Г.П. Гаврилов, А.А. Сапоженко - Задачи и упражнения по дискретной математике (1132709), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

3.13. Показать, что в дереве с нечетным диаметром любые две простые цепи наибольшей длины имеют хотя бы одно общее ребро. 3.14. Доказать, что дерево (некорневое) однозначно с точностью до изоморфизма восстанавливается, если заданы все попарные расстояния между его висячими вершинами. Подграф Н связного графа С называется остовным деревом графа С, если Н дерево, содержащее все вершины графа Н. 3.15.

1) Для каждого Н ) 2 указать граф, диаметр которого равен д, а любой связный остовный подграф имеет диаметр, равный 2д. 2) Доказатгь что в любом связном графе С существует остовное дерево, диаметр которого не более чем в два раза превосходит диаметр графа. 2. Двухполюсные сети. Двухполюсная сеть Г = (~а, Ь), С) будет обозначаться кратко чероз Г(а, Ь). Подграфом сети Г будем называть произвольный подграф графа С. Пусть С подграф сети Г(а, Ь), содержащий хотя бы одно ребро. Тогда вершина подграфа С называется граничной, если она либо является полюсом, либо инцидентна некоторому ребру сети, не принадлежащему подграфу С. Подграф сети называется опьростком, осли он обладает единственной граничной вершиной.

Подсетью двухполюсной сети называется ее подграф, имеющий ровно две граничные вершины. Эти вершины называются полюсами подсети. Сеть Г(~а, Ь), С) называется связной, если ее граф С является связным. Тривиальной называется двухполюсная связная сеть, имекзщая одно ребро. Если не оговорено противное, то под цевью двухполюсной сети Г(а, Ь) будет подразумеваться цепь, соединяющая полюса а, Ь. Связная сеть называется сильно связной, если через каждое ребро проходит цепь. Сильно связная цепь называется разлоожимой, если она обладает хотя бы одной 224 Гл. 17.

Графы и сети нетривиальной подсетью. В противном случае сильно связная сеть называется неразлолсимой. Пусть Г(а, 6) — разложимая сеть, С(с, с)) ее нетривиальная подсеть, а Г~(а, 6) сеть, полученная из Г(а, 6) заменой подсети С(с, д) одним ребром (с, И). Тогда в свою очередь сеть Г(а, Ь) может быть получена подстановкой сети С(с, с1) вместо ребра (с, с1) сети Г~(а, 6). Таким образом, разложимая сеть Г(а, 6) может быть задана указанием сети Гз(а, Ь) ребра (с, с)), сети Гз(а, Ь) а ссГ,;>й Ь сс( ~ьД С(с, а) Г(а, Ь) в Ге(а, 6) Рис. 6.13 и сети С(с, д) (рис.

6.13). Такое задание называется разлоэсением сети Г(а, 6). Сеть Гз(а., Ь) называется внеизней, а сеть С(с, с1) --. внутренней сетью разлолсения. Сеть Г(а, Ь) называется суперпозииией сетей Г~(а, Ь) и С1с, а). Сеть, состоящая из п параллельных ребер, соединяющих полюса а, 6, обозначается через Гг(а, 6) или, короче, Гг. Сеть, граф которой есть простая цепь длины т, соединяющая полюса а, Ь, обозначается через Г,' (а, 6) или, короче, Г.' . Сеть, которая может быть получена из сетей Ггз и Гз применением конечного числа операций подстановки сети вместо ребра, называется параллельно-последовательной сетью или, короче, и-сетью. Петривиальнал неразложимая сеть Г(а, Ь), отличная от Гз(а, Ь) и Г'(а, Ь), называется Н-сетью.

Разложимая сеть называется р-разлолсимой 1соответственно з-разлолсимой), если некоторая внешняя сеть разложения имеет вид Го (соответственно Г,'ь), т > 2. Если некотоРаЯ внешнЯЯ сеть разложения сети Г является Н-сетью, то Г называется Н-разлолсимой. Справедливо утверждение о том, что всякая разложимая сеть является либо рч либо з-, либо Н-разложимой.

р-расизеилением сети называется р-разложение, при котором внутренние сети разложения отличны от сетей вида Гз и сетей, являющихся р разложимыми. Аналоги шо определяются в- расщепления. Заметим, что сети Г', и Г' (к > 3) являются разложимыми, но не допускают р-расщепления. Н-расщеплением называется разложение, внешней сетью которого является Н-сеть. Каждой и-сети Г с гл > 1 ребрами можно сопоставить плоское корневое дорево Т(Г) с т висячими вершинами такое, что: а) каждая вершина дерева Т(Г), отличная от висячей, помечена символом р или в: б) на каждой цепи, идущей от корня к висячей вершине, отметки р и в чередуются; в) вершины, отличные от корня, имеют степень, нс равную 2. Висячие вершины дерева Т(Г) пометок не имеют. Нерево ТЯ определяется по индукции.

Если Г имеет вид Г",„(или Г'), то ТЯ есть дерево, корень которого 225 6'М. Яерееве и ееп»и помечен символом р (соответственно символом е), а остальные гп вершин являются висячими., смежными с корнем и не имеют пометок. Если сеть Г отлична от сетей указанного вида., то она допускает расщепление. Пусть внешняя сеть расщепления имеет вид 1"", (или Г" ), а внутренние сети суть С», Сз, ..., С».

Тогда дерево Т(Г) строится следующим образом. Пусть Т(С»), Т(Сз), ..., Т(С») помеченные плоские корневые деревья, соответствующие внутренним сетям рилн е-расщепления. Тогда в качестве корня Т(Г) берется вершина степени 6, помеченная символом р (соотвстственно символом е). Вершины и», из, ..., е», смежные с корнем и не являющиеся висячими, помечаются символом е (соответственно символом р) и отождествляются с корнями деревьев Т(С»), Т(Сз), ..., Т(С»). Например, я-сети, .~ Ь Г а Т(Г) Г' е Рнс. 6.14 изображенной на рис.

6.14, а, соответствует дерево, изображенное на рис. 6.14,б. Лерево Т(Г) называется диаграммой расщепления я-сети Г. Укажем теперь индуктивное правило построения я-сети с 6 ребрами по заданному корневому помеченному дереву с 6 висячими вершинами, являющемуся диаграммой рас»цепления некоторой и-сети. Базис индукции. Пусть плоское корневое дерево Т имеет один ярус, т.е. каждая из 6 висячих вершин соединена ребром с корнем. Тогда: а) если корень имеет пометку е, то сопоставим дереву Т сеть Г(а, 6), представляющую собой цепь из 6 ребер, соединяющую полюса и и Ь; б) если же корень дерева Т имоет пометку р, то сопоставим дереву Т сеть Г(а, Ь), представляющую собой 6 параллельных ребер, соединяющих полюса а, 6.

Индуктивный переход. Пусть корень плоского помеченного дерева Т имеет степень, равную й. Пусть Т„Твч ..., Т» ветви корневого дерева, пронумерованные слева направо. Если кореньдерева Т помечен буквой е, а Г»(а„ Ь»), Гз(аз, Ьг), ...., Ге(а», 6») сети, сопоставленные соответственно ветвями Т», Тз, ..., Т» (пустой ветви сопоставляется однореберная сеть), то дереву Т сопоставляется сеть, являющаяся суперпозицией сети Г' и сетей Г,(а„Ь,) (» = 1, ..., Й). 15 Г.

П. Гаврилов, А. А. Свпожевко 226 Гл. 17. Графы и сети При этом сеть Г,(ао Ь,) подставляется вместо 1-го ребра сети Г"„. Таким образом, сеть Г, изображенная на рис. 6.14, а, соответствует дереву Т (см. рис. 6.14, б), но не дереву Т', изображенному на рис. 6.14, г. (Соответствующая сеть Г' изображена на рис. 6.14, в.) При изображении сетей будем располагать полюс а слева от полюса Ь, а ребра внешней соти Г'„считать упорядоченными слева направо; полюса а,, Ь, внутренних сетей Г,(а„Ь,) также считаются упорядоченными. Если корень помечен буквой р, а Гз(аы Ьз); Гя(аз, Ьз), ..., Гь(аю Ьь) сети, сопоставленные соответственно ветвям Т„ Тз, ..., Ть, то дереву Т сопоставляется сеть, являющаяся супсрпозицией сети Г~ь и сетей Г,(а, Ь,) (1 = 1, ..., Й) .

При этом сеть Г1(аь Ь,,) подставляется вместо 1-го ребра сети Г". При изображении мы располагаем первую подсеть слева, затем располагаем вторую подсеть и т.д. Соглашения об упорядоченности полюсов и ребер сетей позволяют однозначно с точностью до изоморфизма строить я-сети по их диаграммам расщепления. Вершина сети, отличная от полюса, называется внутренней. Вершина и зависн7а взп вершины и, если всякая цепь, соединяющая полюса и проходящая через е, проходит и через и. Вершины и и и эквивалентны, если и зависит от и, и зависит от и. Вершина и слабее вершины и, а вершина и сильнее вершины п, если е зависит от и, но не эквивалентна ей. Вершина в называется минимальной, если она не слабее никакой другой внутренней вершины сети.

Вершина н называется разделяющей, если через нее проходят все цепи, соединяющие полюса. Пример. В сети, изображенной на рис. 6.15, а, вершины 2, 3 зависят от 1 и 4 и слабее их, вершина 2 эквивалентна вершине 3, 1 2 Ь а Ь а б Рис. 6.16 вершина 5 сильнее вершины 4, вершины 6 и 7 являются минимальными и разделяющими и эквивалентны друг другу. 3.16. 1) Построить все попарно неизоморфныс сильно связные двухполюсные сети с 3 ребрами. 2) Найти число попарно неизоморфных сильно связных двухполюсных сетей с 4 ребрами.

3.17. 1) Для каждой из сетей, представленных на рис. 6.16, указать тип разложения. 227 7'у. яеревея а вепш а Ь а Ь Ь а Ь а Ь Рис. 6.16 2) Найти внешнюю сеть и внутренние сети расщеплений для сетей, представленных на рис. 6.16. 3.18. 1) Показать, что в каждой неразложимой сети, .имеющей более двух ребер; а) степень каждого полюса но меньше 2; б) степень каждой внутренней вершины не меньше 3. 2) Найти число попарно неизоморфных неразложимых сетей с пятью ребрами.

3.19. Для сети Г, представленной на рис. 6.15, 6, указать: 1) две пары вершин (и, с) такие, что и слабее с и вершины и, с неэквивалентны; 2) две пары эквивалентных вершин (и, и); 3) пару вершин (и, н), не зависящих друг от друга; 4) все разделяющие вершины; 5) все минимальные вершины. 3.20. 1) Показать., что если неразложимая сеть имеет п > 3 вершин и т ребер, то 3п < 2ти+ 2 < п(п — 1).

Характеристики

Список файлов книги