Диссертация (1136188), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ещё одно приложение — это формула Демазюра для характеров Демазюра многообразий Шуберта [D]. В [4,6] мы определяем аналоги ОРР13в (эквивариантном) исчислении Шуберта для алгебраических кобордизмов. В[9] определяется выпукло геометрическая версия операторов Демазюра и используется, чтобы строить многогранники, кодирующие характеры Демазюра.В [10] многогранники Ньютона–Окунькова многообразий флагов для одного изгеометрических нормирований явно вычислены с помощью простой выпуклогеометрической конструкции, которая также мотивирована ОРР.Заметим, что классические ОРР и операторы Демазюра можно определить единообразно, используя аддитивный (кольца Чжоу) и мультипликативный ( -теория) формальные групповые законы, соответственно.
В [4] (совместная работа с Йенсом Хорнбостелем) мы определяем ОРР для универсальногогруппового закона и применяем их к изучению исчисления Шуберта в кольцеалгебраических кобордизмов (определённом в работах Левина–Мореля и Левина–Пандхарипанде) полных многообразий флагов. Эта работа мотивированарезультатами Бресслера–Ивенса по исчислению Шуберта в комплексных кобордизмах [BE], и частично была направлена на перенос их результатов в алгеброгеометрический контекст. Мы также вывели версию формулы Пьери–Шевалледля кобордизмов.Есть серьёзные различия между кольцом Чжоу/когомологиями и -теориеймногообразий флагов с одной стороны, и алгебраическими/комплексными кобордизмами с другой стороны. Например, классы многообразий Шуберта дают естественный базис в первых теориях, но не в последних, поскольку многообразия Шуберта не всегда гладкие.
Зато многообразия Ботта–Самельсонаобразуют естественное порождающий набор (но не базис) в кольце алгебраических/комплексных кобордизмов.В [6] (совместная работа с Амаленду Кришной) мы описываем кольцо эквивариантных алгебраических кобордизмов многообразий флагов и чудесныхкомпактификаций симметрических пространств минимального ранга. В частности, пространства ( × )/diag — симметрические минимального ранга.
Вслучае многообразий флагов мы использовали комплексные кобордизмы и то14пологические аргументы. Недавно чисто алгебро-геометрический подход былпредложен в [CZZ]. В случае чудесных компактификаций мы использовали подход Бриона–Джошуа, описавших эквивариантые кольца Чжоу [BJ].В [9] определены аналоги операторов Демазюра на выпуклых многогранниках. В общем случае эти операторы переводят многогранник в многогранникили выпуклую цепь ′ на единицу большей размерности, так что экспоненциальные суммы по целым точкам в и ′ связаны с помощью классическогооператора Демазюра.
В частности, выпукло геометрические операторы Демазюра можно использовать для индуктивного построения многогранников ГЦв типе и кубов Гроссберга–Каршон в любом типе, начиная с единственнойточки. В типе 2 они использовались, чтобы построить симплектические ОРРмногогранники, которые комбинаторно не эквивалентны симплектическим многогранникам ГЦ и ВЛФФ. Оказывается, эти многогранники совпадают с многогранниками Ньютона–Окунькова симплектического многообразия флагов дляестественного геометрического нормирования [8]. Недавно Наоки Фуджита высказал гипотезу, что несколько классов ОРР многогранников совпадают с полиэдральными реализациями Зелевинского–Накаджимы (для 2 это следует из[FN, Example 5.10]).В [10] многогранники Ньютона–Окунькова полных многообразий флагов втипе вычислены для геометрического нормирования, заданного флагом сдвинутых подмногообразий Шуберта, которые соответствуют финальным подсловам в разложении самого длинного элемента (1 )(2 1 )(3 2 1 )(.
. .)(−1 . . . 1 )(примеры 1.4, 1.7, 2.3 иллюстрируют это вычисление при = 3, см. такжераздел 4.2). Удивительно, что полученные многогранники совпадают с многогранниками ВЛФФ, хотя последние были изначально построены из другихсоображений. Это совпадение мотивировало дальнейшие исследования (см. подробности в [FaFL]).Список публикаций[1]V. Kiritchenko, Chern classes of reductive groups and an adjunction formula, Ann.
Inst. Fourier 5615(2006), no. 4, 1225–1256[2]—, On intersection indices of subvarieties in reductive groups, Moscow Math. J., 7 (2007), no. 3 (выпуск,посвящённый А.Г.Хованскому), 489–505—, Gelfand-Zetlin polytopes and flag varieties, IMRN (2010), no. 13, 2512–2531[4] J. Hornbostel, —, Schubert calculus for algebraic cobordism, J.
reine angew. Math. (Crelles), 2011,[3]no. 656, 59–85[5]Кириченко В. А., Смирнов Е. Ю., Тиморин В. А., Исчисление Шуберта и многогранникиГельфанда-Цетлина, Успехи математических наук 67 (2012), no. 4, 89–128—, A. Krishna,[6]Equivariant Cobordism of Flag Varieties and of Symmetric Varieties, Transform.Groups, 18 (2013), no. 2, 391–413[7]P. Gusev, —, V. Timorin, Counting vertices in the Gelfand-Zetlin polytopes, J.
of Comb. Theory,Series A, 120 (2013), 960–969—, Geometric mitosis, Math. Res. Lett., 23 (2016), no. 4, 1069–1096[9] —, Divided difference operators on polytopes, Adv. Studies in Pure Math. 71 (2016), 161–184[8][10]—, Newton–Okounkov polytopes of flag varieties, Transform. Groups 22 (2017), no. 2, 387–4024.
Основные результатыВ этом разделе собраны более подробные формулировки основных результатов докторской диссертации. Мы постарались сделать изложение как можноболее самодостаточным. Однако мы предполагаем, что читатель знаком с теорией представлений и исчислением Шуберта.4.1. Эйлерова характеристика полных пересечений в редуктивныхгруппахПусть — связная комплексная редуктивная группа размерности и ранга , и пусть : → ( ) — точное представление группы . Назовём общимгиперплоским сечением , соответствующим , прообраз −1() пересечения() с общей аффинной гиперплоскостью ⊂ End( ). Несложно показать,что все общие гиперплоские сечения имеют одну и ту же (топологическую)эйлерову характеристику. Ниже приводится явная формула для эйлеровой характеристики ( ).
Она следует из [1, Theorem 1.1], [2, Theorem 1.3], из которых также следует аналогичная явная формула для эйлеровой характеристики16полного пересечения гиперплоских сечений.Выберем максимальный тор ⊂ , и обозначим через его решётку характеров. Выберем камеру Вейля ⊂ ⊗ R. Обозначим через + множествовсех положительных корней группы , а через обозначим полусумму положительных корней группы . Скалярное произведение (·, ·) на ⊗ R задано спомощью такой невырожденной симметрической билинейной формы на алгебре Ли группы , которая инварианта относительно присоединённого действиягруппы (такая форма существует, поскольку редуктивна). Через ⊂ ⊗Rобозначим весовой многогранник представления , то есть, выпуклую оболочкувесов тора , которые встречаются в .Определим полиномиальную функцию (, ) на ( ⊕ )⊗R по формуле:∏︁ (, )(, ).
(, ) =(, )2+∈С геометрической точки зрения этот многочлен считает индекс самопересечения дивизоров на произведении / × / двух многообразий флагов (дивизоры соответствуют весам (1 , 2 ) ∈ ⊕ ).Теорема 4.1. [1,Theorem 1.1], [2,Theorem 1.2] Зададим дифференциальный оператор D на функциях на ( ⊕ ) ⊗ R формулой:D=∏︁∈+(1 + )(1 + ̃︀ ),где and ̃︀ — производные вдоль векторов (, 0) and (0, ), соответственно.
Обозначим через [D] однородную компоненту -той степени в D, еслирассматривать D как многочлен от переменных и ̃︀. Тогда( ) = (−1)−1� ∩(! − ( − 1)![D]1 + ( − 2)![D]2 − . . . + ![D]− ) (, ).Форма объёма нормируется так, чтобы кообъём решётки в ⊗ R былравен 1.17Например, для = 3 (C) и неприводимого представления со старшимвесом 1 + 2 (через 1 и 2 обозначены фундаментальные веса) получаетсятакой ответ:( ) = −3(8 + 167 + 1126 2 + 4485 3 + 7004 4 + 4483 5 + 1122 6 +167 + 8 + 18(6 + 125 + 504 2 + 803 3 + 502 4 + 125 + 6 )++6(54 + 403 + 722 2 + 403 + 54 ) + 6(2 + 4 + 2 )−−6( + )(6 + 135 + 714 2 + 1393 3 + 712 4 + 135 + 6 ++5(4 + 93 + 192 2 + 93 + 4 ) + 3(2 + 5 + 2 ))).4.2. Выпукло-геометрические модели для исчисления ШубертаВ работах [3,5] многогранник Гельфанда–Цетлина используется, чтобы моделировать исчисление Шуберта на многообразии полных флагов в C .
Приэтом пересечение циклов на многообразии флагов соответствует пересечениюграней многогранника. В случае произвольной редуктивной группы можнотакже моделировать исчисление Шуберта на многообразии флагов / с помощью многогранников. Напомним, что кольцо Чжоу * (/) (как группа посложению) является свободной абелевой группой с базисом из циклов Шуберта[ ], которые нумеруются элементами ∈ группы Вейля группы . Поэтому для построения полезной модели важно понять, какие линейные комбинацииграней многогранника соответствуют циклам Шуберта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
