Типовые задачи общего зачета (1134082)
Текст из файла
Îáðàçöû çàäà÷ äëÿ çà÷åòàÐàçäåë 1. Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòåé.1.1. Ñîáûòèÿ A, B , C íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè è P (A) = 0.8, P (B) = 0.7,P (C) = 0.6. Íàéòèà) P (A ∪ B ∪ C);á) P (A ∩ B ∪ C);â) P ((A ∪ B) ∩ (B ∪ C).Ðàçäåë 2. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé.2.1. Òðîå ïîî÷åðåäíî áðîñàþò ìîíåòó. Âûèãðûâàåò òîò, ó êîòîðîãî ðàíüøå ïîÿâèòñÿ ãåðá. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà äëÿ êàæäîãî èãðîêà.2.2. N ÷åëîâåê ñàäÿòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì çà êðóãëûé ñòîë. Íàéòè âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî òðè ôèêñèðîâàííûõ ëèöà ñÿäóò ðÿäîì, ïðè÷åì A ñïðàâà îò B , à C ñëåâà.2.3.
Èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñåë 1, 2, ..., n íàóäà÷ó âûáèðàþòñÿ äâà ÷èñëà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî îäíî èç íèõ áîëüøå k , à äðóãîå ìåíüøå (1 < k < n)?2.4. Íà ïîëêå â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå ðàññòàâëåíû 40 êíèã, ñðåäè êîòîðûõ èìååòñÿòðåõòîìíèê Ëåðìîíòîâà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòè òîìà ñòîÿò â ïîðÿäêåâîçðàñòàíèÿ (íå îáÿçàòåëüíî ðÿäîì).2.5. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûáðàííîå íàóäà÷ó öåëîå ÷èñëî ïðè âîçâåäåíèè â êâàäðàò äàñò ÷èñëî, îêàí÷èâàþùååñÿ åäèíèöåé.2.6.
Èç êîëîäû êàðò (52 øò.) èçâëåêàþòñÿ òðè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ýòîáóäóò òðîéêà, ñåìåðêà è òóç?2.7. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ïÿòè áðîñàíèÿõ ìîíåòû ãåðá âûïàäåò ïîêðàéíåé ìåðå òðè ðàçà ïîäðÿä.2.8. Èç ÿùèêà, ñîäåðæàùåãî òðè áèëåòà ñ íîìåðàìè 1, 2 è 3 âûíèìàþò ïîîäíîìó âñå áèëåòû. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áèëåòîâ èìåþòîäèíàêîâûå âåðîÿòíîñòè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû ó îäíîãî áèëåòàïîðÿäêîâûé íîìåð ñîâïàäàë ñ ñîáñòâåííûì.2.9.  ÷óëàíå íàõîäèòñÿ 10 ïàð áîòèíîê. Ñëó÷àéíî âûáèðàþòñÿ 4 áîòèíêà.
Íàéòèâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè íèõ ïî êðàéíåé ìåðå îäíà ïàðà.2.10. Íåêòî ðàññûïàë ñëîâî ÀÍÀÍÀÑ, ñîñòàâëåííîå èç áóêâ ðàçðåçíîé àçáóêè,è çàòåì ñîáðàë åãî â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñíîâàïîëó÷èëîñü ñëîâî ÀÍÀÍÀÑ.2.11. Èç öèôð 1, 2, 3 íàóãàä ñîñòàâëÿåòñÿ øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîëó÷èòñÿ ÷åòíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå âñåãî îäíó öèôðó 2 è ÷òîâ ýòîì ÷èñëå öèôðà 1 áóäåò âñòðå÷àòüñÿ äâà ðàçà, öèôðà 3 òðè ðàçà.2.12.
Ñêîëüêî íóæíî âçÿòü ÷èñåë èç òàáëèöû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, ÷òîáû èç íèõ ñâåðîÿòíîñòüþ 0.9 áûëî õîòÿ áû îäíî ÷åòíîå?2.13. Âåðîÿòíîñòü óñïåõà â êàæäîì èñïûòàíèè ñõåìû Áåðíóëëè ðàâíà p. Êàêîâàâåðîÿòíîñòü, ÷òî k -ûé óñïåõ ïðèäåòñÿ íà m-îå èñïûòàíèåÐàçäåë 3. Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè.3.1. Íà îòðåçêå íàóäà÷ó ñòàâÿò äâå òî÷êè, äåëÿùèå îòðåçîê íà òðè.
Êàêîâàâåðîÿòíîñòü, ÷òî èç ïîëó÷åííûõ îòðåçêîâ ìîæíî ïîñòðîèòü òðåóãîëüíèê?3.2. Íà îòðåçîê [0,1] íàóäà÷ó áðîñàåòñÿ äâå òî÷êè, ξ è η . Êàêîâà âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî êîðíè óðàâíåíèÿ x2 + ξx + η = 0 äåéñòâèòåëüíû?3.3. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî èç òðåõ âçÿòûõ íàóäà÷ó îòðåçêîâ, äëèíû êîòîðûõ< 1, ìîæíî ïîñòðîèòü òðåóãîëüíèê?3.4.  åäèíè÷íûé êâàäðàò íàóäà÷ó áðîñàåòñÿ òî÷êà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü, ÷òî ååðàññòîÿíèå äî áëèæàéøåé ñòîðîíû êâàäðàòà ìåíüøå, ÷åì äî áëèæàéøåé äèàãîíàëè.3.5.
Íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû ðàäèóñà R ïðîèçâîëüíî âûáèðàþòñÿ äâå òî÷êè. Êà-êîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íèõ äóãà áîëüøîãî êðóãà ñòÿãèâàåò óãîë,ìåíüøèé α (α < π )?3.6. Âíóòðè ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ABC ñî ñòîðîíîé 1 íàóãàä âûáèðàþò√òî÷êó M . Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AM B áîëüøå38 ?3.7. Íà îòðåçêå AB íàóäà÷ó âûáèðàþòñÿ äâå òî÷êè L è M . Íàéòè âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî òî÷êà L áóäåò áëèæå ê òî÷êå M , ÷åì ê òî÷êå A.Ðàçäåë 4. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè, ôîðìóëû Áàéåñà.4.1.
Èãðàëüíàÿ êîñòü áðîñàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå âûïàäåò åäèíèöà. Ïðè ïåðâîìáðîñàíèè åäèíèöà íå âûïàëà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîòðåáóåòñÿ íå ìåíååòðåõ áðîñàíèé.4.2. Áðîñàþò òðè êîñòè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû íà îäíîé èç íèõâûïàäåò åäèíèöà, åñëè íà âñåõ òðåõ âûïàëè ðàçíûå ãðàíè?4.3. Èãðàëüíàÿ êîñòü ïîäáðîøåíà äâàæäû.Ïóñòü ñîáûòèå A ¾÷èñëî î÷êîâ ïðèïåðâîì áðîñàíèè ðàâíî 5¿, à B ¾ñóììà î÷êîâ ïðè äâóõ áðîñàíèÿõ ðàâíà 9¿.Ïðîâåðèòü óòâåðæäåíèÿ: à) ñîáûòèÿ A è B íåçàâèñèìû; á) ñîáûòèÿ A è Bîáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé.
Îòâåò îáîñíîâàòü.4.4. Ïóñòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ðàâíà 0.7, à âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿâ ñëó÷àå ïîïàäàíèÿ 0.2. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïîñëå òðåõ âûñòðåëîâ öåëü íåïîðàæåíà?4.5.  ñîñóä, ñîäåðæàùèé n øàðîâ, îïóùåí áåëûé øàð. Êàêîâà âåðîÿòíîñòüèçâëå÷ü áåëûé øàð, åñëè âñå êîìáèíàöèè ñðåäè øàðîâ, íàõîäèâøèõñÿ â ñîñóäåðàâíîâåðîÿòíû?4.6. Ìàøèíû A, B è C ïðîèçâîäÿò ñîîòâåòñòâåííî 25, 35 è 40% âñåõ äåòàëåé. èõ ïðîäóêöèè áðàê ñîñòàâëÿåò ñîîòâåòñòâåííî 5, 4 è 2%. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü,÷òî âûáðàííàÿ äåòàëü ñäåëàíà ìàøèíîé A (B èëè C ), åñëè îíà îêàçàëàñü áðàêîâàííîé?4.7.
 ñõåìå Áåðíóëëè âåðîÿòíîñòü èñõîäà "1" ðàâíà p, âåðîÿòíîñòü "0" ðàâíà1 − p. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü "00" ïîÿâèòñÿ ðàíüøå,÷åì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü "01".4.8. Èçâåñòíî, ÷òî ïðè áðîñàíèè 10 êîñòåé âûïàëà ïî êðàéíåé ìåðå îäíà åäèíèöà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî âûïàëî áîëåå îäíîé åäèíèöû?4.9. Èç óðíû, â êîòîðîé áûëî m > 3 áåëûõ øàðîâ è n ÷åðíûõ, óòåðÿí øàð íåèç-âåñòíîãî öâåòà. Ïîñëå ýòîãî èç íåå áûëè âûíóòû äâà øàðà, êîòîðûå îêàçàëèñüáåëûìè.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî áûë óòåðÿí áåëûé øàð?4.10. Èãðàëüíàÿ êîñòü áðîñàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå âûïàäåò åäèíèöà. Ïóñòü÷èñëî èñïûòàíèé n ÷åòíî. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ýòîì n = 2?Ðàçäåë 5. Ôóíêöèè îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.5.1. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû è èìåþò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòèe−x , x > 0. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ξ − η .5.2.
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû è èìåþò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòèe−x , x > 0. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè |ξ − η|.5.3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû è èìåþò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòèe−x , x > 0. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ξ/η .5.4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ√èìååò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè e−x , x > 0. Íàéòèïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè η =ξ.5.5. ×åðåç òî÷êó (0, l) ïðîâåäåíà íàóãàä ïðÿìàÿ. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòèàáñöèññû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ñ îñüþ Ox.5.6. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáúåìà êóáà, åñëè ðåáðî ðàñïðåäåëåíî ðàâíîìåðíî íà [0, a].5.7.
Ïóñòü ξ, η ∼ N(0, σ 2 ) è íåçàâèñèìû. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè aξ +bη + c.5.8. Ïóñòü ξ, η ∼ pN(0, σ 2 ) è íåçàâèñèìû. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àé-íûõ âåëè÷èí ρ =ξ 2 + η 2 è ϕ = arctg( ηξ ).5.9. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,îäíà èõ êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî íà [0,1] à äðóãàÿ èìååò ïîêàçàòåëüíîåðàñïðåäåëåíèå p(x) = e−x , x > 0.5.10. Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, P (ξ = k) = P (η = k)= 2−k , k = 1, 2, ....
Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ξ + η .Ðàçäåë 6. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîìåíòû.6.1. Ïóñòü ξ, η ∼ N(0, 1) è íåçàâèñèìû. Íàéòè M max(ξ, η), D max(ξ, η).6.2. Ïóñòü ξ íîðìàëüíàÿ N(0, 1) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Íàéòè M|ξ + 1|, D|ξ + 1|.6.3. Ñëó÷àéíàÿ òî÷êà A èìååò â êðóãå ðàäèóñà R ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå.Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ðàññòîÿíèÿ ξ òî÷êè A îò öåíòðà.6.4. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ, η ∼ N(0, 4) è íåçàâèñèìû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òî-ãî, ÷òî òî÷êà (ξ, η ) ïîïàäåò â êîëüöî ñ ðàäèóñàìè 2 è 3 è öåíòðîì â íà÷àëåêîîðäèíàò.6.5. Ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ, η) èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x, y) = 1 +e−(ax+by) − e−ax − e−by , ïðè x > 0, y > 0 è F (x, y) = 0 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Íàéòè ÷àñòíûå (ìàðãèíàëüíûå) ðàñïðåäåëåíèÿ ξ è η .
Èññëåäîâàòü ýòè ñë.âåëè÷èíû íà íåçàâèñèìîñòü è íåêîððåëèðîâàííîñòü.6.6. Î ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíàõ (ξ è η) èçâåñòíî, ÷òî pξ (x) = exp(−x), ïðè x > 0,Dη = 2, D(ξ − η) = 3. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ξ è η .6.7. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè òðåõ íåçàâèñèìûõ âûñòðåëàõ ñòðåëîê ïîïàäåò âöåëü õîòÿ áû îäèí ðàç, ðàâíà 0.992. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà ïîïàäàíèé ïðè äâàäöàòè âûñòðåëàõ.6.8. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ñîñðåäíèì çíà÷åíèåì 25.
Âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ýòîé ξ â èíòåðâàë(35, 40), åñëè îíà ïîïàäàåò â èíòåðâàë (20, 30) ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.2.6.9. Ïóñòü ξ ∼ N(0; 1). Âû÷èñëèòü Mξ 3 .6.10. Ïóñòü ξ ∼ N(π; e). Âû÷èñëèòü Fξ (Mξ).6.11. Äàíà ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è ηpξ,η (x, y) = Cxy, åñëè 0 < x <√y < 1, x > 0, èíà÷å pξ,η (x, y) = 0.Îïðåäåëèòü êîíñòàíòó C è íàéòè:à) ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ξ è η ;á) ïëîòíîñòè ìàðãèíàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ξ è η ;â) ïëîòíîñòè óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ξ è η ;ã) óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ξ è η ;ä) êîâàðèàöèþ ξ è η .6.12. Èãðà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ìîíåòó áðîñàþò ïîî÷åðåäíî äâà èãðîêà äîïîÿâëåíèÿ ãåðáà.
Åñëè ãåðá âûïàë ïðè k -ì áðîñàíèè, òî èãðîê, áðîñàâøèé ìîíåòó, ïîëó÷àåò k ðóáëåé. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûèãðûøà êàæäîãî èçèãðîêîâ.6.13. Ïóñòü η = |ξ|, ãäå ξ ∼ N(0, 1) . Íàéòè Fη (x), Mη , Dη .6.14. Ïóñòü η = sign(ξ − 1), ãäå ξ ∼ N(0, 1). Íàéòè Fη (x), Mη , Dη .6.15.
Íàéòè M cos(ξ), D cos(ξ), åñëè ξ ∼ N(0, 1).6.16. Âåäåòñÿ ñòðåëüáà ïî ìèøåíÿì. Íàéòè êîâàðèàöèþ ÷èñëà ïîïàäàíèé â äå-âÿòêó è âîñüìåðêó ïðè n âûñòðåëàõ, åñëè âåðîÿòíîñòè ïðè êàæäîì âûñòðåëåâûáèòü 1, 2. ...,10 îäèíàêîâû.Ðàçäåë 7. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè.7.1. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ln(ξ), ãäå ξ ðàñ-ïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî íà (0,1).7.2. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ 2 , ãäå ξ ∼ N(0, 1).7.3.
Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.7.4. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ îòðèöàòåëüíî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.7.5. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ïëîòíîñòüþâåðîÿòíîñòè p(x) = 12 e−|x| .7.6. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåòõàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (t) =1+it1+t2 .7.7.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
