Шпаргалка по УрЧП - Ключевые формулы и соотношения (1134187)
Текст из файла
Øïàðãàëêà ïî Óð×Ï. Êëþ÷åâûå îðìóëû è ñîîòíîøåíèÿ.Ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ âÎïåðàòîð ËàïëàñàL = △:wnðûÎïåðàòîð òåïëîïðîâîäíîñòèL =Âîëíîâîé îïåðàòîðxθ(x), n = 112π ln |x| , n = 21, n>2(2−n)|x|n−2L=2∂∂t2∂∂t2Vwnäëÿ ðàçëè÷íûõ n:- ïëîùàäü åäèíè÷íîén-ìåðíîé ñå-2θ(t)− x4t√ne(2 πt)− a2 △ :12 θ (at − |x|) ,θ(at−|x|)n=1,n=22√− a △:ïîñëåäíåãî îïåðàòîðà (îáîçíà÷àåòñÿ,Rn. Íàïîìíèì, ÷òî äåéñòâèå2πa a2 t2 −|x|1δ(at−|x|),n=34πa2 tR dt R1(3)) íà -þ ϕ îïðåäåëÿåòñÿ êàêϕ(x, t)dx.4πa2tR|x|=atÔóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ îïåðàòîðîâ â îäíîìåðíîì ñëó÷àå èùóòñÿ äëÿ îïåðàòîðàLu = 0u(k) (0) = 0, k = 0, ...
n − 2u(n−1) (0) = 1u(n) + an−1 u(n−1) + ...+ a0u, ai ∈ C èç ñèñòåìûáóäåòLu =: èñêîìîå ðåøåíèåθ(x)u(x).utt = a2 △ u + f (x, t), x ∈ Rn , t > 0, a > 0.u |t=0 = ϕ(x), ut |t=0 = ψ(x)211Ïðè óñëîâèÿõ ϕ ∈ C (R), ψ ∈ C (R), f (x, t) ∈ C (R × R+ ) äëÿ n = 1 è ïðè ϕ ∈3⋉2⋉2⋉C (R ), ψ ∈ C (R ), f (x, t) ∈ C (R × R+ ) äëÿ n = 2, 3 ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñóùåñòâóåò,Çàäà÷à Êîøè äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿåäèíñòâåííî è çàäàåòñÿ îðìóëàìè:Äëÿn=1u(x, t) =Äëÿn=2u(x, t) =Äëÿ12îðìóëîé Äàëàìáåðà[ϕ(x + at) + ϕ(x − at)] +îðìóëîé Ïóàññîíà12πan=312aψ(ξ)dξR|ξ−x|<at∂√+ ∂t(at)2 −|ξ−x|2x+atRψ(ξ)dξ +x−at"12πaR|ξ−x|<at12a√Rtx+a(t−τR )f (ξ, τ )dξdτ0 x−a(t−τ )ϕ(ξ)dξ(at)2 −|ξ−x|2#1+ 2πaRtRf (ξ, τ )dξdτ0 |ξ−x|=a(t−τ )îðìóëîé Êèðõãîà (èç êîòîðîé ìåòîäîì ïîêîîðäèíàòíîãî ñïóñêà âûâîäÿòñÿïåðâûå äâå)u(x, t) =14πa2 tR|ξ−x|=at∂ψ(ξ)dSxi + ∂t"14πa2 tR|ξ−x|=at#1ϕ(ξ)dSxi + 4πa2Rt01t−τÄëÿ ïîëóîãðàíè÷åííîé îäíîìåðíîé ñòðóíû îáùåå ðåøåíèå èìååò âèäRf (ξ, τ )dSξ dτ|ξ−x|=a(t−τ )u(x, t) = f (x − at) + g(x + at),ïðè÷åì â ïîëîæèòåëüíîé îáëàñòè x > at ïðèìåíèìàRxRx111îðìóëà Äàëàìáåðà, äàþùàÿ f (x) =ψ(ξ)dξ è g(x) = 12 ϕ(x) + 2aψ(ξ)dξ .
Â2 ϕ(x) − 2a00îòðèöàòåëüíóþ îáëàñòü f ïðîäîëæàåòñÿ èñõîäÿ èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.Äëÿ îãðàíè÷åííîé îäíîìåðíîé ñòðóíû èñïîëüçóþò ìåòîä ÔóðüånR 1 2P122Èíòåãðàë ýíåðãèè E(t) =uxk (x, t) , Kt - ñå÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî22 ut (x, t) + ak=1Ktãèïåðêîíóñà äëÿ óðîâíÿ t. Èíòåãðàë ýíåðãèè íåîòðèöàòåëåí è íåâîçðàñòàåò; äëÿ îäíîìåðíîãîñëó÷àÿ íà îòðåçêå[a, b]ïðèKt = [a, b] E(t) = const- ýíåðãåòè÷åñêîå òîæäåñòâî.Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ðåøàþò ìåòîäîì Ôóðüåut = a2 △ u + f (x, t), x ∈ Rn , t > 0nåøåíèå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â R , òî åñòüu |t=0 = ϕ(x)äàåòñÿ îðìóëîé Ïóàññîíà:Rt RR|x−ξ|− 4a|x−ξ|f (ξ,τ ) ”2 (t−τ )“ √u(x, t) =ϕ(ξ)e− 4a2 t dξdξdτ + 2a√1πt nne() R⋉0 R⋉ 2a π(t−τ ) ïåðâîì ñëó÷àå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Âî âòîðîì - ðåøåíèå ñóùåñòâóåò èåäèíñòâåííî â êëàññå îãðàíè÷åííûõ óíêöèé.1Ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé ïðèíöèï ìàêñèìóìà äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé: ïóñòüãäåΩ⊆ ∂Ωu ≤ 0 Ω.- îáëàñòü ñ íîðìàëüíîé ãðàíèöåé, àíèöà êðîìå âåðõíåé êðûøêè)Ω.Òîãäà△u − ut ≥ 0 Ωu |≤ 0ñîáñòâåííàÿ ïàðàáîëè÷åñêàÿ ãðàíèöà (ãðà-Äëÿ îãðàíè÷åííûõ ðåøåíèé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñïðàâåäëèâû òåîðåìû ñòàáèëèçàöèè - äëÿ îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé ðåøåíèå ñòàáèëèçèðóåòñÿ íà íóëåâîì÷ëåíå ðàçëîæåíèÿ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ â ðÿä Ôóðüå; äëÿ íåîãðàíè÷åííûõ - íà limx→∞ ψ(x),Rl1è liml→∞ 2lψ(x) åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå ïðåäåëû ñóùåñòâóþò.−lÔóíêöèÿ u íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé, åñëè △u = 0. u îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñâîèìçíà÷åíèÿì íà ãðàíèöå.åøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå△u = f (x), x ∈ Ωf |x∈∂Ω = ϕ(x)äëÿ∂Ω C 2 , f (x) ∈ C(Ω), ϕ(x) ∈ C(∂Ω)ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Åñëè ðåøåíèå èìååò íîðìàëüíóþ ïðîèçâîäíóþ, òî îíî çàäàåòñÿR ∂GRîðìóëîé u(x) = −G(x, y)f (y)dy , ãäå G - óíêöèÿ ðèíà îïåðàòîðà∂ny (x, y)u(y)dSy +Ω∂ΩËàïëàñà äëÿ îáëàñòè ΩÔóíêöèÿ ðèíà ïî îïðåäåëåíèþ åñòüðåøåíèå△, g- ãàðìîíè÷åñêàÿ âΩ,G(x, y) = E(x − y) + g(x, y), ãäå E - óíäàìåíòàëüíîåG(x, y) = 0 ∀ y ∈ ∂Ω. Ôóíêöèÿ ðèíà ñóùåñòâóåòïðè÷åìäëÿ ëþáîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ), èìååò íîðìàëüíóþïðîèçâîäíóþ ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòèΩ,ñèììåòðè÷íà è íåïðåðûâíà ïî ñîâîêóïíîñòè ïå-ðåìåííûõ.Ôóíêöèÿ ðèíà äëÿ øàðàG(x, ȳ)G(x, y) =14π|x−y|−ïîëó÷àåòñÿ óíêöèÿ ðèíà äëÿ ïîëóøàðà.˛1˛ .
Èç íåå ïî îðìóëå˛y ˛4π|y|˛x− |y|2˛G(x, y) −Ïîäñòàíîâêà óêàçàííîé óíêöèè ðèíà â óðàâíåíèå âûøå äàåò îðìóëó Ïóàññîíà äëÿR (R2 −|x|2 )u(y) R R1çàäà÷è Äèðèõëå u(x) =dσy + G(x, y)f (y)dy (äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé4πR|x−y|3SRΩâòîðîå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ).Àëüòåðíàòèâíûé âàðèàíò ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèðèõëå ñîñòîèò â ïåðåõîäå ê äðóãîé ñèñòåìåêîîðäèíàò (îáû÷íî ê ïîëÿðíîé) è ïðèìåíåíèþ â íåé ìåòîäà Ôóðüå. Ïðè ïåðåõîäå ê ïîëÿðíîé∂21 ∂1 ∂2ñèñòåìå êîîðäèíàò îïåðàòîð Ëàïëàñà ïðåîáðàçóåòñÿ â △(ρ, θ) =∂ρ2 + ρ ∂ρ + ρ2 ∂θ 2 . Ïðè1∂∂1 ∂2 ∂ïåðåõîäå ê ñåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò â △(ρ, ϕ, θ) = r 2 ∂r r ∂r + r 2 sin θ ∂θ sin θ ∂θ +1∂21 ∂∂1 ∂∂2r 2 sin2 θ ∂ϕ , ïðè ïåðåõîäå ê öèëèíäðè÷åñêîé △(ρ, ϕ, z) = r ∂r r ∂r + r 2 ∂ϕ + ∂z 2 .Äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé îáùèé ïðèíöèï ìàêñèìóìà: ïóñòüòîãäàu ≤ 0 Ω.Äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû:1Òåîðåìà î ñðåäíåì.
Åñëè u - ãàðìîíè÷åñêàÿ, òî u(x9 ) =|SRn (x0 )|ñåðå ëåæàùåé â îáëàñòè ãàðìîíè÷íîñòè) èu(x9 ) =ìóìà.1|BRn (x0 )|Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ: ãàðìîíè÷åñêàÿ è îãðàíè÷åííàÿ âÍåðàâåíñòâî Õàðíàêà: åñëè u ãàðìîíè÷åñêàÿ â(R−|x|)R(R+|x|)Róíêöèÿ, òî≤ u(x)u(0) ≤ (R−|x|)n−1 .(R+|x|)n−1Òåîðåìà îá óñòðàíèìîé îñîáåíííîñòè: åñëèα(x) |E(x)|,ãäåE(x)uBR ,RnR2u(x)dx(ïî ëþáîén (x )SR0u(x)dx.Ïðèíöèï ìàêñè-n (x )BR0óíêöèÿ åñòü êîíñòàíòàíåïðåðûâíàÿ è íåîòðèöàòåëüíàÿ âãàðìîíè÷åñêàÿ âB̄RΩ \ {0}, ïðè÷åì |u(x)| ≤α(x) → 0 x → 0, òî 0- óíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà, àÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîé îñîáåííîñòüþ u.21Ôîðìóëû ðèíà: u, v ∈ C (Ω) ∩ C (Ω), òîãäàR ∂fRR ∂gf g cos(ν, xi )ds − f ∂xi dx∂xi g dx =ΩΩ∂ΩRRRu △ v dx = v ∂u▽u ▽ v dx∂ν ds −ΩΩ∂ΩR△u Ωu |∂Ω ≤ 0,,.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
