Типовые задачи к зачёту (1134151)
Текст из файла
Типовые задачи к зачёту по курсу «Теория случайных процессов»Осень 2015 г.1. Задачи по моментным характеристикам случайных процессов, конечномернымраспределениям и т. д.1.1. Найти двумерные распределения процесса ξ(t) = eαt , t > 0, считая, что случайная величина α равномерно распределена на [−1, 1]. Нарисовать типичные траектории процесса.1.2. Случайная величина τ имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1]. В случайныймомент времени t = τ в цепи загорается (и далее не гаснет) лампочка.
Зададим случайныйпроцесс: ξ(t) = 1, если в момент времени t ∈ [0, 1] лампочка горит, и ξ(t) = 0, если в моментвремени t ∈ [0, 1] лампочка не горит. Найти двумерное распределение данного случайногопроцесса.1.3. Случайный процесс задан как ξ(t) = A cos(ωt + ϕ), t > 0, где ω – неслучайная константа,случайные величины A и ϕ независимы, M A = m DA = σ 2 , а ϕ равномерно распределена на отрезке [0, 2π]. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и корреляционнуюфункцию процесса ξ(t).1.4. Пусть η – случайная величина с равномерным на отрезке [0, 1] распределением.
Найти всеконечномерные распределения случайного процесса ξ(t), 0 6 t 6 1, который равен единице,если η > t, и равен нулю при выполнении противоположного неравенства. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию этого процесса.1.5. Правильная игральная кость (на каждой из трёх пар параллельных граней сумма очков равна 7) лежит «шестёркой» вверх. В момент времени, который можно считать случайной величиной, равномерно распределённой на отрезке [0, 1], игральную кость одинраз переворачивают на одну из соседних граней, равновероятно выбранных наугад.
Пустьξ(t) = k, если в момент времени t игральная кость лежит вверх гранью с k очками. НайтиPk (t) = P (ξ(t) = k) для k = 1, . . . , 6 и любого t ∈ [0, 1].1.6. В момент времени t = 0 из начала координат вправо по числовой прямой начинает движение с постоянной скоростью, равной v1 = 1, первая частица. В момент времени, которыйможно считать случайной величиной, равномерно распределённой на отрезке [0, 1], из начала координат вправо начинает движение вторая частица. Её скорость равна v2 = 2. Пустьξ(t) – расстояние между частицами (в абсолютных единицах) в момент времени t ∈ [0, 1].Найти одномерную функцию распределения данного случайного процесса.1.7. Случайный процесс задан соотношением ξ(t) = αt2 + β, t > 0, где α и β – независимыеслучайные величины, равномерно распределённые на отрезке [−1, 1]. Найти вероятностьтого, что ξ(t) > 0 при любом t > 1.1.8.
Случайный процесс задан соотношением ξ(t) = α + ct, t > 0, где α – случайная величинас заданной функцией распределения, а c – фиксированная постоянная. Найти вероятностьтого, что ξ(t) = 0 хотя бы при одном t ∈ [0, 1].2. Задачи по процессу Пуассона.2.1. Найти вероятность того, что в пуассоновом потоке требований с интенсивностью λ к моменту времени 3t поступит не более трёх требований и к моменту времени t поступит болееодного требования.2.2.
Известно, что в пуассоновом потоке требований с интенсивностью λ к моменту времени 2tпоступило ровно 2n требований. При этом условии найти вероятность того, что в промежуток времени [0, t) поступило не более n требований из пуассонова потока.2.3. Найти вероятность того, что в пуассоновом потоке требований с интенсивностью λ к моменту времени 3t поступило не более четырёх требований из потока, а к моменту времени tуже поступило более одного требования.2.4. Известно, что второе из требований в пуассоновом потоке с интенсивностью λ = 1 поступилоранее, чем в момент времени 2t.
При этом условии найти вероятность того, что времяпоступления первого требования из пуассонова потока оказалось больше t.2.5. Найти вероятность того, что в пуассоновом потоке требований с интенсивностью λ = 1первое требование ещё не пришло к моменту времени t, а второе поступило не позже чем вмомент времени 2t.2.6. Пусть ξ(t), t > 0, - пуассонов поток требований с интенсивностью λ > 0, а случайныевеличины α и β не зависят от него и друг от друга и равномерно распределены на отрезке[0, 1].
Найти вероятность того, что в интервале времени (α, β) не не поступит ни одноготребования из потока ξ(t).2.7. По двум каналам связи на телефонную станцию передаётся два независимых пуассоновыхпотока сообщений, один с интенсивностью три сообщения в минуту, другой – с интенсивностью два сообщения в минуту. Найти вероятность того, что за минуту поступит ровно двасообщения.2.8. Поток клиентов парикмахерской есть процесс Пуассона с интенсивностью 1 клиент в 10 минут.
Время обслуживания клиента есть случайная величина, распределённая по показательному закону. Среднее время обслуживания клиента составляет 30 минут. В начальныймомент времени в парикмахерской нет клиентов. Найти вероятность того, что второй клиент встретит отказ в связи с тем, что мастер занят с первым клиентом.2.9. Телеграфный процесс определяется как случайный процесс ξ(t), t > 0, у которого каждоесечение имеет распределение P (ξ(t) = 1) = P (ξ(t) = −1) = 1/2, а количество перемен знакана интервале [0, t) есть пуассонов поток требований с интенсивностью λ. Найти ковариационную функцию телеграфного процесса.3.
Задачи по цепям Маркова и марковским процессам.3.1. Цепь Маркова имеет два состояния. Распределение на первом шаге задаётся начальными1/2 1/2вероятностями a1 = 1/3, a2 = 2/3. Матрица перехода за один шаг имеет вид.1/4 3/4Найти распределение на третьем шаге.1/2 1/23.2. Матрица перехода за один шаг в цепи Маркова имеет вид. Найти финальные1/4 3/4вероятности.3.3.
В правильной игральной кости сумма очков на противоположных гранях во всех трёх случаях равна 7. В начальный момент времени игральная кость лежит на грани с «шестёркой».В моменты времени t = 1, 2, . . . кость переворачивают на одну из четырёх соседних граней.Найти распределение вероятностей положений кости в результате второго поворачивания.Найти стационарное распределение в такой модели.3.4. Дана матрица переходных вероятностей системы за один шаг и начальные вероятности цепиМаркова:P (ξ1 = 1) = 0.1,0.2 0.2 0.6π = 0.3 0.5 0.2 ,P (ξ1 = 2) = 0.4,0.4 0.3 0.3P (ξ3 = 3) = 0.5Найти вероятность P (ξ1 = 3, ξ2 = 1, ξ4 = 2).3.5.
Заданы матрица переходных вероятностей системы за один шаг и начальные вероятностицепи Маркова:P (ξ1 = −1) = 0.5,0.2 0.8π=,0.4 0.6P (ξ1 = 1) = 0.5.Найти условное распределение случайной величины ξ2 при условии ξ3 = x2 . Найти коэффициент ковариации двух случайных величин ξ1 и ξ3 .3.6.
Заданы матрица переходных вероятностей системы за один шаг и начальные вероятностицепи Маркова:P (ξ1 = 0) = 0.2,0.3 0.7 0π = 0 0.5 0.5 ,P (ξ1 = 1) = 0.4,0.4 0.2 0.4P (ξ1 = 2) = 0.4.Найти вероятность того, что ξ2 < ξ3 .3.7. Система может находиться в одном из двух состояний. Вероятность перехода за малое время ∆t из первого состояния x1 во второе состояние x2 равна a∆t + o(∆t), вероятностьперехода из x2 в x1 равна b∆t + o(∆t). В начальный момент времени система находиласьв первом состоянии (с вероятностью единица). Считая переходы системы марковским процессом, найти pk (t) = P (ξ(t) = xk ) для любого t > 0 иk = 1, 2 и предел этих вероятностейпри t → +∞.3.8.
Матрица Λ в системе уравнений Колмогорова имеет вид−2 11Λ = 2 −3 1 .20 −2Найти стационарное (т. е. не меняющееся со временем) распределение такого марковскогопроцесса.4. Задачи по случайным блужданиям.4.1. Частица совершает случайные скачки единичной длины по целочисленным точкам действительной прямой, прыгая направо с вероятностью p и налево – с вероятностью q, p + q = 1.В момент времени t = 0 частица находилась в точке x = 0. Найти вероятность того, что вмомент времени t = 8 частица окажется в точке с координатой x = 4, если известно, что затри шага отошла от нуля не больше чем на 1 в любом направлении.4.2. Для симметричного случайного блуждания, которое начинается из нуля, найти дисперсиюкоординаты частицы на третьем шаге.4.3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
