Н.А. Толмачёв - Задачи с зачётов по теории случайных процессов (1134158), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Предельным переходом получить распределение этой случайной величины при C = 1.Задача 14. Пустьf x(·) = sup x(t),t∈[0,1]f : [0, 1] → R.(15)Доказать, что f не измеримо относительно B [0,1] .Задача 15. Доказать, что марковская переходная функция винеровского процесса удовлетворяет уравнениюКолмогорова – Чепмена.Задача 16. Пусть ξt — пуассоновский процесс, ηt ≡ 0. Сравнить носители распределений ξt и ηt .Задача 17. Пусть (X, τ ) — топологическое пространство, (Y, τY ) — его подпространство с индуцированнойтопологией.
Доказать, что B(Y ) = B(Y ) ∩ Y .Указание. Доказательство можно прочесть в книге А. Н. Ширяева «Вероятность», стр. 158, лемма 3.Задача 18. Пусть ξn : Ω → X, n ∈ N — F |B(X)-измеримые отображения, где (X, ρ) — метрическое пространство, B(X) — борелевская σ-алгебра на X, (Ω, F ) — измеримое пространство.
Пусть ξn −→ ξ при n → ∞поточечно. Доказать, что ξ также F |B(X)-измеримо.11 Корочеговоря, предел измеримых функций измерим.3Решение. Заметим, что поскольку борелевская σ-алгебра B(X) порождается всеми открытыми множествами в X (т.е. B(X) = σ(τ )), то достаточно проверить, что ξ −1 (B) = {ω : ξ(ω) ∈ B} ∈ F для любого открытогомножества B.В книге Булинского и Ширяева «Теория случайных процессов» есть следующееУтверждение 1. Пусть ξ : Ω → X и F — σ-алгебра в Ω. Если ξ −1 (M) ∈ F для некоторой совокупности Mподмножеств X, то ξ измерима относительно σ-алгебры σ(M).Это следствие такого факта: Еслисовокупность подмножеств Y , то ξ измеримо ξ : X → Y , M — некотораяотносительно σ-алгебры σ ξ −1 (M) , причём σ ξ −1 (M) = ξ −1 (σ{M}).
(Здесь F — σ-алгебра в вероятностномпространстве (Ω, F , P).)Пусть B — открытое множество; тогда F = X r B — замкнуто. Покажем, чтоξ−1(F ) =∞ \∞∞ [\ξk−1 (F 1/m ),(16)m=1 n=1 k=nгде F ε — окрестность множества F : F ε = {x ∈ X : ρ(x, F ) < ε}. Действительно, предел сходящейся последовательности в метрическом пространстве (X, ρ) лежит в замкнутом множестве тогда и только тогда, когда длялюбого ε > 0, начиная с некоторого номера, все члены последовательности лежат в его ε-окрестности. Поэтомуω ∈ ξ −1 (F ) ⇔ ξ(ω) ∈ F ⇔ ∀ ε > 0 ∃ n : ∀ k > n ξk (ω) ∈ F ε .(17)1, m = 1, 2, .
. . и учитывая, что ξn (ω) ∈ F ε ⇔ ω ∈ ξn−1 (F ε ), получаем вПолагая последовательно ε = mточности (16).По условию, ξn измеримы ∀ n ∈ N. Так как F 1/m — открытые множества (а значит, борелевские), то−1ξk (F 1/m ) ∈ F ∀ k, m ∈ N. А так как F — σ-алгебра, то из (16) получаем, что ξ −1 (F ) ∈ F .Вспомним, что F = X r B. Имеем: ξ −1 (F ) = ξ −1 (X r B) = Ω r ξ −1 (B) ∈ F , откуда ξ −1 (B) ∈ F , что итребовалось. Задача 19. Доказать, что траектории винеровского процесса почти наверное имеют неограниченную вариацию.Указание. Доказательство имеется, например, в лекциях Б.
М. Гуревича. См. http://dmvn.mexmat.net.Задача 20. Пусть Wt — винеровский процесс. Доказать, что P ({ω : Wt′ < ∞}) = 0 для всех t.Указание. В точке почти никакая функция ни дифференцируема, значит почти все функции не дифференцируемы почти нигде.Задача 21. Пусть τ (ω) ∼ R[0, 1], ξt (ω) — случайный процесс:(0,t 6 τ (ω);ξt (ω) :=1,t > τ (ω).t−τ (ω)(18)Показать, что:1◦ ξt стохастически непрерывен;R12◦ ξt (ω) dt в смысле сходимости по вероятности не существует.0Задача 22. Доказать, что |Wn − Wn−1 | = o√n ln ln n .Задача 23.
Пусть ηt ≡ 0, ξt — пуассоновский процесс. Исследовать Φξ и Φη на абсолютную непрерывность,эквивалентность, сингулярность.Ответ: Процессы Φξ и Φη сингулярны2 . Если A = {ω : θn (ω) = 0}, то Φξ (A) = 0, Φη (A) = 1.Задача 24. Доказать, что B(C[0, 1]) = B [0,1] ∩ C[0, 1] (или B(C[0, 1]) ⊆ B [0,1] ∩ C[0, 1]).Задача 25. Пусть Wt — винеровский процесс, ξt := Wt + 2. Исследовать меры ΦW и Φξ на ортогональность,эквивалентность, абсолютную непрерывность.Задача 26.
Пусть f > 0 — чётная функция, Wt — винеровский процесс. Является ли процесс f (Wt ) марковским?RbЗадача 27. Пусть процесс ξt непрерывен на [a, b]. Доказать, что тогда существует интеграл ξt dt в L2 (Ω, P).a2 Странно:два человека, которые сдавали эту задачу, употребили термин «сингулярность». Но вроде бы это свойство называетсяортогональностью! (прим.
ред.)4Задача 28 (с экзамена). Является ли процесс Орнштейна – Уленбека ξt марковским? А мартингалом?Ответ: Он является марковским, но не является мартингалом.Решение. Положим f (t) :=e2αt2α .Проверим мартингальность: M(ξt |Fs ) = M e−αt Wf (t) |Fs = M e−αt Wf (t) − e−αt Wf (s) + e−αt Wf (s) Fs == e−αt M Wf (t) − Wf (s) |Fs +e−αt M Wf (s) |Fs = e−αt Wf (s) . (19){z}|0Если бы был мартингал, то коэффициент был бы e−αs . А тут он другой. Значит, не мартингал.А теперь марковость: это очевидно: грубо говоря, процесс Орнштейна – Уленбека получается заменой переменных из винеровского процесса, который является марковским.
А замена монотонная. Пусть t1 , . . . , tn < t.ТогдаP(ξt < C|ξt1 , . . . , ξtn ) = P(Wf (t) < Ceαt |ξt1 , . . . , ξtn ).(20)Сигма-алгебра, порождённая {ξti }, совпадает с σ-алгеброй, порождённой соответствующим набором Wt′i . Задача 29. Рассмотрим функционал f 7→ µ f −1 (x > 0) (мера положительных значений). На каких функциях он разрывен и почему такие функции имеют меру нуль при винеровском процессе?Решение. Разрыв будет на функциях, принимающих значение 0 на положительной мере. Их мера нуль:мера нуль функций принимает значение 0 в данной точке.
Выберем случайно функцию и аргумент. По теоремеФубини мы получим значение нуль с вероятностью нуль. А тогда (по ней же) мера нуль функций имеет значениенуль на множестве положительной меры. Задача 30. Предел в L2 линейных комбинаций значений винеровского процесса является случайной величиной с нормальным распределением (если существует).Указание. Примерное решение: запишем через приращения винеровского процесса каждый элемент последовательности. Получим сумму независимых нормальных случайных величин на каждом месте.
То есть ищетсяпредел нормально распределённых величин (очевидно, сходящихся по распределению). Каждая из них задаётсяожиданием и дисперсией. Ожидания сходятся (куда деться при сходимости по распределению). Тогда дисперсии тоже (так как прообраз 0,25 при функции распределения сходится). А далее есть случай нулевой дисперсииотдельно, и случай сходимости из непрерывности плотности нормального распределения в данной точке применяющихся параметрах.Последняя компиляция: 23 июня 2008 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
