Н.А. Толмачёв - Задачи с зачётов по теории случайных процессов (1134158)
Текст из файла
Задачи с зачётов по теории случайных процессовПреподаватель — Николай Андреевич Толмачёв6 семестр, 2005–2006 г.Задача 1 (Вентцель, §6.1, №10). Доказать, что для произвольных марковских моментов σ, τ событие{τ < σ} измеримо относительно σ-алгебр Fτ , Fσ , Fτ ∧σ .Решение. Оно есть в книге. Задача 2 (Вентцель, §8.1, №5в). Пусть ξn — последовательность независимых одинаково распределённыхслучайных величин с плотностью p(x), которая нигде не обращается в нуль.
Пусть Sn := ξ1 + . . . + ξn , а Sn+ :=:= max(Sn , 0). Является ли Sn+ марковским процессом?Ответ: Нет, не является.Решение. Так как решение в книге неправильное, рассмотрим момент времени t = 2. Если процесс марковский, при каждом A ∈ F>t почти наверное должно выполняться условиеP(A|F6t ) = P(A|Ft ).(1) + +Рассмотрим событие A = S3 > 0 , а в качестве события из F6t возьмём S2 = 0, S1+ = x , где x > 0. Тогдаэта вероятность равна (тривиальные выкладки с формулой условной вероятности пропущены)P (x) :=P(S3+>0|S2+=0, S1+ −1Z−xZ∞Z−x= x) = P(ξ1 = x) ·p(t) p(u) du dt · P(ξ1 = x) ·p(t) dt=−∞= Z−x−∞−t−∞ Z−x−1p(t) 1 − F (−t) dt ·p(t) dt=−xR−∞p(t) 1 − F (−t) dtF (−x), (2)−∞где F (x) — функция распределения величины ξ.
Таким образом, в знаменателе имеем просто функцию распределения величины ξ, а в числителе — почти ту же функцию, только плотность интегрируется с весом 1−F (−t) .Поскольку плотность нигде не обращается в нуль, функция F (x) строго монотонна. Отсюда уже следует, чтоискомая вероятность зависит от x. Формально надо делать так: пусть P (x) ≡ C. Домножим равенство на (ненулевой) знаменатель и продифференцируем по верхнему пределу.
После упрощения получим, что F = const, чтоневерно.Значит, P (x) не может совпадать с P(A|Ft ), так как это выражение уж точно не зависит ни от какого x. Задача 3 (Вентцель, §8.1, №5г). Пусть ξn — последовательность независимых одинаково распределённыхслучайных величин с плотностью p(x), которая нигде не обращается в нуль. Пусть Sn := ξ1 + . . .
+ ξn , а ηn :=:= max(S1 , . . . , Sn ). Является ли ηn марковским процессом?Ответ: Нет, не является.Решение. Так как решение в книге неправильное, нужно действовать аналогично пункту «в»: надо доказать,чтоP(η3 > x|η2 = x, η1 = 0) 6= P(η3 > x|η2 = x, η1 = x).(3)Там тоже вылезут какие-то интегралы, про которые надо доказать, что они не равны.Замечание. В решении используется условная вероятность, где вероятность одного из условий равна 0.Поэтому, чтобы обосновать переходы, надо лезть в дебри действительного анализа.
Этого очень легко избежать. Если все индексы в решении увеличить на 1, то сократить уже можно будет (не будет событий нулевойвероятности), кроме того, получатся в точности те же интегралы, что и в исходном решении.Замечание. Еще одно замечание по этой задаче. В Вентцеле написано не max(S1 , .
. . , Sn ), а max(S0 , . . . , Sn ),где S0 полагается равным нулю. Что забавно, это также никак не меняет решения.Осмысление решения и этих замечаний предоставляем читателю. 1Задача 4. Пусть ξ и η соответственно пуассоновский и нулевой процессы при T = [0, 1]. Им соответствуютмеры на пространстве траекторий (с цилиндрической σ-алгеброй). Проверить эти меры на абсолютную непрерывность (в обе стороны), эквивалентность и ортогональность. Если меры абсолютно непрерывны, то найтиплотность.Ответ: Там есть только абсолютная непрерывность (все остальное не выполнено).Задача 5. Пусть Wt — винеровский процесс.
Показать, что процесс(t · W1/t , t 6= 0,ξt :=0,t=0(4)также будет винеровским.Решение. Покажем, что процесс ξt гауссовский и имеет ковариационную функцию Kξ (s, t) = min(s, t). Действительно, если вектор (Wt1 , . . . , Wtn ) гауссовский при любых t1 , . . . , tn , то и вектор t1 W1/t1 , . . . , tn W1/tn —тоже гауссовский, так как получается из гауссовского линейной (и даже диагональной) заменой. Значит, конечномерные распределения у ξt гауссовские. Найдём ковариационную функцию:Kξ (s, t) = M(ξs · ξt ) = M s · W1/s · t · W1/t = st · M W1/s · W1/t =1 1st1 1,= st · min,== min(s, t), (5)= st · KWs ts tmax(s, t)что и требовалось.Замечание. Во всяких книгах определение винеровского процесса именно такое, как считается, но Толмачёв на семинарах использовал более продвинутое определение винеровского процесса, где еще и траекториинепрерывны.
Поэтому в решении задачи надо добавить доказательство непрерывности траекторий. А именно: при t 6= 0 ясно, что всё непрерывно. Непрерывность в нуле следует из закона повторного логарифма длявинеровского процесса.Осмысление замечания, как обычно, предоставляется читателю в качестве упражнения. Задача 6.
Доказать, что B(RT ) = B T , если T не более чем счётно (борелевская σ-алгебра совпадает сцилиндрической).Задача 7. ξt — мартингал с независимыми приращениями, у которого Mξt = 0 и ξ0 = 0. Доказать, чтоξt2 − M(ξt2 ) — тоже мартингал.Решение. Пусть s < t. ТогдаM ξt2 − M(ξt2 )|Fs = M ξs2 + (ξt − ξs )2 + 2ξs (ξt − ξs ) − M(ξt2 )|Fs .(6)M(ξs2 |Fs ) = ξs2 .(7)Это просто переписано то же самое. Имеем:Далее, M(ξt2 ) — это просто число, оно вылезает из под условного матожидания. Кроме того,M ξs (ξt − ξs )|Fs = ξs M(ξt − ξs |Fs ) = 0,(8)потому что ξt — мартингал. Осталось разобраться с M (ξt − ξs )2 |Fs .
Из того, что приращения независимы,получаем, что это простоM (ξt − ξs )2 = M(ξt2 ) + M(ξs2 ) − 2M ξs (ξt − ξs ) − 2M(ξs2 ) = M(ξt2 ) − M(ξs2 ).(9)Здесь мы пользуемся тем, что (ξt − ξs ) и ξs независимы. Собирая все слагаемые, получаемM ξt2 − M(ξt2 )|Fs = ξs2 + M(ξt2 ) − M(ξs2 ) + 0 − M(ξt2 ) = ξs2 − M(ξs2 ),(10)что и требовалось доказать.
Задача 8. Пусть ξt , t > 0 — гауссовский процесс. Рассматривается H — замыкание по норме L2 линейнойоболочки hξt1 , . . . , ξtn |ti > 0i. Дан вектор (θ1 , . . . , θn ), такой что θi ∈ H. Доказать, что этот вектор гауссовский.Решение. 1◦ Все элементы из линейной оболочки (не замкнутой) — гауссовские случайные величины. Этопросто по определению гауссовского процесса и гауссовского вектора.2◦ Покажем, что любой линейный функционал на θ дает гауссовскую случайную величину. Значение этогофункционала — предел значений его на элементах нашей линейной оболочки. Таким образом, осталось доказать,2что предел в L2 гауссовских случайных величин — гауссовская случайная величина. Основная идея: из сходимости в L2 следует сходимость по мере, а, значит, и сходимость характеристических функций. Матожидание идисперсия сходятся к матожиданию и дисперсии.
Из этого вытекает все, что надо. Задача 9 (Вентцель, §5.3, №13). Пусть Wt , t ∈ [0, 1] — винеровский процесс, а ηt = Wt − ctW1 , гдеc — константа. При каких c имеет место абсолютная непрерывность Φη относительно ΦW и как выражаетсяплотность?Задача 10. Пусть Wt — винеровский процесс. Рассмотрим также процессы W2t , Wt+1 и соответствующиеим меры. Какие из них эквивалентны и какие ортогональны?Задача 11. Пусть ξt , t > 0 — случайный процесс с независимыми значениями (т. е. ξt и ξs независимыпри t 6= s). Является ли процесс ξt стохастически непрерывным? (Предполагается, что случайные величины ξtневырождены при любом t > 0.)PРешение.
Предположим противное: в некоторой точке t0 процесс ξt стохастически непрерывен, т. е. ξt −→ ξt0при t −→ t0 . Возьмём произвольную последовательность tn −→ t0 при n −→ ∞ (tn 6= tm при n 6= m). ТогдаPξtn −→ ξt0 при n −→ ∞. Поскольку из последовательности, сходящейся по вероятности, можно выбрать подпослеп.н.довательность, сходящуюся почти наверное, то существует подпоследовательность {nk } такая, что ξtnk −→ ξt0при k −→ ∞.По условию, ξtm и ξtn независимы при n 6= m. Значит, ξtnk — последовательность независимых случайных величин. Тогда по закону «0 или 1» Колмогорова хвостовая σ-алгебра F ∞ состоит только из событийвероятности 0 или 1:A ∈ F∞ =∞\k=1Fk∞ , где Fk∞ = σ ξtnk , ξtnk+1 , . .
.⇒P(A) ∈ {0; 1} .(11)Предел п.н. ξt0 = lim ξtnk , очевидно, измерим относительно каждой σ-алгебры Fk∞ , а значит и относительноk→∞F ∞ . Отсюда следует, что ξt0 = const, то есть вырождена. Противоречие. п.н.Задача 12 (Вентцель, §5.3 №17∗ ). Найти распределениеmax (Wt + bt),t∈[0,τ ](12)где Wt — винеровский процесс с почти наверное непрерывными траекториями, b = const. Предельным переходомполучить распределениеmax (Wt + bt).(13)t∈[0,+∞]Задача 13 (Вентцель, §5.3 №18∗ ). Найти распределениеmax (Wt − CtW1 ),t∈[0,T ](14)где Wt — винеровский процесс, а C 6= 1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
