Теоремы и идеи доказательства (2012) (1133349), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé áåñïîâòîðíîé ñòûêîâêè.õîäîâ (âõîäîâ) óΣ0 (Σ00 ).Cíà÷àëà íàäî äîêàçàòü, ÷òîðàçäåëèòåëüíîñòè). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðåòü ïðîâîäèìîñòü öåïåé ÷åðåç óêàçàííûå âåðøèíû.Ôàêòè÷åñêè,f ñòðîêà ìàòðèöûF. ñëó÷àå îòîæäåñòâëåíèÿ âõîäîâ èìååò ìåñòî ïîðàçðÿä-íàÿ äèçúþíêöèÿ ñòðîê. Ñòûêîâêà îáùåãî âèäà ñâîäèòñÿ ê îòîæäåñòâëåíèþ âõîäîâ è áåñïîâòîðíîé ñòûêîâêè.  ñèëó àññîöèàòèâíîñòè ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö íåðàâåíñòâî ñîõðàíÿåòñÿ.Ñëåäñòâèå.Σ00ïî âõîäàì â êàæäîé âåðøèíå Ê Σ, Σ =Σ (Σ), êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò âûõîäó ÊÑ Σ , ðåàëèçóåòñÿ òîò æå ñàìûé ñòîëáåö ÔÀË, ÷òî è0â ÊÑ Σ , òî åñòü ðàññìàòðèâàåìàÿ ñóïåðïîçèöèÿ ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíîé.Ñëåäñòâèå.
Ðàâåíñòâî F = F 0 ·F 00 âûïîëíÿåòñÿ íà ëþáîì íàáîðå çíà÷åíèé ÁÏ, íà êîòîðîì000ÊÑ Σ ðàçäåëèòåëüíà ïî âõîäàì èëè ÊÑ Σ ðàçäåëèòåëüíà ïî âûõîäàì.00Ëåììà. Åñëè (1, m)- ÊÊÑ Σ ðåàëèçóåò ñèñòåìó ÔÀË F 0 = (f10 , . . . , fm), òî ñóùåñòâóåò000¯0 ), è äëÿ êîòîðîé L(Σ00 ) ≤(1, m)-ÊÊÑ Σ , êîòîðàÿ ðåàëèçóåò ñèñòåìó ÔÀË F̄ 0 = (f1 , . . . , f¯m2L(Σ0 ).00000Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà.  ñèëó óòâåðæäåíèÿ î òîì, ÷òî L(Σ ) ≤ 2L(Σ ), ãäå Σ äîïîë0íåíèå Σ . 00Ëåììà. ñëó÷àå ðàçäåëèòåëüíîñòè ÊÑ0Äëÿ ëþáîé ÔÀË ñóùåñòâóåò ðåàëèçóþùàÿ åå ÂÏ íàä áàçèñîì Á0 øèðèíû íåáîëüøå, ÷åì 2.Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ïîêàæåì, ÷òî ëþáàÿ ÄÍÔ ïîñëå îïòèìèçàöèè ïî ÷èñëó îòðèöà-íèé ïåðåõîäèò â ÂÏ øèðèíû 2. Îïòèìèçèðîâàííóþ ïî ÷èñëó îòðèöàíèé ÄÍÔ ìîæíî âû÷èñëÿòü òàê: â îäíîé âíóòðåííåé ÁÏ õðàíèòñÿ çíà÷åíèå ÄÍÔ, à â äðóãîé âû÷èñëÿåìîé èìïëèêàíòû.6Ëåììà.Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêèFf , Ff ∈ U Φ , è π -ñõåìà Σf , êîòîðûåL(Ff ) ≤ 2n · |Nf | − 1, L(Σf ) ≤ n|Nf |.ðåàëèçóþòf (x1 , .
. . , xn ), f 6= 0,ñóùåñòâóþò ôîðìóëàè äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:|Nf | ÝÊ, ñîn − 1 êîíúþíêöèé. Òàêæå íàä êàæäîé ÁÏ ìîæåò áûòü îòðèöàíèå. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì L(Ff ) ≤|Nf | − 1 + |Nf | · (n − 1 + n) = 2n · |Nf | − 1.  π -ñõåìå ñîâåðøåííîé ÄÍÔ áóäåò |Nf | öåïåéîò îäíîãî ïîëþñà äî äðóãîãî ïî n êîíòàêòîâ. L(Σf ) = n|Nf |. Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà.  êà÷åñòâåîòâåòñòâåííî|Nf | − 1Ñëåäñòâèå.Fffâîçüìåì ñîâåðøåííóþ ÄÍÔ.
 íåéäèçúþíêöèé.  êàæäîé ÝÊnÁÏ, ñîîòâåòñòâåííî ñèëó ïðåäûäóùåé ëåììû, ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ÔÀË 0 ìîæíî ðåàëèçîâàòüπ -ñõåìîé ñëîæíîñòè 2, à òàêæå ôîðìóëîé èç U Φ , èìåþùåé ñëîæíîñòüCΦn+1âåíñòâà L (n) ≤ L (n) ≤ n · 2− 1, LK (n) ≤ Lπ (n) ≤ n · 2nÑëåäñòâèå.2, âûïîëíÿþòñÿ íåðà- ñèëó ïðåäûäóùåãî ñëåäñòâèÿ è ñ ó÷¼òîì ñëåäñòâèÿ 2 èç òåîðåìû 2.1 ãëàâûD(n) ≤ n + dlog ne + 2.f , f ∈ P2 (n) è f 6= 0, ñóùåñòâóþò π -ñõåìà Σf è ôîðìóëàFf , Ff ∈ U Φ , êîòîðûå ðåàëèçóþò f è äëÿ êîòîðûõ, íàðÿäó ñ ïåðâîé ëåììîé, ñïðàâåäëèâûnn+1òàêæå íåðàâåíñòâà: L(Σf ) ≤ 2 + |Nf | − 2, L(Ff ) ≤ 2+ |Nf | − 4.nÝòàïû äîêàçàòåëüñòâà.
 êà÷åñòâå Σf âîçüìåì (1, 2 ) ÊÄ, èç êîòîðîãî óäàëèì âûõîäû,ãäå ðåàëèçóþòñÿ ÝÊ, íå âõîäÿùèå â ñîâåðøåííóþ ÄÍÔ f , è îòîæäåñòâèì âñå îñòàâøèåñÿnnnâûõîäû. Óäàëèëè 2 − |Nf | âûõîäîâ.  ÊÄ áûëî 2 · 2 − 2 êîíòàêòîâ. Ïîëó÷èì L(Σf ) ≤ 2 · 2 −nn2−(2 −|Nf |) = 2 +|Nf |−2. Ôîðìóëó Ff ïîëó÷èì, ìîäåëèðóÿ Σf . R(Ff ) = L(Σf ), êîëè÷åñòâî−êîíúþíêöèé è äèçúþíêöèé ðàâíî R(Ff ) − 1.
Òàêèì îáðàçîì L(Ff ) = R(Ff ) + L (Σf ) − 1, ãäå−−nn+1L (Σf ) ÷èñëî ðàçìûêàþùèõ êîíòàêòîâ â Σf . L (Σf ) ≤ 2 − 1, L(Ff ) ≤ 2+ |Nf | − 4. Ñëåäñòâèå. Lπ (n) ≤ 2n+1 − 2, LΦ (n) ≤ 3 · 2n − 4CËåììà. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n â UÁñóùåñòâóåò óíèâåðñàëüíàÿ ÑÔÝ Un ïîðÿäêà2nn, ñëîæíîñòü êîòîðîé ðàâíà 2 − n.CÝòàïû äîêàçàòåëüñòâà.  UÁ ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ôîðìóë, ðåàëèçóþùàÿ ñèñòåìó ÔÀË~P2 (n).
Ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ ýêâèâàëåíòíûõ âåðøèí è óäàëåíèÿ âèñÿ÷èõ âåðøèí, ïîëó÷èòñÿ2n~2 (n) ðîâíî 22n , âñåÑÔÝ Un , ó êîòîðîé ðîâíî 2âåðøèí, âêëþ÷àÿ n âõîäîâ (ôóíêöèé â P2 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîËåììà.Äëÿ ëþáîé ÔÀËâåðøèíû ðàçëè÷íû, çíà÷èò, ìû íå ìîæåì ïîëó÷èòü íè áîëüøå, íè ìåíüøå âåðøèí). Ïîëó÷èìnL(Un ) = 22.n2~Ñëåäñòâèå. LC− n.Á (P2 (n)) ≤ 2nn âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà: LC (Q~n ) ≤ 2n + O(n · 2 2 ),nLK (Q~n ) ≤ 2n+1 − 2, LC (J~n ) ≤ 2n + O(n · 2 2 ), LK (J~n ) ≤ 2n+2 − 4, Lπ (µn ) ≤ 3 · 2n − 2, LΦ (µn ) ≤n+2CC2− 3, L (ln ) ≤ 4n − 4, L (ln ) ≤ 4n − 4 + b n1 c.0Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà.
Ðàçîáüåì ÁÏ X(n) íà äâå ãðóïïû x= (x1 , . . . , xq ), x00 =n000000(xq+1 , . . . , xn ), q = d 2 e. Äåøèôðàòîðû Σ , Σ îò x , x ñîîòâåòñòâåííî, ðåàëèçóþùèå ñâîèËåììà.Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãîñèñòåìû ÝÊ ïî ïåðâîé ëåììå. Îáúåäèíèì ñõåìû, êîíúþíêòèðóÿ êàæäóþ ïàðó âûõîäîâ. Äëÿ2nÔÝ &, èõ âûõîäû ñ÷èòàåì âûõîäîì Σ. Ïîëó÷èì äâà äåøèôðàòîðà ñëîæn · 2 è 2 ÔÝ &. Îòêóäà è âûõîäÿò íåðàâåíñòâà äëÿ LC (Q~n ) è LC (J~n ).K ~nn+1Äëÿ L (Q− 2. Ñëîæíîñòü èíâåðñíîé ñõåìûn ) ïîñòðîèì (1, 2 )-ÊÄ.
Åãî ñëîæíîñòü 2~(ñõåìû äëÿ Jn ) íå ïðåâîñõîäèò åå áîëåå, ÷åì â äâà ðàçà.πnÄëÿ L (µn ) ïîñòðîèì (1, 2 )-ÊÄ. Åãî âûõîäû ñîåäèíèì ñ âûõîäîì ìóëüòèïëåêñîðà êîíòàênòàìè ñ ïîìåòêàìè y0 , . . . , y2n −1 . Ñëîæíîñòü ïîëó÷èâøåéñÿ ñõåìû áóäåò 3·2 −2.
Ïðîìîäåëèðóÿnπ -ñõåìó, ïîëó÷èì ôîðìóëó ñëîæíîñòè 4 · 2 − 3 (íàäî ïðîñòî àêêóðàòíî ðàñïèñàòü ìîäåëèðîýòîãî ïîíàäîáèòñÿn2íîñòüþnâàíèå ÊÄ).⊕x1 ⊕ x2 Σ ⊕2 èìååò ñëîæíîñòü 4. Σn ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé n − 1⊕ñõåìû Σ2 . Ñõåìà äëÿ ln ïîëó÷àåòñÿ èç ñõåìû äëÿ ln çàìåíîé âñåõ ÔÝ & íà ∨ è âñåõ ÔÝ ∨ íà&. Ëåììà. Åñëè ÔÀË f (x1 , . .
. , xn ) ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âñåõ ñâîèõ ÁÏ, òî LC (f ) ≥ n − 1,KL (f ) ≥ n. Åñëè ïðè ýòîì ÔÀË f íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé ÔÀË (êàæäàÿ ÁÏ xi , i ∈ [1, k],Cíå ÿâëÿåòñÿ íè ìîíîòîííîé, íè èíìîíîòîííîé ÁÏ ÔÀË f ), òî L (f ) ≥ n (cîîòâåòñòâåííî,KL (f ) ≥ n + k ).Ñõåìà, ðåàëèçóþùàÿf ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âñåõ ÁÏ, òî ðàíã ìèíèìàëüLC (f ) ≥ L∨,& (Σf ) ≥ n − 1. Åñëè ÔÀË f íå ìîíîòîííà, òîCÔÝ ¬, ïîýòîìó L (f ) ≥ n.Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Åñëè ÔÀËíîé ÑÔÝΣfíå ìåíüøån.Òîãäàäîëæåí áûòü åùå õîòÿ áû îäèí7Σf äîëæíû áûòüx̄i , i ∈ [1, n].
Åñëè ïðè ýòîì k ÁÏ íå ÿâëÿþòñÿ íè ìîíîòîííûìè,íè èíìîíîòîííûìè ÁÏ ÔÀË f , òî â Σf äîëæíî áûòü k çàìûêàþùèõ è k ðàçìûêàþùèõKêîíòàêòîâ. Òàêèì îáðàçîì, L (f ) ≥ n + k . CÑëåäñòâèå. L (ln ) ≥ n, LK (ln ) ≥ 2n, LC (µn ) ≥ 2n + n, LK (µn ) ≥ 2n + 2n.Ëåììà. Äëÿ ñèñòåìû F = (f1 , . . . , fm ), ñîñòîÿùåé èç ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ÔÀË îòëè÷íûõKCîò êîíñòàíò (îò ïåðåìåííûõ), ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî L (F ) ≥ m (ñîîòâåòñòâåííî, LÁ (F ) ≥m).Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. ΣF ïðèâåäåííàÿ (1, m)-ÊÑ, ðåàëèçóþùàÿ F . ΣF ñâÿçíûé ãðàôñ íå ìåíåå, ÷åì m + 1 âåðøèíîé.
Ñëåäîâàòåëüíî, L(ΣF ) ≥ |V (ΣF )| − 1 ≥ m. Âòîðîå íåðàâåíñòâî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî fi , i ∈ [1, m] ðåàëèçóþòñÿ íà ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ âûõîäàõ ÑÔÝ,îòëè÷íûõ îò åå âõîäîâ. ~n ) ≥ 2n , LK (Q~n ) ≥ 2n , LC (J~n ) ≥ 2n , LK (J~n ) ≥ 2n , LC (P~2 (n)) ≥ 22n − n,Ñëåäñòâèå. LC (QÁnLK (P~2 (n)) ≥ 22 − 2.Çàìå÷àíèå  ñèëó ñëåäñòâèÿ óíèâåðñàëüíàÿ ÑÔÝ Un , ïîñòðîåííàÿ â ëåììå 1.3, ÿâëÿåòñÿCìèíèìàëüíîé ïî ñëîæíîñòè ÑÔÝ â êëàññå UÁËåììà.
Äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a, y , q èç íåðàâåíñòâ a log q > 1,log log(a log q)log q(ay)y ≥ q , ñëåäóåò íåðàâåíñòâî y ≥ log(alog q) (1 + log(ae log q) ), ãäå e îñíîâàíèå íàòóðàëüíîãîÏîñêîëüêó ÔÀËfêîíòàêòû ñ ïîìåòêàìèñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âñåõ ÁÏ, â ìèíèìàëüíîé ÊÑxièëèlog qlog a .Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Âòîðîå íåðàâåíñòâî âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿëîãàðèôìà, à èç íåðàâåíñòâa > 1, ay ≥ q íåðàâåíñòâîy≥a = 1, log q > 1.
Âîçüìåìy 0 log y 0 ≤ log q , è ïîëó÷èì,y÷òî äîêàçûàåìîå íåðàâåíñòâî âåðíî, èñïîëüçóÿ óñëîâèå (ay)≥ q . Ïðè a > 0, (ay)y ≥ qayaýêâèâàëåíòíî (ay)≥ q . È äîêàçûâàåìîå íåðàâåñòâî ïîëó÷àåòñÿ èç y ≥ y 0 çàìåíîé y íà ayè log q íà a log q .
Òåîðåìà. Äëÿ íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ε = ε(n), n = 1, 2, . . . , òàêîé, ÷òî ε(n) ≥ 0ïðè n ≥ n0 è ε(n) ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè n ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, äëÿ ïî÷òè âñåõ ÔÀËn2nKf, f ∈ P2 (n), âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà LC (f ) ≥ (1 + ε(n)) 2n , LΦ (f ) ≥ (1 − ε(n)) logn , L (f ) ≥nn2(1 − ε(n)) 2n , Lπ (f ) ≥ (1 − ε(n)) logn , D(f ) ≥ n − log log n − ε(n).CL+1Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâàìè ||U (L, n)|| ≤ (8(L + n)),ΦL+1KL||U (L, n)|| ≤ (8n), ||U (L, n)|| ≤ (8nL) . À òàêæå çàìå÷àíèåì î òîì, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîb 0 < δ < 1 âûïîëíÿåòñÿ ||U(Ψ,b n)|| ≤ δ · 22n , òî Ψ(f ) ≥ Ψb äëÿ íå ìåíåå ÷åì (1 − δ) · 22nðûõ n, Ψ,ÔÀË f èç P2 (n). Èñêîìûå íåðàâåíñòâà ïîëó÷èì, ïîäñòàâëÿÿ îñîáûì îáðàçîì ïîäîáðàííûåδ, a, y è q â ïðåäûäóùóþ ëåììó è óêàçàííîå óòâåðæäåíèå.
n2n2n2nKπÑëåäñòâèå. LC (n) & 2n , LΦ (n) & logn , L (n) & n , L (n) & log n .K σËåììà.Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n è σ ∈ B âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà: L (ln ) ≤ 4n −j kn4 + 1 , LK (P~2 (n)) ≤ 2 · 22 .ëîãàðèôìà. Äîêàæåì ïåðâîå íåðàâåíñòâî. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäày0ðàâíûì ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà. Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òînÝòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Îöåíêà äëÿ ëèíåéíîé ôóíêöèè íàïðÿìóþ ñëåäóåò èç ïîñòðîåíèÿñõåìû Êàðäî. Ïðè ýòîìîáðàòèìñÿ ê Ìèõàèëó.Òåîðåìà.nLC (n) . 8 2nj k1nn = 1.íóæíî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäàÄëÿ ïîëó÷åíèÿ âòîðîé îöåíêèÄëÿ ôóíêöèé ØåííîíàLK (n)LC (n)èâûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ:nLK (n) .
4 2n,.Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ïðèìåíèì ìåòîä Øåííîíà ñèíòåçà ÔÀË ïóòåì ðàçëîæåíèÿôóíêöèè ïî(n − q) ïîñëåäíèì ïåðåìåííûì. ÊÑ (ÑÔÝ) äëÿ ÔÀË f ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðq è ìóëüòèïëåêñîðà ïîðÿäêà (n − q). Âçÿâïîçèöèþ óíèâåðñàëüíîãî ìíîãîïîëþñíèêà ïîðÿäêàïàðàìåòðqíóæíûì îáðàçîì, à òàêæå âîñïîëüçîâàâøèñü ðåçóëüòàòîì ïðåäûäóùèõ îöåíîêñëîæíîñòè ýòèõ ñõåì ïîëó÷èì òðåáóåìûå îöåíêè.Ëåììà.Gïîðÿäêà1.Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõmè âûñîòûs,p, mès,ãäåp=êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÄÓÌ ðàíãàlpm2ms , ñóùåñòâóåò ñòàíäàðòíîå ÄÓÌè äëÿ êîòîðîãî:λ = |G| ≤ p2s2.
ñèñòåìà èçpîðòîãîíàëüíûõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõñòâîì, ÷òî äëÿ ëþáîé ÔÀËg, g ∈ P2 (m),ψ1 , . . . , ψ pè íåêîòîðûõ ÔÀË8G îáëàäàåò òåì ñâîég1 , . . . , gp èç G ñïðàâåäëèâîÄÓÌíå òîëüêî ïðåäñòàâëåíèåg = g1 ∨ . . . ∨ gp ,íî èg = ψ1 g1 ∨ . . . ∨ ψp gp .Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ïî ïîñòðîåíèþ ñòàíäàðòíîãî ÄÓÌ.Òåîðåìà. Ìåòîä Ëóïàíîâà.ñóùåñòâóåò ðåàëèçóþùàÿ ååÑÔÝΣf , Σf ∈ U C ,òàêàÿ, ÷òîf, f ∈ P2 (n),n).L(Σf ) ≤ 2n (1 + 5 log n+O(1)nÄëÿ ëþáîé ÔÀËf ïî (n − q) ïîñëåäíèìf , â âèäå Σf = Σ00 (Σ0 ), ãäå Σ00 ìóëüòèïëåêñîð00ïîðÿäêà (n − q), à Σ ðåàëèçóåò ñèñòåìó ôóíêöèé, êîòîðàÿ ðåàëèçóåò âñå ÔÀË âèäà fσ 00 (x ),000n−q0000ãäå x = (x1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
