Автореферат (1137366), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ипоследовательность натуральных чисел {l n } такие, что l n = o( n) , α n, l → 0 , и для любых x ,ny и произвольных множеств натуральных чисел I = {i1 ,..., i p }, J = { j1 ,..., j q } таких, что1 ≤ i1 < i2 < ... < i p < j1 < ... < jq ≤ n, j1 − i p ≥ ln ,выполняется неравенствоsup | P(σI{X− P(jσ ( j)≤ unI {Xjj∈I U J− an m j }) P(j∈ I≤ u σn ( j ) − an m j }) −I{Xj≤ u σn ( j ) − an m j }) |≤ α n, l ,nj∈ Jгде супремум берется по всем отображениям σ из множества натуральных чисел в множество{1,2} .УсловиеD 2 (u 1n , u n2 , a n , {m k }k =1,...,n )гарантируетперемешиваниезависимость) далеко отстоящих больших значений временного ряда (1).Вводится также дополнительное условие для случайной(слабуюпоследовательности'{ X i , i = 1,2,...} – условие D (u n − ma n ) :lim lim sup nk →∞n→∞∑P{ X 1 > u n − man ; X j > u n − man } = 0.2 ≤ j ≤ n/kЭто условие гарантирует отсуствие кластеров экстремумов, аналогично случаю независимых,подробности см.
в 2.Пусть имеется случайная последовательность из нулей и единиц {δ i ,i = 1,2,...} , гдесобытие {δ i = 0} символизирует пропуск наблюдения X i .Для η = 0,1 введем "выборочные функции распределения" значений тренда дляпропущенных и наблюдаемых Yi ,6Gηn ( x) =#{i : mi ≤ x, δ i = η , 1 ≤ i ≤ n},nη = 0,1 , знак # обозначает число элементов множества.Пусть G – неубывающая неотрицательная непрерывная справа ограниченная функция,обозначим a + := max (a,0) , и определим функции+∞L1 ( z , G ) = e − z ∫− ∞e t dG (t );+∞L2 ( z , G ) = ∫− ∞ ( z − t ) +β dG (t ), β < 0;+∞L3 ( z , G ) = ∫− ∞ (t − z ) +β dG (t ), β > 0.Сформулируемусловиепсевдостационарностипоследовательностиотносительно случайной последовательности {δ k , k = 1,2,...} :найдутся функции G0 ( x) и G1 ( x) такие, что для обоихвероятности{mk , k = 1,2,...}η = 0,1 имеет место сходимость поPGηn ( x) → Gη ( x), при n → ∞,во всех точках непрерывности x соответствующей функции(3)Gη (x).
Кроме того, для любогоν = 1,2,3 , если F ∈ Dν , то для всех x и η = 0,1 существуют конечные пределыnlim E ( Lν ( x, Gη )) = Lν ( x, Gη ) < ∞.n→∞Функции Lν ( x, Gη ) участвуют в формулах для предельного распределения вектора M n , M n .Заметим, что при выполнении условия 2 лишь L2 ( x, Gη ) не обязательно конечно.Во втором параграфе первой главы представлены вспомогательные леммы и ихдоказательства. Среди них – аналог теоремы Лидбеттера для последовательности{Yi( n ) , n = 1,2,..., i = 1,2,...} и двух пороговых уровней.В третьем параграфе доказан основной результат первой главы – предельная теорема дляслучайного вектораM n = max{ X i + mi a n ; i = 1,..., n} и M n = max{ X i + mi a n ; i = 1,..., n,δ i = 1}при неограниченно растущем n .7Теорема 1 Пусть в модели (1) F ∈ Dν , гдеν = 1, 2 или 3 .
Предположим, что дляпоследовательности{ X i , i = 1,2,...}случайныхвеличинвыполненыусловияD 2 (u 1n , u n2 , a n , {m k }k =1,...,n ) , D ' (u n − ma n ) .Предполодим далее, что последовательность{mk , k = 1,2,...} псевдостационарна относительно случайной последовательности{δ k , k = 1,2,...} и ограничена сверху ( m := supi =1,2,...
mi < ∞ ). Пусть последовательности{ X i , i = 1,2,...} и {δ i ,i = 1,2,...} независимы. Тогда,если ν = 1 или ν = 3 , то для всех x, y ,12lim P{M n ≤ u n ;M n ≤ u n } = e− Lν ( x,G0 )− Lν (G1,max ( x, y )),(4)− L2 ( x,G0 )− L2 (G1,max ( x, y )).(5)n →∞если ν = 2 , то для всех x, y > m ,12lim P( M n ≤ u n , M n ≤ u n ) = en →∞Во второй главе исследуется ассимптотическое поведение совместного распределениямаксимума гауссовской последовательности и максимума ее же с детерминированнымпрореживанием в модели{ X i + mi a n , i = 1,2,..., n = 1,2,...},где X i , i = 1,2,..., – гауссовская стационарная последовательность с нулевым средним иединичной дисперсией, mi , i = 1,2,...
, – псевдостаный тренд, a n = (2 ln n)Обозначимbn = 2 ln n −−1/2.1(ln ln n + ln 4π ).2 2 ln nОтметим, что последовательности ( a n ), (bn ) являются нормирующими последовательности впредельной теореме для максимума последовательности независимых гауссовских случайныхвеличин (2), см. 2,5.Прореживание задается с помощью множества индексов непрореженных наблюденийGn = {t (1),..., t (n' )} , которое является подмножеством N n , n' = [n/κ ] , κ ≥ 1 , [⋅] – целаячасть.В первом параграфе второй главы определяется псевдостационарная последовательностьотносительно детерминированного прореживания: последовательность {c k ,k ∈ C n } , гдеCn ⊆ N n и | C n |→ +∞ при n → ∞ , называется псевдостационарной с функциейраспределения C (x) , если для любого x предел5Berman S.
M. (1964). Limit theorems for the maximum term in stationary sequences. Ann. Math. Statist., №35(2), 502516.8| {i : ci ≤ x, i ∈ C n } |.nn →∞C ( x) = limсуществует. Через | A | обозначено число элементов этого множества A.Отметим, что C (x) – не обязательно вероятностная функция распределения, то есть,C (+∞) не обязательно равно 1.Во втором параграфе доказываются вспомогательные леммы, а также дана формулировкаобобщенного неравенства Бермана, введенного и доказанного В. И. Питербаргом6, котороесостоит в следующем:пусть имеется два гауссовских вектора X = ( X 1 ,..., X n ) и Y = (Y1 ,..., Yn ) с нулевымисредними и ковариациями r1 (k , l ) and r0 (k , l ) , соответственно, причем rX ( k , k ) ≡ rY (k , k ) ≡ 1.Пусть имеется набор действительных чисел {u 0 ( k ) < ...
< u M (k ), k = 1,..., n} . ОбозначимU алгебру подмножеств R n , порожденную всеми параллелепипедами вида× in=1 [u l (i ), u l +1 (i)] . Тогда для любого U ∈ U , имеет место неравенствочерезn∑| P( X ∈ U ) − P(Y ∈ U ) |≤ 2k ,l =1,k >l| r1 (k , l ) − r0 (k , l ) |M1∑ ∫0ϕ (u i (k ), u j (l ); rh (k , l ))dh.i, j =0ϕ ( x, y; r ) – гауссовская двумерная плотность с нулевыми средними, единичнымидисперсиями и ковариацией r , а rh = hr1 + (1 − h)r0 .ЗдесьВ третьем параграфе второй главы доказана предельная теорема для предельногосовместного распределения случайных величинM n ( X ) = max { X i + mi d n } и M n,κ ( X ) = max { X i + mi d n }.i∈N ni∈GnПусть mn не растет слишком быстро, а именно,max | mk |= o(ln n) при n → ∞.(6)k =1,..., nВведем преобразование Лапласа функции распределения M ,~M (c ) =и обозначимN ,GFλгде6+∞( x, y ) = ∫− ∞{∞∫−∞ecx(edM ( x))}~~~(κN (1) − G (1)) + G (1)ϕ ( z )dz ,~~κe − x N (1) / G (1) − e − x + 1exp − e − y − λ + z2λ−xϕ - плотность стандартного нормального распределения.Питербарг В.И.
(1988). Асимптотические методы в теории гауссовских процессов. Изд. МГУ.9Мы предположим, что {mi : i ∈ N n } , так же как {mi : i ∈ Gn } , n = 1,2,..., псевдостационарные последовательности с функциями распределениями N (x) и G (x),соответственно. Заметим, что если κ = 1 , тогда G ( x) ≡ N ( x) .Предположим, что+∞ 3| x|∫−∞ edN ( x) < ∞(7)и~G (1) ≠ 0.Положим,(8)r ( n)чтодля ковариационной функции{ X i , i = 1,2,...} выполняются следующие условия:гауссовскойпоследовательностиr (n) ln n = O(1)(9)ln n nλr (l ) −= o(1) при n → ∞,∑n l =1ln n(10)идля некоторого действительного λ .В частности, можно предполагать r (n) произвольной на "редких" множествах R ⊂ Z ,таких что| {k : k ∈ R, k = 1,..., n} |= O(n/( L(n) ln n))для любого L(n) → ∞ при n → ∞.Тогда для любого x ≥ 0, y ∈ R,N ,Glim P{M n ( X ) − M n,κ ( X ) ≤ an x; M n,κ ( X ) ≤ bn,κ + an y} = Fλ ( x, y ),n→∞(11)гдеbn,κ = 2 ln (n/κ ) −1(ln 4π + lnln n).2 2 ln nРассмотрим случай, когда частичная выборка является на самом деле полной, то есть, найдемпредельное распределение максимума гауссовской стационарной последовательности с почтипериодическим трендом.
В этом случаеFλN ,G ( x, y ) =∞{∫−∞ exp − e− y + z 2 λ −λ}~N (1) ϕ ( z )dz =: FλN ( y ),(12)то есть для любых x ,10Nlim P(M n < a n x + bn ) = Fλ ( x).n →∞(13)Этот результат оформлен в виде следствия 2.4 во второй главе.Все результаты, полученные для максимумов M n , очевидным образом переносятся наминимумы, так как справедливо следующее соотношение:mn = min{ X 1 ,..., X n } = − max{− X 1 ,...,− X n }.Задача оценки функции распределения максимумов выборок случайных последовательностей спсевдостационарным трендом играет важную роль при определении резервов, прогнозированиипиков потребления (например, потребления электроэнергии), в прогнозировании экстремальныхпогодных явлении (например, высоких температур) и др. К решению этих задач можноподходить как с позиции результатов классической теории экстремумов, так и с позициирезультатов, являющихся расширением классической теории экстремумов, с учетом сезонностиданных.
Рассматриваемые данные обрабатываются c помощью этих двух подходов.В третьей главе при помощи методов стохастического моделирования, проведеносравнение классическим подхода (без учета тренда) оценки функции распределения максимумаи подхода с учетом пcевдостационарного тренда, основанного на результатах из главы 1. Аименно, проведено сравнение качества подходов на примерах смоделированных прореженныхвыборок из некоторых случайных последовательностей, каждый элемент которых представим ввиде суммы стационарной последовательности { X i , i = 1,2,...} , где X 1 имеет функциюраспределения F (x ) , которая максимум-устойчива, и добавочной псевдостационарнойсоставляющей a n sin (2πi/3) , где последовательность ( a n ) такая, что выполняется (2).Рассмотрены случаи, когда элементы стационарной последовательности имеют гауссовскоераспределение, распределение Коши и равномерное на отрезке [0;1] распределение, и вкоторых элементы стационарной последовательности являются независимыми случайнымивеличинами, так и случаи, в которых элементы стационарной последовательности являются 2 зависимыми.
Прореживание моделируется при помощи последовательности (δ i ) :⎧9⎪1, с вероятностью 10 ;δi = ⎨⎪0, с вероятностью 1 ,10⎩{δ i } - последовательность независимых случайных величин, не зависящих от { X i , i = 1,2,...} .Пусть { X i } удовлетворяет условиям основного результата главы 1.Применим этот результат кM n ( X ) = max{ X i + a n sin (2πi/3); i ∈ N n , δ i = 1}.Пусть11{}lim P M n ( X ) ≤ a n x + bn = K1 ( x).n →∞Cмоделируем выборку стационарной последовательности { X i , i = 1,2,...} объема 250000:Xˆ 1 ,..., Xˆ 250000 .Возьмем:Mˆ 1 ( X ) = max{ Xˆ i + a500 sin (2iπ/3), δ i = 1, i = 1,...,500},...Mˆ 500 ( X ) = max{ Xˆ 499⋅500 + i + a500 sin (2iπ/3), δ i = 1, i = 1,...,500}.ˆ 1 ( X ),..., Mˆ 500 ( X ) :Порядковая статистика для MMˆ 1,500 ( X ) ≤ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
