параметров безрисковой ставки и спреда доходности.Наблюдения по корпоративным облигациям нужны только лишь дляоценки параметров первого фактораи динамики спреда.
Вместе с тем,предложенная параметризация отличается и рядом недостатков. Ненулевойкоэффициентобусловливает положительную корреляцию междуоднако, по условиям моделии ,не может быть положительным. С другойстороны, отрицательная корреляция междуипредполагается, если. Также по определению модели интенсивность дефолта строго138положительна.Необходимоотметить,чтопредложеннаяавторамипараметризация модели задает определенные ограничения в распределении, которые могут не отражать реальные экономические закономерностии не подтверждаться фактическими наблюдениями на рынке.
Например,отрицательная корреляция междуиограничена допущением о нулевом.Дай К., Синглтон К. [43] изучали также структурные отличия икачество аффинных моделей срочной структуры. В их работе отмеченкомпромисс между гибкостью спецификации межфакторной корреляции иусловной волатильностью (или дисперсией) каждого отдельного фактора.Они обнаружили, что отдельные типы аффинных моделей лучше другихописывают историческую динамику срочной структуры ставок, чтоподчеркивает важность определения оптимальной формы модели наразвивающихся рынках облигаций.В спецификации модели авторы отмечают ключевую роль формыусловной дисперсии, которая сохраняла бы возможность оценки такоймодели.
В частности, для процессов с коррелирующими дисперсиями,кратными квадратному корню отдельных факторов, должно выполнятьсяусловие, что подкоренное выражение положительно. Это условие недопускает отрицательной корреляции между диффузионными процессамидвух факторов и может быть опущено в случае, если коэффициент приуровневлияющегофактораравеннулю(тоестьпренебрегаетсязависимостью между дисперсией одного фактора и уровнем другого).На примере трехфакторной аффинной модели авторы показалипреимущества и недостатки каждого из типов такого класса моделей взависимости от спецификации условной дисперсии факторов. Одной изосновополагающих моделей такого класса – модель Васичека [115], вкоторой предполагаются независимые диффузии и гауссовские дисперсии, тоесть независящие от каких-либо факторов модели.139Наиболее простая аффинная модель с ненулевой условной дисперсиейдопускаетвлияниеодногоизфакторовнадисперсииостальных.Спецификация может быть сформулирована так, что каждый из факторовобладает определенной экономической сутью или интерпретацией.
Врасширенном (неограниченном, базовом) варианте ее можно записать вследующем виде (динамику факторов модели):,,Если в качестве частного случая рассмотреть данное выражение с темлишь исключением, что переменные в квадрате равны нулю, экономическаяинтерпретация становится очевидной. Первый фактор выступает в роливолатильности процентной ставки, так как влияет на динамикутолькочерез ее условную волатильность и не влияет на дрифт процентной ставки.Второй фактор можно рассматривать как долгосрочное среднее процентнойставки, то есть тот уровень, к которому в долгосрочном периоде стремитсяпроцентная ставка со скоростьограниченияозначаютдинамикой текущей(коэффициент конвергенции). Наложенныеследующее.Исключаетсякорреляциямеждупроцентной ставки и долгосрочным значениемпроцентной ставки, к которому она стремится. Исключается влияниеволатильности на динамику долгосрочного среднего процентной ставки, атакже эффект волатильности на дрифт процентной ставки.Для большей наглядности и удобства анализа различных вариантовспецификации модели типа аффинных можно использовать другой форматзаписи, а именно: отобразить процентную ставку как сумму исходных140переменныхсостояния(факторов),аихдинамикувматричномпредставлении.,где:,,.Авторы рассматривают также вариант с максимальным влияниемфакторов на дисперсию, то есть аффинная модель класса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
