Автореферат (1137301), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Доказанные в диссертациирезультаты представляют интерес в эквивариантной алгебраической геометрии, теории представлений и гомологической алгебре.Апробация результатовОсновные результаты диссертации докладывались• насеминаре«Геометрияалгебраическихмногообразий»им.В. А. ИсковскихподруководствомЮ. Г. Прохорова,В. В.
Пржиялковского, Д. О. Орлова, К. А. Шрамова в МИАН(Москва, 2012),• на летней школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Самара, 2009),• на конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу (Лютово, 2011),• на международной конференции по алгебре и алгебраической геометрии (Екатеринбург, 2011),• на третьей ежегодной самарской летней школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Тольятти, 2012),5• на международной конференции «Homological projective dualityand non-commutative geometry» (Coventry, University of Warwick,2012),• на конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу (Лютово, 2013),• на международной русско-китайской конференции «Torus actions:topology, geometry and number theory» (Хабаровск, 2013),• на семинаре «Алгебраическая топология и её приложения»им.
М. М. Постникова (Москва, 2013).ПубликацииРезультаты диссертации опубликованы в четырёх единоличных работах.Список публикаций приведён в конце автореферата.Структура и объём диссертацииДиссертация изложена на 49 страницах и состоит из введения, трёх глави трёх приложений. Библиография включает 29 наименований.Краткое содержание работыДиссертация состоит из четырёх глав и трёх приложений.Глава 1 — введение, в ней обсуждаются история вопроса и мотивировки, даётся общий обзор работы и формулируются основные результаты.Глава 2 носит в основном вспомогательный характер и описываеттехнические средства, позволяющие вычислять сизигии.В главе 3 мы вводим основные обозначения. В параграфе 3.1 мывводим понятие обрезанного комбинаторного куба, являющего комплексом над абелевой категорией.
В параграфе 3.2 мы формулируем условияна старший вес π неприводимого представления редуктивной группы G,при выполнении которых сизигии проективизации вектора старшего весав неприводимом представлении группы G со старшим весом π допускаюткомбинаторное вычисление. Свойства состоят в следующем.6Свойство 2. Для каждого k представление Λk Vπ группы G не имееткратных подпредставлений18 .Свойство 3. Для любого доминантного веса µ и любого n в представлении Vµ ⊗ Vnπ нет кратных подпредставлений.Следующая таблица содержит все многообразия X, являющиеся проективизациями орбит вектора старшего веса в неприводимом представлении Vπ полупростой группы G над алгебраически замкнутым полемхарактеристики 0, для которых вес π обладаем свойствами 2 и 3.X = G/PP(V )P(V )P1P2P(U ) × P(V )P2 × P1P1 × Pk , k 6 4P1 × P1P1 × P1 × P1P(Vπ )P(V )P(Sym2 V )Pn , n 6 6P9P(U ⊗ V )P11P3k+2P7P7OP(Vπ ) (1)|XO(1)O(2)O(n)O(3)O(1, 1)O(2, 1)O(2, 1)O(3, 1)O(1, 1, 1)Данная классификация приводится в приложении А.
В параграфе 3.3мы вводим обозначения, связанные с диаграммами Юнга.Глава 4 содержит основные вычисления и доказательства основныхрезультатов диссертации. В параграфе 4.1 мы изучаем изотипическиекомпоненты комплекса Кошуля, вычисляющего сизигии пучков O(a, b)на P(U ) × P(V ) ⊂ P(U ⊗ V ). Оказывается, что эти изотипические компоненты являются обрезанными комбинаторными кубами.Определение 4. Для диаграммы Юнга λ обозначим через l(λ) и wt(λ)длину диагонали диаграммы λ (то есть пересечение диаграммы с множеством клеток {(k, k)} для всех k ∈ Z) и вес (то есть количество клетокв λ). Обозначим через e(λ, k) диаграмму, полученную из λ добавлениемклетки в конец каждого из первых k столбцов диаграммы λ.
Символом λ0обозначим диаграмму, полученную из λ транспонированием. Обозначимчерез Vλ неприводимое представление группы GL(V ) со старшим весом λ.18Отсутствие кратностых подпредставлений во внешней алгебре представленияредуктивных групп (так называемое SMF-свойство) является очень близком свойством и классифицирована в статье «Classification of skew multiplicity-free modules»,Tobias Pecher, Transformation Groups, 17:1 (2012), 233–257.7Теорема 5.
Пусть Rp,q — пространства сизигий вложения Сегре P(U ) × P(V ) ⊂ P(U ⊗ V ). Тогда существует изоморфизм представлений G = GL(U ) × GL(V ):M ∗∗⊗ Ve(λUe(λ,q−p)Rp,q ∼=0 ,q−p) .wt(λ)=p,l(λ)=q−pОбозначения, связанные с отмеченными диаграммами Юнга θ, вводятся в параграфе 3.3. Отмеченной диаграммой θ будем называть диаграмму Юнга, в которой некоторые из клеток отмечены буквами ’L’и ’R’, где• в каждом столбце не более одной ‘L’, в каждой строке не болееодной ‘R’;• θ0 , θ0 ∪ θL и θ0 ∪ θR являются диаграммами Юнга, где θ0 , θL и θRозначают объединения неотмеченных клеток θ, клеток, содержащих ‘L’, и клеток, содержащих ‘R’.Обозначим диаграммы λ(θ) = θ0 ∪ θL , µ(θ) = (θ0 ∪ θR )0 и пару диаграмм ω(θ) = (λ(θ), µ(θ)).Определение 6.
Для диаграмм Юнга λ и µ обозначим через B(λ, µ)множество таких клеток c диаграммы λ ∩ µ0 , что• снизу от c нет клеток λ, и• справа от c нет клеток µ0 .Для пары диаграмм ω = (λ, µ) для краткости будем писать B(ω) =B(λ, µ).Обозначим через S(w, a, b, k) множество таких отмеченных диаграммЮнга, что• неотмеченных клеток w − k;• буквой ‘L’ отмечено a + k клеток, буквой ‘R’ отмечено b + k клеток;• каждая клетка множества B(ω(θ)) отмечена ‘LR’.Теорема 7. Рассмотрим вложение Сегре X = P(U ) × P(V ) ⊂ P(U ⊗ V ).Пусть a > −m и b > −n. Тогда существует резольвента.../Lk>0/a,bR1,k+1⊗ O(−1 − k)Lk>08a,bR0,k⊗ O(−k)/ OX (a, b)/ 0,где m = dim U , n = dim V иL∗∗ la,b (ν)=q Ue(ν,a+q) ⊗ Ve(ν 0 ,b+q) ,wt(ν)=pa,bRp,p+q = L⊕(|B(θ)|−1)k∗∗,U⊗Vθ∈S(a,b,p,k)λ(θ)µ(θ)q > 0 или p = q = 0;q = 0, p > 0.(2)В параграфе 4.2 мы изучаем изотипические компоненты комплексаКошуля, вычисляющего сизигии пучков OP(V ) (a) на P(V ) ⊂ P(Sym2 V ).Оказывается, что изотипические компоненты этого комплекса также являются обрезанными комбинаторными кубами.Теорема 8.
Пусть Rp,q — пространства сизигий вложения Веронезе P(V ) ⊂ P(Sym2 V ). Тогда существует изоморфизм представленийгруппы G = GL(V ):MRp,q ∼Vλ∗ .=wt(λ)=2pl(λ)=2q−2pλ=λ0Определение 9. Пусть λ — диаграмма Юнга. Будем обозначать λ =λ = (a1 , . . . , ak |bk , . . . , b1 ), если диаграмма λ состоит из вложенных крюков, пары ширины и высоты которых равны соответственно (a1 , b1 ), . . ., (ak , bk ).
Назовём эти крюки в диаграмме λ главными.Допустим, λ = (a1 , . . . , ak |bk , . . . , b1 ).Определение 10. Через C(λ) обозначим множество таких 1 6 l 6 k,что• al > bl , то есть l-ый крюк имеет ширину больше его же длины;• al+1 6 bl+1 + 1 или l = k, то есть следующий крюк имеет ширинуразве что на один больше, чем высоту, или l-ый крюк последний,то есть l = k.Теорема 11. Пусть X = P(V ) ⊂ P(Sym2 V ) — вложение Веронезе степени 2. Пусть a > −n. Тогда существует резольвента.../Lk>0/aR1,k+1⊗ O(−k − 1)Lk>09a ⊗ O(−k)R0,k/ OX (k)/ 0,где n = dim V и LVω∗ ,ω=ω 0wt(ω)=q l(ω)=2q−aa|C(ω)|−1LRp,p+q =(Vω∗ )⊕( s ) ,ω=(a ,...,ak |bk ,...,b1 ) bi 6ai 6b1 i−1 +1,i=1,...,kq > 0 или p = q = 0,p > 0, q = 0, s ∈ Z,(3)wt(ω)=2p+aгде s =12Pki=1 |ai− bi − 1| − a .В приложении А классифицируются представления полупростыхгрупп, обладающие свойствами 2 и 3.
В приложении Б обсуждается связьрезультатов работы с сизигиями взвешенных проективных пространств.Приложение В содержит примеры и список литературы.БлагодарностиАвторвыражаетблагодарностьнаучномуруководителюА. Л. Городенцеву, С. О. Горчинскому, А. Г. Кузнецову, Э. Б. Винбергу иВ. М. Бухштаберу за полезные обсуждения работы.Публикации по теме диссертации[1] И. В. Нетай, “Алгебры сизигий вложений Сегре”, Функц. анализ и егоrefприл., 47:3 (2013), 54–74 Math-Net.Ru cross; Funct. Anal. Appl., 47:3 (2013),refISIWebofKnowledge.210–226 cross[2] И. В.
Нетай, “Параболически связные подгруппы”, Матем. сб., 202:8ref MathSciNet ; Sb. Math., 202:8 (2011), 1169–1182(2011), 81–94 Math-Net.Ru crossrefSIWebofKnowledge.cross I[3] И. В. Нетай, “Сизигии вложений Сегре”, тезисы летней школыконференции по алгебраической геометрии и комплексному анализудля моложых учёных России, Ярославль, ЯГПУ, 2013, 65–67.[4] И. В. Нетай, “Syzygies of quadratic Veronese embedding”, тезисы международной русско-китайской конференции Torus actions: topology, geometryand number theory, Хабаровск, ТОГУ, 2013, 53–55.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
