Автореферат (1137393), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Если γ > p(1 + θ ) I ( L) , то функция R u (φ ) –~~кусочно-монотонная и min R u (φ ) = Ru (0) = p(1 − F (γ + L − p(1 + θ ) I ( L) )) .Заметим, что p(1 + θ ) I ( L) – это стоимость страхования без франшизы и снекоторым пределом ответственности L . Значение франшизы φ = L означаетотсутствие страхования, потому что все риски остаются на удержаниистрахователя.

Таким образом, если у страхователя достаточно средств, чтобыприобрести страховку без франшизы с каким-либо пределом ответственности,то ему выгоднее сделать это. Если при этом можно выбирать не только уровеньфраншизы, но и предел ответственности, то оптимальным будет выбормаксимально возможного предела ответственности (теорема 2). Если жестрахование без франшизы слишком дорого при любом допустимом пределеответственности, то оптимальным является отказ от страхования.В третьей части главы исследуется задача определения оптимальногоуровня собственного удержания при эксцедентном перестраховании.

Решениеэтой задачи получено для обеих моделей страховых рисков.Общие затраты страховой компании складываются из случайнойвеличинысуммарныхстраховыхвыплатификсированнойстоимостиперестрахования. При эксцедентном перестраховании чем больше ущербовпередается на перестрахование (меньше уровень собственного удержания), темвыше ожидаемые затраты страховой компании, с одной стороны, но нижедисперсия страховых выплат, а значит и риск больших убытков, с другойстороны. В результате существует уровень собственного удержания r ,12обеспечивающий такие математическое ожидание и дисперсию затратстраховой компании, при которых ее надежность максимальна.Теорема 5.

Если для модели индивидуальных рисков выполняются условия:θI ( L)⎧⎪(L − pI ( L) )(1 − F ( L) ) − α + β (1 − p + pF ( L) ) < 0⎪,⎨ILθ()2⎪ I ( L) − pI ( L) −(L − pI ( L) ) < 02α +β⎩⎪то функция Rl (r ) является унимодальной и достигает своего максимума в точкеr * , где r * – это единственное решение уравнения⎛θI 2 ( r ) − rI ( r ) + ⎜⎜1 −⎝ α+β⎞⎟⎟ I ( L)(r − pI ( r ) ) = 0 , где⎠rr ∈ [0, L] ,I ( r ) = ∫ (1 − F ( x ))dx,0rI 2 ( r ) = ∫ 2 x (1 − F ( x ))dx .0В противном случае функция Rl (r ) является возрастающей и достигает своегомаксимума в точке r = L .Заметим, что значение r = L означает отсутствие перестрахования, так каквсе риски остаются на собственном удержании страховой компании.Приведенная система неравенств представляет собой условия на параметры,при выполнении которых перестрахование выгодно с точки зрения надежностистраховой компании. Трансцендентное уравнение на оптимальный уровеньсобственного удержания имеет единственное решение, которое можнополучить численно, используя стандартные методы решения уравнений.Аналогичные результаты получены в рамках модели коллективных рисков.Теорема 6.

Если для модели коллективных рисков выполняются условия:θ I ( L)⎧⎪ I 2 ( L) − α + β L < 0⎪,⎨⎪ L(1 − F ( L)) − θ I ( L) < 0⎪⎩α +βто функция Rl (r ) является унимодальной и достигает своего максимума в точкеr * , где r * – это единственное решение уравнения⎛θI 2 ( r ) − rI ( r ) + ⎜⎜1 −⎝ α+β13⎞⎟⎟ rI ( L) = 0 ,⎠гдеrr ∈ [0, L] ,I ( r ) = ∫ (1 − F ( x ))dx,0rI 2 ( r ) = ∫ 2 x (1 − F ( x ))dx .0В противном случае функция Rl (r ) является возрастающей и достигает своегомаксимума в точке r = L .Численные расчеты (проводимые с помощью разработанного в Matlabкомплекса программ) показывают, что перестрахование позволяет повыситьнадежность на 1-3%.

Получить такое повышение надежности при высоких еезначениях (например, с 97% до 99%) сложно, потому что функцияраспределения суммарных страховых выплат растет очень медленно в этомдиапазоне. Например, увеличение надежности с 97% до 99% с помощьюрисковой надбавки может потребовать двукратного увеличения стоимостистрахования, что негативно скажется на конкурентоспособности страховойкомпании.В третьей главе разработан подход к вычислению функции надежности приразрывной функции распределения выплат. В работе получена рекуррентнаяформуладляфункциираспределениясуммыстраховыхвыплатприэксцедентном перестраховании.

Формула позволяет разработать алгоритмпоследовательноговычисленияраспределениясуммарныхвыплат.Дляравномерного распределения ущерба из рекуррентной формулы выведена явнаяаналитическаяформулафункциираспределения.Основнаясложностьзаключается в том, что распределение выплаты в одном страховом случаеимеет разрыв в точке r вследствие перестрахования. Дискретная составляющаяраспределения серьезно усложняет задачу вычисления функции распределениядля суммы случайных величин.Обозначим функцию распределения выплаты в одном страховом случаепри эксцедентном перестраховании за F1 ( x) , а ее плотность вероятности за f1 ( x) :если x ≤ 0⎧0,⎪F1 ( x) = ⎨ F ( x), если 0 < x ≤ r .⎪1,если x > r⎩14Если при этом ущерб имеет равномерное распределение ( F ( x) = U ( x) ), то будемобозначать функцию распределения выплаты за U r ( x) :⎧0, если x ≤ 0⎪U ( x) = ⎨ x, если 0 < x ≤ r .⎪1, если x > r⎩rФункцию распределения суммы n независимых случайных величин, имеющихраспределение F1 ( x) , обозначим за Fn ( x) .Лемма 1.

Справедлива следующая рекуррентная формула для функции Fn ( x) :⎧0,⎪x⎪ f ( x − t ) F (t )dt ,n⎪∫0 1⎪x⎪Fn +1 ( x) = ⎨ ∫ f1 ( x − t ) Fn (t )dt + (1 − F1 (r )) ⋅ Fn ( x − r ),⎪x −r⎪ nr⎪ ∫ f1 ( x − t ) Fn (t )dt + F1 ( x − nr ) + (1 − F1 (r )) ⋅ Fn ( x − r ),⎪x −r⎪⎩1,если x < 0если 0 ≤ x ≤ rесли r ≤ x ≤ nrесли nr ≤ x ≤ (n + 1)rесли x > (n + 1)rТеорема 7. Функция Fn ( x) удовлетворяет следующей рекуррентной формуле:x⎧⎪ Fn1+1 ( x) = ∫ f1 ( x − t ) Fn1 (t )dt ,x ∈ [0, r ]⎪0⎪rx⎪ F 2 ( x) = f ( x − t ) F 1 (t )dt + f ( x − t ) F 2 (t )dt + (1 − F (r )) ⋅ F 1 ( x − r ),x ∈ [ r , 2r ]nnn1∫ 1∫r 1⎪ n +1x−r⎪⎪...⎪( k −1) rx⎪Fn +1 ( x) = ⎨ Fnk+1 ( x) = ∫ f1 ( x − t ) Fnk −1 (t )dt + ∫ f1 ( x − t ) Fnk (t )dt + (1 − F1 (r )) ⋅ Fnk −1 ( x − r ), x ∈ [(k − 1)r , kr ]x−r( k −1) r⎪⎪...⎪( n −1) rx⎪ nn −1n −1n⎪ Fn +1 ( x) = ∫ f1 ( x − t ) Fn (t )dt + ∫ f1 ( x − t ) Fn (t )dt + (1 − F1 (r )) ⋅ Fn ( x − r ), x ∈ [(n − 1)r , nr ]⎪( n −1) rx−r⎪nr⎪ F n +1 ( x) = f ( x − t ) F n (t )dt + F ( x − nr ) + (1 − F (r )) ⋅ F n ( x − r ),x ∈ [nr , (n + 1)r ]11nn∫ 1⎪⎩ n +1x−rЗдесь за Fnk ( x) обозначена функция Fn ( x) на отрезке [(k − 1)r , kr ] , или k-ячасть этой кусочно-непрерывной функции.15Лемма 2.

Если F1 ( x) = U r ( x) , то для n -й части ( x ∈ [(n − 1)r , nr ] ) функции Fn ( x)справедлива следующая формула:n− jn −1 ⎡i⎤ij ( x − ir )Fn ( x) = ∑ ⎢(− 1) Cni ∑ Ci j (r − 1)при x ∈ [(n − 1)r , nr ] .(n − j )! ⎥⎦i =0 ⎣j =0Теорема 8.

Если F1 ( x) = U r ( x) , то для k -й части ( x ∈ [(k − 1)r , kr ]) функции Fn (x)справедлива следующая общая формула:n− jk −1 ⎡i⎤ij ( x − ir )Fn ( x) = ∑ ⎢(− 1) Cni ∑ Ci j (r − 1)(n − j )! ⎥⎦i =0 ⎣j =0x ∈ [(k − 1)r , kr ].приПри r = 1 получаем известную формулу для равномерного распределения([Feller, 1950]10):U n ( x) =Спомощью1 k −1(− 1)i Cni (x − i )n при x ∈ [k − 1, k ] .∑n! i = 0найденнойформулыможнополучитьфункциюраспределения суммарных выплат страховой компании и вычислить ее в любойточке с заданной точностью.

Обозначим за GoU (x) функцию распределениясуммарных выплат страховой компании при эксцедентном перестраховании вслучае равномерного распределения ущерба.Теорема 9. В модели индивидуальных рисков справедлива формула:GoU ( x) =[x / r ]∑ CNn p n (1 − p )n=0N −n+N∑[Cn =[ x / r ] +1nNp n (1 − p )n− ji⎡⎤i ij ( x − ir )jFn ( x) = ∑ ⎢(− 1) Cn ∑ Ci (r − 1),(n − j )! ⎥⎦i =0 ⎣j =0k −1N −n]⋅ Fn ( x) , гдепри x ∈ [(k − 1)r , kr ].С помощью теоремы 9 можно вычислить GoU (x) с любой наперед заданнойточностью ε .

Пусть m – это минимальное значение индекса суммы n , докоторого достаточно посчитать обе суммы в формуле для GoU (x) , Rm – остатоклюбой из этих сумм, тогда при выполнении условий10Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. John Wiley & Sons. Inc. New York. 1950.16Np⎧⎪m > ν = 1 − p⎪⎨m +1⎪(1 − p )N ⋅ m ⋅ ν<ε⎪⎩m − ν (m + 1)!имеет место оценка точности Rm < ε .Теорема 10. В модели коллективных рисков справедлива формула:GoU ( x) =[x / r]λnn=0n!∑e−λ +∞λnn =[ x / r ] +1n!∑e − λ ⋅ Fn ( x) ,гдеn− jk −1 ⎡i⎤ij ( x − ir )Fn ( x) = ∑ ⎢(− 1) Cni ∑ Ci j (r − 1), при x ∈ [(k − 1)r , kr ] .(n − j )! ⎥⎦i =0 ⎣j =0С помощью теоремы 10 можно вычислить GoU ( x) с любой напередзаданной точностью ε . Пусть m – это минимальное значение индекса суммы n ,до которого достаточно посчитать обе суммы в формуле для GoU ( x) ,Rm –остаток любой из этих сумм, тогда при выполнении условий⎧m > λ⎪m⎨ − λ λm +1⎪e ⋅ (m + 1)! ⋅ m − λ < ε⎩имеет место оценка точности Rm < ε .Надежность равна значению функции распределения суммы выплат~GoU ( x) в точке So − So и может быть точно вычислена по приведенным вышеформулам.

Характеристики

Список файлов диссертации