Лекции по теории вероятностей (Б.И.Волков, 2006) (1134037), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Вероятность распада для каждого атомаP {η(t) > 0} = P {τ < t} = 1 − e−λt . При t = t0 , 1 − e−λt0 = 12 , половинавсего вещества распадается, так что e−λt0 = 21 , λt0 = ln 2, t0 = lnλ2 времяполураспада.Винеровский сл. процесс. Случайный процесс ξ(t) называется Винеровским, если1. для 0 = t0 6 t1 < t2 < · · · < tn ηi = ξ(ti ) − ξ(ti−1 ) независимы всовокупности,2. ξ(t) − ξ(s) ∼ N(0, t − s), 0 < s < t,3. ξ(0) = 0 (начинается в нуле).Таким образом, вектор η = (η1 , η2 , . .
. , ηn ) распределен с плотностьюnYi=1Если перейти к ξi =рицей A вида1 1A= 1 .. .11piP2π(t1 − ti−1 )½exp −x2i2(t1 − ti−1 )¾.ξk с помощью невырожденного преобразования с мат-k=1011...001...............000...1 1 ... 1,A−1=10 0−1 1 00 −1 1.... .... .00 0............000...... 1,Конспект лекций по теории вероятностей 200641то получим для вектора ξ плотностьpξ (x, t) =nYi=1(xi − xi−1 )2pexp −2(t1 − ti−1 )2π(t1 − ti−1 )½1¾.Пример.
Броуновское движение (одномерная задача).Пусть ξ(t) координата броуновской частицы на прямой, ξ(0) = 0.ξ(t + s) = [ξ(t + s) − ξ(s)] + [ξ(s) − ξ(0)],t, s > 0.Из однородности следует, что слагаемые в правой части независимы и поэтомуξ(t + s) = ξ(t) + ξ(s), откуда ξ(t) = σ 2 t, где σ 2 некоторая константа.Рассмотрим дискретный аналог случайное блуждание по одномерной сетnPке в дискретном времени: ξn =ξi , P {ξi = ±∆x} = 21 , t = n∆t.i=1PPξn =ξi = 0, ξn =ξi = n(∆x)2 , приравнивая σ 2 n∆t, получим,2(∆x)22что (∆x)=σ=const.Переходякпределупри∆x→0,∆t→0,= σ2,∆t∆tполучаемξ(t)ξnd√ −→ √ ∼ N(0, 1).σ t n→∞ σ tОтсюда ξ(t) ∼ N(0, σ 2 t) или ξ(t) − ξ(s) ∼ N(0, σ 2 (t − s)).В общем случае (если нет симметрии)ξ(t) − ξ(s) ∼ N(θ(t − s), σ 2 (t − s)), где θ коэффициент сноса.Характеризация винеровского процесса.Теорема. Пусть сл.
процесс удовлестворяет условиям:1) для любых непересекающихся промежутков приращения независимы;2) для любого промежутка вероятность зависит лишь от длины промежутка(однородность);3) для функции распределения приращения ξ(t0 +t)−ξ(t0 ), F (x, t) существует плотность p(x, t), имеющая непрерывные и ограниченные по x, −∞ < x < ∞,производные до 3-го порядка ∀t > 0;4) для малых ∆t малые приращения более вероятны, чем большие, а именноZ∞1lim∆t→0 ∆txp(x, ∆t)dx = A;(33)x2 p(x, ∆t)dx = B > 0;(34)−∞1lim∆t→0 ∆tZ∞−∞1lim∆t→0 ∆tZ∞|x|3 p(x, ∆t)dx = 0;−∞Тогда ξ(t) (обобщенный) винеровский процесс.(35)42Конспект лекций по теории вероятностей 2006Доказательство. Рассмотрим два смежных промежутка (0, t) и (t, t + ∆t),а также его сумму (объединение).
Пользуясь формулой для плотности суммынезависимых сл. величин, получаемp(x, t + ∆t) =Z∞(36)p(x − s, t)p(s, ∆t)ds.−∞Разлагая сомножитель p(x − s, t) в ряд Тейлора по степеням s, получимp(x − s, t) = p(x, t) −∂p(x, t)1 ∂ 2 p(x, t) 2 1 ∂ 3 p(x̃, t) 3s+s −s,∂x2 ∂x26 ∂x3подставляя это в (36), получаем∂p(x, t)p(x, t + ∆t) − p(x, t) = −∂xZ∞sp(s, ∆t)ds+−∞1 ∂ 2 p(x, t)+2 ∂x2Z∞1s2 p(s, ∆t)ds −6−∞Z∞ ·−∞¸∂ 3 p(x̃, t) 3s p(s, ∆t)ds.∂x3Разделим на ∆t и перейдем к пределу при ∆t → 0, учитывая свойства (33, 34,35):Z∞∂p(x, t)∂p(x, t) B ∂ 2 p(x, t),= −A+∂t∂x2 ∂x2p(x, t)dx = 1,p(x, t) > 0.−∞Подстановкой y = x − At, τ = Bt, p(x, t) = p̄(y, τ ) приводим к∂ p̄1 ∂ 2 p̄=,∂τ2 ∂y 2−∞ < y < ∞уравнению теплопроводности с решениемy21p̄(y, τ ) = √e− 2τ ,2πτZ∞p̄dy = 1.−∞В прежних переменных это выглядит так:p(x, t) = √(x−At)21e− 2Bt .2πBtЗадача.
Найти распределение τx времени первого достижения броуновской частицей точки x (x > 0).P {ξ(t) > x|τx < t} =P {ξ(t) > x}1=.2P {τx < t}43Конспект лекций по теории вероятностей 2006√ >Отсюда P {τx < t} = 2P { ξ(t)tx√}t=q R∞2πx√ty2e− 2 dy и pτx =2x − x2t√1 3/2et2π.Аналогично для ξt = max ξ(s) максимальной координаты броуновской06s6tчастицы имеем: P { max ξ(s) > x} = P {τx < t} и pξt (x) =06s6tx2√ 1 e− 2t2πt, x > 0.Интересно, что ∀x: P {τx < ∞} = 1 и ∀t: P { max ξ(s) > 0} = 1.06s6tТеория второго порядка (корреляционная теория). Далее будут встре- Лекция 14чаться комплексные случайные процессы ξ(t) = η(t) + iζ(t), где η(t) и ζ(t) действительные случайные процессы.Корреляционной функцией случайного процесса ξ(t) называется 22K(t, s) =(ξ(t) −ξ(t))(ξ(s) −ξ(s)).Примеры. (1) Корреляционная функция винеровского случайного процесса,ξ(t) − ξ(s) ∼ N(0, t − s), s < t.
При 0 < s < tξ(t)ξ(s) =[(ξ(t) − ξ(s)) + (ξ(s) − ξ(0))](ξ(s) − ξ(0)) =(ξ(s) − ξ(0)) 2 = s.При 0 < t < s аналогично получаем ξ(t)ξ(s) = t. Следовательно,ξ(t)ξ(s) = min(t, s).(2). Корреляционная функция пуассоновского процесса,(λt)k −λtP (ξ(t) = k) =e ,k!ξ(t) = λt.Для 0 < s < t:K(t, s) =(ξ(t) − λt)(ξ(s) − λs) =+(ξ(s) − λs)](ξ(s) − λs) =[(ξ(t) − ξ(s) − λ(t − s))+(ξ(s) − λs)2 = λs.Поэтому и в этом случае K(t, s) = λ min(t, s).В обоих примерах использована независимость приращений.Определение. Случайный процесс ξ(t) называется непрерывным в среднемквадратичном в точке t, если|ξ(t + h) − ξ(t)|2 → 0 при h → 0,или, иначе говоря, еслиξ(t) = l.i.m.
ξ(t + h).h→0Речь идет о случайных процессах с конечными моментами второго порядка;| ξ| 6 |ξ| 6 [ |ξ|2 ]1/2 < ∞, в этом случае и |ξ| < ∞.Напомним, что последовательность {ξk } сходится в среднем квадратичном кξ, если |ξk − ξ|2 → 0, k → ∞; ξ = l.i.m. ξk .k→∞Свойства с.к. сходимости.Критерий 1. (фундаментальность) Для сходимости в с.к. последовательности {ξk } необходимо и достаточно, чтобы |ξk − ξn |2 → 0 при k, n → ∞. 232223Черта означает комплексное сопряжение.(Если бы символизировало римановское интегрирование, не было бы полноты).44Конспект лекций по теории вероятностей 2006Критерий 2.
Последовательность {ξk } сходится в среднем квадратичном, если и только если числовая последовательность ξk ξn → ξξ при k, n → ∞независимо.Доказательство. (ξk − ξn )(ξk − ξn ) = ξk ξk + ξn ξn − ξk ξn − ξn ξk → 0,если M ξk ξ n сходится.Наоборот, ξk ξn − ξξ = (ξk − ξ)(ξn − ξ) + ξ(ξn − ξ) + (ξk − ξ)ξ → 0,с.к.если ξk −→ ξ.n→∞Другие свойства: если ξ = l.i.m. ξk , то(1)k→∞ξ=limk→∞ξk . Действительно, | ξ −ξk |6|ξ − ξk |6( |ξ − ξk |2 )1/2 → 0, k → ∞.(2) |ξ|2 = lim |ξk |2 . Доказывается на основе критерия 2 или непосредk→∞222222 1/22ственно:|ξ−ξp k | = 1/2|ξ| − ξξk − ξk ξ+ |ξk | > |ξ| −2( |ξ| |ξk | ) + |ξk | =p(|ξ|2 −|ξk |2 ) .(3) Если, кроме того, η = l.i.m. ηk , то ξη = limξn ηk . Действиn,k→∞k→∞тельно, | (ξn η̄k − ξ η̄)| 6 p |ξn η̄k − ξ η̄| 6 p|ξn η̄k − ξn η̄ + ξn η̄ − ξ η̄| 6|ξn η̄k −ξn η̄|+ |ξn η̄−ξ η̄| 6|ξn |2 |ηk − η|2 +|ξn − ξ|2 |η|2 −→ 0.n,k→∞Вернемся к сл.
процессам. Всюду далее будем считать ξ(t) = 0.Теорема.1. Для того, чтобы случайный процесс ξ(t) был с.к. непрерывен в точке t 0необходимо и достаточно, чтобы K(t, s) была непрерывна в точке (t 0 , t0 ).2. Если K(t, s) непрерывна на диагонали t = s, то K(t, s) непрерывна всюду.Доказательство. 1.
Достаточность. Пусть K(t, s) непрерывна в точке(t0 , t0 ). Тогда|ξ(t0 +h)−ξ(t0 )|2 = K(t0 +h, t0 +h)−K(t0 +h, t0 )−K(t0 , t0 +h)+K(t0 , t0 ) → 0при h → 0.Необходимость. Пусть сл. процесс ξ(t) с.к. непрерывен при t = t 0 , тогдаK(t0 + h, t0 + k) − K(t0 , t0 ) =[(ξ(t0 + h) − ξ(t0 ))(ξ(t0 + k) − ξ(t0 ))++(ξ(t0 + h) − ξ(t0 ))ξ(t0 ) + ξ(t0 )(ξ(t0 + k) − ξ(t0 ))].Далее для каждого из слагаемых правой части воспользуемся свойством (3).Например, для первого:| (ξ(t0 + h) − ξ(t0 ))(ξ(t0 + k) − ξ(t0 ))| 66p|ξ(t0 + h) − ξ(t0 ))|2 |ξ(t0 + k) − ξ(t0 ))|2 −→ 0.h→0,k→02.
Если K(t, s) непрерывна на диагонали, например, в точкахс.к.с.к.(t, t), (s, s), то ξ(t + h) −→ ξ(t) и ξ(s + k) −→ ξ(s) . Следовательно,h→0k→0ξ(t + h)ξ(s + k) → ξ(t)ξ(s), т.е. K(t + h, s + k) → K(t, s) при h, k → 0.Следствие. Пуассоновский и винеровский случайные процессы непрерывны в среднем квадратичном. Однако, реализации пуассоновского процесса разрывные (ступенчатые) функции.Конспект лекций по теории вероятностей 200645Определение. Случайная функция ξ(t) называется с.к. дифференцируемойпри h → 0.
Этот предел называв точке t, если существует с.к. предел ξ(t+h)−ξ(t)hется с.к. производной ξ(t):ξ 0 (t) = l.i.m.h→0ξ(t + h) − ξ(t), илиh|ξ(t + h) − ξ(t)− ξ 0 (t)|2 → 0, h → 0.hСогласно критерию 2, ξ(t) с.к. дифференцируема в точке t, если и толькоеслиQ=Q=1(ξ(t + h) − ξ(t))(ξ(t + k) − ξ(t)) сходится при h, k → 0 :hk∂ 2 K(t, s)K(t + h, t + k) − K(t, t + k) − K(t + h, t) + K(t, t)−→|t=s .h→0,k→0hk∂t∂sЭто разностное отношение для второй производной сходится к правой части,2 K(t,s)если, например, ∂ ∂t∂sнепрерывна.∂ 2 K(t,s)В этом случае=ξ 0 (t)ξ 0 (s) - корреляционная функция∂t∂sс.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
