Теормин (2012) (1133351), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïîêàæåì, ÷òî ëþáàÿ ÄÍÔ ïîñëå îïòèìèçàöèè ïî ÷èñëó îòðèöà-íèé ïåðåõîäèò â ÂÏ øèðèíû 2. Îïòèìèçèðîâàííóþ ïî ÷èñëó îòðèöàíèé ÄÍÔ ìîæíî âû÷èñëÿòü òàê: â îäíîé âíóòðåííåé ÁÏ õðàíèòñÿ çíà÷åíèå ÄÍÔ, à â äðóãîé âû÷èñëÿåìîé èìïëèêàíòû.1631Ψ îáëàäàåò ñâîéñòâîì ìîíîòîííîñòè, òî åñòü Ψ(Σ) ≥ Ψ(Σ0 ), åñëèΣ, Σ ∈ U , è Σ ïîëó÷àåòñÿ èç Σ â ðåçóëüòàòå óäàëåíèÿ âåðøèí èëè ðåáåð.Cëîæíîñòü Ψ(F ) ñèñòåìû ÔÀË F îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà Ψ â êëàññå U ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû Ψ(Σ) íà ìíîæåñòâå òåõ ñõåì Σ èç U , êîòîðûå ðåàëèçóþò F .Cõåìà, ïðèíàäëåæàùàÿ êëàññó U , êîòîðàÿ ðåàëèçóåò F è äëÿ êîòîðîé Ψ(Σ) = Ψ(F ), íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé ñõåìîé â êëàññå U îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà Ψ.Âåëè÷èíó Ψ(F ), â òîì ñëó÷àå êîãäà ôóíêöèîíàë Ψ ñîâïàäàåò ñ ââåäåííûì â ãëàâå 2 ôóíêöèîíàëîì L (D , R, è ò.
ä.), áóäåì íàçûâàòü ñëîæíîñòüþ (ñîîòâåòñòâåííî ãëóáèíîé, ðàíãîì,è ò. ä.) ñèñòåìû ÔÀË F .Ôóíêöèåé Øåííîíà äëÿ êëàññà U îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà ñëîæíîñòè Ψ íàçûâàåòñÿΨ(n) = max Ψ(f ).Ôóíêöèîíàë ñëîæíîñòè00f ∈P2 (n)Ëåììà.Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêèFf , Ff ∈ U Φ , è π -ñõåìà Σf , êîòîðûåL(Ff ) ≤ 2n · |Nf | − 1, L(Σf ) ≤ n|Nf |.ðåàëèçóþòf (x1 , .
. . , xn ), f 6= 0,ñóùåñòâóþò ôîðìóëàè äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:|Nf | ÝÊ, ñîn − 1 êîíúþíêöèé. Òàêæå íàä êàæäîé ÁÏ ìîæåò áûòü îòðèöàíèå. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì L(Ff ) ≤|Nf | − 1 + |Nf | · (n − 1 + n) = 2n · |Nf | − 1.  π -ñõåìå ñîâåðøåííîé ÄÍÔ áóäåò |Nf | öåïåéîò îäíîãî ïîëþñà äî äðóãîãî ïî n êîíòàêòîâ.
L(Σf ) = n|Nf |. Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà.  êà÷åñòâåîòâåòñòâåííî|Nf | − 1Ñëåäñòâèå.Fffâîçüìåì ñîâåðøåííóþ ÄÍÔ.  íåéäèçúþíêöèé.  êàæäîé ÝÊnÁÏ, ñîîòâåòñòâåííî ñèëó ïðåäûäóùåé ëåììû, ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ÔÀË 0 ìîæíî ðåàëèçîâàòüπ -ñõåìîé ñëîæíîñòè 2, à òàêæå ôîðìóëîé èç U Φ , èìåþùåé ñëîæíîñòüCΦn+1âåíñòâà L (n) ≤ L (n) ≤ n · 2− 1, LK (n) ≤ Lπ (n) ≤ n · 2nÑëåäñòâèå.2, âûïîëíÿþòñÿ íåðà- ñèëó ïðåäûäóùåãî ñëåäñòâèÿ è ñ ó÷¼òîì ñëåäñòâèÿ 2 èç òåîðåìû 2.1 ãëàâûD(n) ≤ n + dlog ne + 2.f , f ∈ P2 (n) è f 6= 0, ñóùåñòâóþò π -ñõåìà Σf è ôîðìóëàFf , Ff ∈ U Φ , êîòîðûå ðåàëèçóþò f è äëÿ êîòîðûõ, íàðÿäó ñ ïåðâîé ëåììîé, ñïðàâåäëèâûnn+1òàêæå íåðàâåíñòâà: L(Σf ) ≤ 2 + |Nf | − 2, L(Ff ) ≤ 2+ |Nf | − 4.nÝòàïû äîêàçàòåëüñòâà.  êà÷åñòâå Σf âîçüìåì (1, 2 ) ÊÄ, èç êîòîðîãî óäàëèì âûõîäû,ãäå ðåàëèçóþòñÿ ÝÊ, íå âõîäÿùèå â ñîâåðøåííóþ ÄÍÔ f , è îòîæäåñòâèì âñå îñòàâøèåñÿnnnâûõîäû.
Óäàëèëè 2 − |Nf | âûõîäîâ.  ÊÄ áûëî 2 · 2 − 2 êîíòàêòîâ. Ïîëó÷èì L(Σf ) ≤ 2 · 2 −nn2−(2 −|Nf |) = 2 +|Nf |−2. Ôîðìóëó Ff ïîëó÷èì, ìîäåëèðóÿ Σf . R(Ff ) = L(Σf ), êîëè÷åñòâî−êîíúþíêöèé è äèçúþíêöèé ðàâíî R(Ff ) − 1. Òàêèì îáðàçîì L(Ff ) = R(Ff ) + L (Σf ) − 1, ãäå−−nn+1L (Σf ) ÷èñëî ðàçìûêàþùèõ êîíòàêòîâ â Σf . L (Σf ) ≤ 2 − 1, L(Ff ) ≤ 2+ |Nf | − 4. Ñëåäñòâèå. Lπ (n) ≤ 2n+1 − 2, LΦ (n) ≤ 3 · 2n − 40Ïóñòü âåðøèíà w ÑÔÝ Σ íå äîñòèæèìà èç åå âåðøèíû v , à ÑÔÝ Σ ïîëó÷àåòñÿ èç ÑÔÝΣ â ðåçóëüòàòå óäàëåíèÿ âåðøèíû v , îáúÿâëåíèÿ âåðøèíû w íà÷àëüíîé âåðøèíîé âñåõ èñõîäèâøèõ èç v äóã è ïåðåíîñà â âåðøèíó w âñåõ âûõîäíûõ ÁÏ, ïðèïèñàííûõ âåðøèíå v .
Òîãäà0ÑÔÝ Σ ñ÷èòàåòñÿ ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ ê ÑÔÝ Σ îïåðàöèè ïðèñîåäèíåíèÿ âåðøèíûv ê âåðøèíå w. Äâå âåðøèíû ÑÔÝ íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè â íèõ ðåàëèçóþòñÿ2 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîËåììà.Äëÿ ëþáîé ÔÀËðàâíûå ÔÀË. Ïðèâåäåííàÿ ñõåìà íàçûâàåòñÿñòðîãî ïðèâåäåííîé,åñëè â íåé íåò ýêâèâà-ëåíòíûõ âåðøèí.~ áóäåì îáîçíà÷àòü ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èçG, G ⊆ P2 (n), ÷åðåç Gâñåõ ðàçëè÷íûõ ÔÀË ìíîæåñòâà G, óïîðÿäî÷åííûõ â ñîîòâåòñòâèè ñ íîìåðàìè èõ ñòîëáöîâ~2 (n) áóäåì íàçûâàòü óíèâåðñàëüíîé ñèñòåìîé ïîðÿäêàçíà÷åíèé. Ïðè ýòîì ñèñòåìó ÔÀË Pn.CËåììà. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n â UÁñóùåñòâóåò óíèâåðñàëüíàÿ ÑÔÝ Un ïîðÿäêà2nn, ñëîæíîñòü êîòîðîé ðàâíà 2 − n.CÝòàïû äîêàçàòåëüñòâà.  UÁ ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ôîðìóë, ðåàëèçóþùàÿ ñèñòåìó ÔÀËP~2 (n). Ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ ýêâèâàëåíòíûõ âåðøèí è óäàëåíèÿ âèñÿ÷èõ âåðøèí, ïîëó÷èòñÿ2n~2 (n) ðîâíî 22n , âñåÑÔÝ Un , ó êîòîðîé ðîâíî 2âåðøèí, âêëþ÷àÿ n âõîäîâ (ôóíêöèé â PÄëÿ ìíîæåñòâà ÔÀË17âåðøèíû ðàçëè÷íû, çíà÷èò, ìû íå ìîæåì ïîëó÷èòü íè áîëüøå, íè ìåíüøå âåðøèí).
Ïîëó÷èìL(Un ) = 22n.n2~Ñëåäñòâèå. LC− n.Á (P2 (n)) ≤ 2nn âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà: LC (Q~n ) ≤ 2n + O(n · 2 2 ),nLK (Q~n ) ≤ 2n+1 − 2, LC (J~n ) ≤ 2n + O(n · 2 2 ), LK (J~n ) ≤ 2n+2 − 4, Lπ (µn ) ≤ 3 · 2n − 2, LΦ (µn ) ≤2n+2 − 3, LC (ln ) ≤ 4n − 4, LC (ln ) ≤ 4n − 4 + b n1 c.0Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ðàçîáüåì ÁÏ X(n) íà äâå ãðóïïû x= (x1 , . . .
, xq ), x00 =n000000(xq+1 , . . . , xn ), q = d 2 e. Äåøèôðàòîðû Σ , Σ îò x , x ñîîòâåòñòâåííî, ðåàëèçóþùèå ñâîèËåììà.Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãîñèñòåìû ÝÊ ïî ïåðâîé ëåììå. Îáúåäèíèì ñõåìû, êîíúþíêòèðóÿ êàæäóþ ïàðó âûõîäîâ. Äëÿ2nÔÝ &, èõ âûõîäû ñ÷èòàåì âûõîäîì Σ. Ïîëó÷èì äâà äåøèôðàòîðà ñëîæn · 2 è 2 ÔÝ &. Îòêóäà è âûõîäÿò íåðàâåíñòâà äëÿ LC (Q~n ) è LC (J~n ).K ~nn+1Äëÿ L (Q− 2. Ñëîæíîñòü èíâåðñíîé ñõåìûn ) ïîñòðîèì (1, 2 )-ÊÄ. Åãî ñëîæíîñòü 2(ñõåìû äëÿ J~n ) íå ïðåâîñõîäèò åå áîëåå, ÷åì â äâà ðàçà.πnÄëÿ L (µn ) ïîñòðîèì (1, 2 )-ÊÄ. Åãî âûõîäû ñîåäèíèì ñ âûõîäîì ìóëüòèïëåêñîðà êîíòàênòàìè ñ ïîìåòêàìè y0 , . . .
, y2n −1 . Ñëîæíîñòü ïîëó÷èâøåéñÿ ñõåìû áóäåò 3·2 −2. Ïðîìîäåëèðóÿnπ -ñõåìó, ïîëó÷èì ôîðìóëó ñëîæíîñòè 4 · 2 − 3 (íàäî ïðîñòî àêêóðàòíî ðàñïèñàòü ìîäåëèðîýòîãî ïîíàäîáèòñÿíîñòüþn2nâàíèå ÊÄ).⊕x1 ⊕ x2 Σ ⊕2 èìååò ñëîæíîñòü 4. Σn ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé n − 1⊕ñõåìû Σ2 . Ñõåìà äëÿ ln ïîëó÷àåòñÿ èç ñõåìû äëÿ ln çàìåíîé âñåõ ÔÝ & íà ∨ è âñåõ ÔÝ ∨ íà&. Ñõåìà, ðåàëèçóþùàÿ2Ëåììà.f (x1 , . . . , xn ) ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âñåõ ñâîèõ ÁÏ, òî LC (f ) ≥ n − 1,L (f ) ≥ n.
Åñëè ïðè ýòîì ÔÀË f íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé ÔÀË (êàæäàÿ ÁÏ xi , i ∈ [1, k],Cíå ÿâëÿåòñÿ íè ìîíîòîííîé, íè èíìîíîòîííîé ÁÏ ÔÀË f ), òî L (f ) ≥ n (cîîòâåòñòâåííî,KL (f ) ≥ n + k ).Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Åñëè ÔÀË f ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âñåõ ÁÏ, òî ðàíã ìèíèìàëüCíîé ÑÔÝ Σf íå ìåíüøå n. Òîãäà L (f ) ≥ L∨,& (Σf ) ≥ n − 1. Åñëè ÔÀË f íå ìîíîòîííà, òîCäîëæåí áûòü åùå õîòÿ áû îäèí ÔÝ ¬, ïîýòîìó L (f ) ≥ n.Ïîñêîëüêó ÔÀË f ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âñåõ ÁÏ, â ìèíèìàëüíîé ÊÑ Σf äîëæíû áûòüêîíòàêòû ñ ïîìåòêàìè xi èëè x̄i , i ∈ [1, n]. Åñëè ïðè ýòîì k ÁÏ íå ÿâëÿþòñÿ íè ìîíîòîííûìè,íè èíìîíîòîííûìè ÁÏ ÔÀË f , òî â Σf äîëæíî áûòü k çàìûêàþùèõ è k ðàçìûêàþùèõKêîíòàêòîâ.
Òàêèì îáðàçîì, L (f ) ≥ n + k . CÑëåäñòâèå. L (ln ) ≥ n, LK (ln ) ≥ 2n, LC (µn ) ≥ 2n + n, LK (µn ) ≥ 2n + 2n.Ëåììà. Äëÿ ñèñòåìû F = (f1 , . . . , fm ), ñîñòîÿùåé èç ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ÔÀË îòëè÷íûõKCîò êîíñòàíò (îò ïåðåìåííûõ), ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî L (F ) ≥ m (ñîîòâåòñòâåííî, LÁ (F ) ≥m).Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. ΣF ïðèâåäåííàÿ (1, m)-ÊÑ, ðåàëèçóþùàÿ F . ΣF ñâÿçíûé ãðàôñ íå ìåíåå, ÷åì m + 1 âåðøèíîé.
Ñëåäîâàòåëüíî, L(ΣF ) ≥ |V (ΣF )| − 1 ≥ m. Âòîðîå íåðàâåíñòâî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî fi , i ∈ [1, m] ðåàëèçóþòñÿ íà ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ âûõîäàõ ÑÔÝ,îòëè÷íûõ îò åå âõîäîâ. ~n ) ≥ 2n , LK (Q~n ) ≥ 2n , LC (J~n ) ≥ 2n , LK (J~n ) ≥ 2n , LC (P~2 (n)) ≥ 22n − n,Ñëåäñòâèå. LC (QÁnLK (P~2 (n)) ≥ 22 − 2.Çàìå÷àíèå  ñèëó ñëåäñòâèÿ óíèâåðñàëüíàÿ ÑÔÝ Un , ïîñòðîåííàÿ â ëåììå 1.3, ÿâëÿåòñÿCìèíèìàëüíîé ïî ñëîæíîñòè ÑÔÝ â êëàññå UÁÎáîçíà÷èì ÷åðåç U(Ψ, n) ìíîæåñòâî òåõ ñõåì Σ, Σ ∈ U , êîòîðûå ðåàëèçóþò îäíó ÔÀË èçP2 (n) è äëÿ êîòîðûõ Ψ(Σ) ≤ Ψ. Cëåäóþùåå ìîùíîñòíîå ðàâåíñòâî âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåí2níî èç îïðåäåëåíèé: ||U(Ψ(n), n)|| = 2b δ , ãäå 0 <Çàìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî n è äåéñòâèòåëüíûõ Ψ,b n)|| ≤ δ · 22n , òî Ψ(f ) ≥ Ψbδ < 1, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ||U(Ψ,Ëåììà.
Äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a, y , q èç íåðàâåíñòâ a log q > 1,log log(a log q)log q(ay)y ≥ q , ñëåäóåò íåðàâåíñòâî y ≥ log(alog q) (1 + log(ae log q) ), ãäå e îñíîâàíèå íàòóðàëüíîãîÅñëè ÔÀËKëîãàðèôìà, à èç íåðàâåíñòâa > 1, ay ≥ q íåðàâåíñòâî18y≥log qlog a .Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Âòîðîå íåðàâåíñòâî âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿa = 1, log q > 1. Âîçüìåìy 0 log y 0 ≤ log q , è ïîëó÷èì,y÷òî äîêàçûàåìîå íåðàâåíñòâî âåðíî, èñïîëüçóÿ óñëîâèå (ay)≥ q . Ïðè a > 0, (ay)y ≥ qayaýêâèâàëåíòíî (ay)≥ q .
È äîêàçûâàåìîå íåðàâåñòâî ïîëó÷àåòñÿ èç y ≥ y 0 çàìåíîé y íà ayè log q íà a log q . Òåîðåìà. Äëÿ íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ε = ε(n), n = 1, 2, . . . , òàêîé, ÷òî ε(n) ≥ 0ïðè n ≥ n0 è ε(n) ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè n ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, äëÿ ïî÷òè âñåõ ÔÀËn2nKf, f ∈ P2 (n), âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà LC (f ) ≥ (1 + ε(n)) 2n , LΦ (f ) ≥ (1 − ε(n)) logn , L (f ) ≥nn2(1 − ε(n)) 2n , Lπ (f ) ≥ (1 − ε(n)) logn , D(f ) ≥ n − log log n − ε(n).CL+1Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâàìè ||U (L, n)|| ≤ (8(L + n)),ΦL+1KL||U (L, n)|| ≤ (8n), ||U (L, n)|| ≤ (8nL) . À òàêæå çàìå÷àíèåì î òîì, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîb 0 < δ < 1 âûïîëíÿåòñÿ ||U(Ψ,b n)|| ≤ δ · 22n , òî Ψ(f ) ≥ Ψb äëÿ íå ìåíåå ÷åì (1 − δ) · 22nðûõ n, Ψ,ÔÀË f èç P2 (n).
Èñêîìûå íåðàâåíñòâà ïîëó÷èì, ïîäñòàâëÿÿ îñîáûì îáðàçîì ïîäîáðàííûåδ, a, y è q â ïðåäûäóùóþ ëåììó è óêàçàííîå óòâåðæäåíèå. n2n2n2nKπÑëåäñòâèå. LC (n) & 2n , LΦ (n) & logn , L (n) & n , L (n) & log n .ëîãàðèôìà. Äîêàæåì ïåðâîå íåðàâåíñòâî. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäày0ðàâíûì ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà. Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî34+Ëåììà.j k1n ,Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãînLK (P~2 (n)) ≤ 2 · 22nèσ ∈Bâûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà:LK (lnσ ) ≤ 4n −.Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà.
Îöåíêà äëÿ ëèíåéíîé ôóíêöèè íàïðÿìóþ ñëåäóåò èç ïîñòðîåíèÿñõåìû Êàðäî. Ïðè ýòîìîáðàòèìñÿ ê Ìèõàèëó.Òåîðåìà.nLC (n) . 8 2nj k1níóæíî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäàn = 1.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ âòîðîé îöåíêèÄëÿ ôóíêöèé ØåííîíàLK (n)èLC (n)âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ:nLK (n) . 4 2n,.Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ïðèìåíèì ìåòîä Øåííîíà ñèíòåçà ÔÀË ïóòåì ðàçëîæåíèÿôóíêöèè ïî(n − q) ïîñëåäíèì ïåðåìåííûì. ÊÑ (ÑÔÝ) äëÿ ÔÀË f ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðq è ìóëüòèïëåêñîðà ïîðÿäêà (n − q). Âçÿâïîçèöèþ óíèâåðñàëüíîãî ìíîãîïîëþñíèêà ïîðÿäêàïàðàìåòðqíóæíûì îáðàçîì, à òàêæå âîñïîëüçîâàâøèñü ðåçóëüòàòîì ïðåäûäóùèõ îöåíîêñëîæíîñòè ýòèõ ñõåì ïîëó÷èì òðåáóåìûå îöåíêè.4Äèçúþíêòèâíî-óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî (ÄÓÌ) ïîðÿäêà m è ðàíãà p ìíîæå-G, G ⊆ P2 (m) òàêîå, ÷òî ëþáàÿ ÔÀË g, g ∈ P2 (m), ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäåg = g1 ∨ . .
. ∨ gp , ãäå gi ∈ G ïðè âñåõ i, i = 1, . . . , p. Ñòàíäàðòíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ òàêèõñòâî ÔÀËìíîæåñòâ ñâÿçàí ñ ðàçáèåíèÿìè åäèíè÷íîãî êóáà.B m , è ïóñòü äëÿ âñåõ i, i = 1, . . . , p, ÔÀË ψi (x1 , . . . , x, )(i) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ÔÀË ìíîæåñòâà πi , à G ìíîæåñòâî âñåõ òåõ ÔÀË g, g ∈ P2 (m),(1)êîòîðûå îáðàùàþòñÿ â 0 âíå πi . Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâà ÔÀË G âèäà G = G∪ . . . ∪ G(p)ÿâëÿåòñÿ ÄÓÌ ïîðÿäêà m è ðàíãà p. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáàÿ ÔÀË g, g ∈ P2 (m), ìîæåò áûòü(i)ïðåäñòàâëåíà â âèäå g = g1 ∨ . . . ∨ gp , ãäå gi = ψi g è, ñëåäîâàòåëüíî, gi ∈ Gäëÿ âñåõ i, i =1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
