Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1136188), страница 3

Файл №1136188 Диссертация (Геометрия сферических многообразий и многогранники Ньютона-Окунькова) 3 страницаДиссертация (1136188) страница 32019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Ещё одно приложение — это формула Демазюра для характе­ров Демазюра многообразий Шуберта [D]. В [4,6] мы определяем аналоги ОРР13в (эквивариантном) исчислении Шуберта для алгебраических кобордизмов. В[9] определяется выпукло геометрическая версия операторов Демазюра и ис­пользуется, чтобы строить многогранники, кодирующие характеры Демазюра.В [10] многогранники Ньютона–Окунькова многообразий флагов для одного изгеометрических нормирований явно вычислены с помощью простой выпуклогеометрической конструкции, которая также мотивирована ОРР.Заметим, что классические ОРР и операторы Демазюра можно опреде­лить единообразно, используя аддитивный (кольца Чжоу) и мультипликатив­ный ( -теория) формальные групповые законы, соответственно.

В [4] (совмест­ная работа с Йенсом Хорнбостелем) мы определяем ОРР для универсальногогруппового закона и применяем их к изучению исчисления Шуберта в кольцеалгебраических кобордизмов (определённом в работах Левина–Мореля и Ле­вина–Пандхарипанде) полных многообразий флагов. Эта работа мотивированарезультатами Бресслера–Ивенса по исчислению Шуберта в комплексных кобор­дизмах [BE], и частично была направлена на перенос их результатов в алгебро­геометрический контекст. Мы также вывели версию формулы Пьери–Шевалледля кобордизмов.Есть серьёзные различия между кольцом Чжоу/когомологиями и -теориеймногообразий флагов с одной стороны, и алгебраическими/комплексными ко­бордизмами с другой стороны. Например, классы многообразий Шуберта да­ют естественный базис в первых теориях, но не в последних, поскольку мно­гообразия Шуберта не всегда гладкие.

Зато многообразия Ботта–Самельсонаобразуют естественное порождающий набор (но не базис) в кольце алгебраиче­ских/комплексных кобордизмов.В [6] (совместная работа с Амаленду Кришной) мы описываем кольцо эк­вивариантных алгебраических кобордизмов многообразий флагов и чудесныхкомпактификаций симметрических пространств минимального ранга. В част­ности, пространства ( × )/diag — симметрические минимального ранга.

Вслучае многообразий флагов мы использовали комплексные кобордизмы и то­14пологические аргументы. Недавно чисто алгебро-геометрический подход былпредложен в [CZZ]. В случае чудесных компактификаций мы использовали под­ход Бриона–Джошуа, описавших эквивариантые кольца Чжоу [BJ].В [9] определены аналоги операторов Демазюра на выпуклых многогранни­ках. В общем случае эти операторы переводят многогранник в многогранникили выпуклую цепь ′ на единицу большей размерности, так что экспоненци­альные суммы по целым точкам в и ′ связаны с помощью классическогооператора Демазюра.

В частности, выпукло геометрические операторы Дема­зюра можно использовать для индуктивного построения многогранников ГЦв типе и кубов Гроссберга–Каршон в любом типе, начиная с единственнойточки. В типе 2 они использовались, чтобы построить симплектические ОРРмногогранники, которые комбинаторно не эквивалентны симплектическим мно­гогранникам ГЦ и ВЛФФ. Оказывается, эти многогранники совпадают с много­гранниками Ньютона–Окунькова симплектического многообразия флагов дляестественного геометрического нормирования [8]. Недавно Наоки Фуджита вы­сказал гипотезу, что несколько классов ОРР многогранников совпадают с по­лиэдральными реализациями Зелевинского–Накаджимы (для 2 это следует из[FN, Example 5.10]).В [10] многогранники Ньютона–Окунькова полных многообразий флагов втипе вычислены для геометрического нормирования, заданного флагом сдви­нутых подмногообразий Шуберта, которые соответствуют финальным подсло­вам в разложении самого длинного элемента (1 )(2 1 )(3 2 1 )(.

. .)(−1 . . . 1 )(примеры 1.4, 1.7, 2.3 иллюстрируют это вычисление при = 3, см. такжераздел 4.2). Удивительно, что полученные многогранники совпадают с мно­гогранниками ВЛФФ, хотя последние были изначально построены из другихсоображений. Это совпадение мотивировало дальнейшие исследования (см. по­дробности в [FaFL]).Список публикаций[1]V. Kiritchenko, Chern classes of reductive groups and an adjunction formula, Ann.

Inst. Fourier 5615(2006), no. 4, 1225–1256[2]—, On intersection indices of subvarieties in reductive groups, Moscow Math. J., 7 (2007), no. 3 (выпуск,посвящённый А.Г.Хованскому), 489–505—, Gelfand-Zetlin polytopes and flag varieties, IMRN (2010), no. 13, 2512–2531[4] J. Hornbostel, —, Schubert calculus for algebraic cobordism, J.

reine angew. Math. (Crelles), 2011,[3]no. 656, 59–85[5]Кириченко В. А., Смирнов Е. Ю., Тиморин В. А., Исчисление Шуберта и многогранникиГельфанда-Цетлина, Успехи математических наук 67 (2012), no. 4, 89–128—, A. Krishna,[6]Equivariant Cobordism of Flag Varieties and of Symmetric Varieties, Transform.Groups, 18 (2013), no. 2, 391–413[7]P. Gusev, —, V. Timorin, Counting vertices in the Gelfand-Zetlin polytopes, J.

of Comb. Theory,Series A, 120 (2013), 960–969—, Geometric mitosis, Math. Res. Lett., 23 (2016), no. 4, 1069–1096[9] —, Divided difference operators on polytopes, Adv. Studies in Pure Math. 71 (2016), 161–184[8][10]—, Newton–Okounkov polytopes of flag varieties, Transform. Groups 22 (2017), no. 2, 387–4024.

Основные результатыВ этом разделе собраны более подробные формулировки основных резуль­татов докторской диссертации. Мы постарались сделать изложение как можноболее самодостаточным. Однако мы предполагаем, что читатель знаком с тео­рией представлений и исчислением Шуберта.4.1. Эйлерова характеристика полных пересечений в редуктивныхгруппахПусть — связная комплексная редуктивная группа размерности и ран­га , и пусть : → ( ) — точное представление группы . Назовём общимгиперплоским сечением , соответствующим , прообраз −1() пересечения() с общей аффинной гиперплоскостью ⊂ End( ). Несложно показать,что все общие гиперплоские сечения имеют одну и ту же (топологическую)эйлерову характеристику. Ниже приводится явная формула для эйлеровой ха­рактеристики ( ).

Она следует из [1, Theorem 1.1], [2, Theorem 1.3], из кото­рых также следует аналогичная явная формула для эйлеровой характеристики16полного пересечения гиперплоских сечений.Выберем максимальный тор ⊂ , и обозначим через его решётку ха­рактеров. Выберем камеру Вейля ⊂ ⊗ R. Обозначим через + множествовсех положительных корней группы , а через обозначим полусумму поло­жительных корней группы . Скалярное произведение (·, ·) на ⊗ R задано спомощью такой невырожденной симметрической билинейной формы на алгеб­ре Ли группы , которая инварианта относительно присоединённого действиягруппы (такая форма существует, поскольку редуктивна). Через ⊂ ⊗Rобозначим весовой многогранник представления , то есть, выпуклую оболочкувесов тора , которые встречаются в .Определим полиномиальную функцию (, ) на ( ⊕ )⊗R по формуле:∏︁ (, )(, ).

(, ) =(, )2+∈С геометрической точки зрения этот многочлен считает индекс самопересече­ния дивизоров на произведении / × / двух многообразий флагов (диви­зоры соответствуют весам (1 , 2 ) ∈ ⊕ ).Теорема 4.1. [1,Theorem 1.1], [2,Theorem 1.2] Зададим дифференциальный опе­ратор D на функциях на ( ⊕ ) ⊗ R формулой:D=∏︁∈+(1 + )(1 + ̃︀ ),где and ̃︀ — производные вдоль векторов (, 0) and (0, ), соответствен­но.

Обозначим через [D] однородную компоненту -той степени в D, еслирассматривать D как многочлен от переменных и ̃︀. Тогда( ) = (−1)−1� ∩(! − ( − 1)![D]1 + ( − 2)![D]2 − . . . + ![D]− ) (, ).Форма объёма нормируется так, чтобы кообъём решётки в ⊗ R былравен 1.17Например, для = 3 (C) и неприводимого представления со старшимвесом 1 + 2 (через 1 и 2 обозначены фундаментальные веса) получаетсятакой ответ:( ) = −3(8 + 167 + 1126 2 + 4485 3 + 7004 4 + 4483 5 + 1122 6 +167 + 8 + 18(6 + 125 + 504 2 + 803 3 + 502 4 + 125 + 6 )++6(54 + 403 + 722 2 + 403 + 54 ) + 6(2 + 4 + 2 )−−6( + )(6 + 135 + 714 2 + 1393 3 + 712 4 + 135 + 6 ++5(4 + 93 + 192 2 + 93 + 4 ) + 3(2 + 5 + 2 ))).4.2. Выпукло-геометрические модели для исчисления ШубертаВ работах [3,5] многогранник Гельфанда–Цетлина используется, чтобы мо­делировать исчисление Шуберта на многообразии полных флагов в C .

Приэтом пересечение циклов на многообразии флагов соответствует пересечениюграней многогранника. В случае произвольной редуктивной группы можнотакже моделировать исчисление Шуберта на многообразии флагов / с помо­щью многогранников. Напомним, что кольцо Чжоу * (/) (как группа посложению) является свободной абелевой группой с базисом из циклов Шуберта[ ], которые нумеруются элементами ∈ группы Вейля группы . Поэто­му для построения полезной модели важно понять, какие линейные комбинацииграней многогранника соответствуют циклам Шуберта.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6361
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее