Определение коэффициента фильтрации пористой среды (1132366), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Подстановка граничного условия (6), в данной задаче принимающего вид p = pатм + ρg(h − L), всоотношение (7) дает уравнениеCdh= − h,dtLоткудаCh(t) = h(0) exp − t ,Lгде h(0) — координата свободной поверхности жидкости в начальный момент времени. Последнее соотношение можно переписать ввиде линейной зависимости между логарифмом безразмерной координаты поверхности (−η) и временем t:η=Ch(t)t, η = − ln> 0.Lh(0)(8)Таким образом, определив в эксперименте координаты свободнойповерхности жидкости для нескольких моментов времени, можнонайти коэффициент пропорциональности в зависимости (8) и определить значение коэффициента фильтрации C.Выполнение эксперимента и обработка результатовУстановка для проведения эксперимента представляет собой вертикальную прозрачную трубу, в нижней части которой между двумя мелкоячеистыми сетками находится слой пористого материала.Свободная жидкость, находящаяся в верхней части установки, просачивается через пористый материал и стекает в сосуд, установленный в нижней части установки.Перед началом эксперимента измеряется толщина слоя пористого материала L.
Через верхний конец трубы в установку наливаетсяжидкость. После того как колебания свободной поверхности прекратятся, а пористый материал полностью заполнится жидкостью(при этом некоторое количество жидкости профильтруется черезпористый материал и соберется в сосуде под установкой), включается секундомер и одновременно фиксируется начальная координата свободной поверхности h(0) по шкале, укрепленной на установке.10По мере опускания свободной поверхности определяются ее координаты h для нескольких моментов времени t.При оформлении работы необходимо изложить цель работы, постановку и решение задачи о нестационарной фильтрации черезслой пористого материала, а также дать схему экспериментальнойустановки.
Следует привести значения всех измеренных и вычисленных параметров; результаты удобно заносить в следующую таблицу.h, смt, сη = ln h(0)h(t)Кроме того, необходимо представить график линейной зависимости η от t, построенной по экспериментальным точкам, которыетакже указываются на графике. Коэффициент фильтрации C определяется по углу наклона аппроксимирующей прямой на графикеили методом наименьших квадратов (см. приложение 2).Вопросы к зачету1. Описание фильтрации в рамках механики сплошной среды. Геометрические характеристики пористой среды (понятия пористости, просветности, проницаемости).2. Вектор скорости фильтрации. Вывод уравнения неразрывностипри фильтрации несжимаемой жидкости.3. Закон Дарси. Понятие напора. Коэффициент фильтрации.4. Типичные условия на границе пористой среды.5. Решение задачи о нестационарной фильтрации через слой пористого материала.6.
Экспериментальное определение коэффициента фильтрации.Литература1. В и л ь к е р Д. С. Лабораторный практикум по гидромеханике.М.: Физматлит, 1959. 352 с. (гл. VII).2. П о л у б а р и н о в а - К о ч и н а П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 664 с. (гл. I, § 1–8, 12; гл. II, § 1, 2).3. Ч а р н ы й И. А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963. 396 с.
(гл. I, § 1; гл. II, § 1).11Приложение 1Вывод зависимости градиента давления от скоростифильтрации с помощью теории размерностейВ отсутствие массовых сил зависимость градиента давленияот скорости фильтрации может быть получена с использованиемтеории размерностей. Кроме модуля скорости фильтрации u, величина градиента давления |grad p| зависит, с одной стороны, отсвойств жидкости — плотности ρ, определяющей инерционные свойства жидкости, и вязкости µ 1 ) — и, с другой стороны, от свойствпористой среды — характерного размера пор d, пористости m и,возможно, других скалярных безразмерных параметров ai , определяющих геометрию порового пространства:|grad p| = F (u, ρ, µ, d, m, ai ).Будем работать в классе систем единиц {L, M, T }. Выбирая в качестве величин с независимыми размерностями u, µ и d, на основанииπ-теоремы получим:ρudµu, m, ai .|grad p| = 2 · ΦdµПервый аргумент функции Φ можно назвать числом Рейнольдса Re,вычисленным по скорости фильтрации u и характерному размерупор d.Что касается направления вектора grad p, то, как нетрудно видеть, он должен быть параллелен вектору u.
Действительно, в прямоугольной декартовой системе координат зависимость компонентвектора grad p от компонент вектора скорости фильтрации u и других определяющих параметров имеет вид▽k p = ϕk (ul , ρ, µ, d, m, ai ), k, l = 1, 2, 3,причем вид функций ϕk не зависит от выбора системы координат.Предположим, что векторы grad p и u не параллельны. Направим1)Вязкость жидкости нужно обязательно учитывать, ибо если бы жидкостьне обладала вязкостью (была идеальной), то в силу парадокса Даламбера жидкость не испытывала бы сопротивления при стационарном движении в тонкойтрубке, заполненной пористой средой.12ось Ox вдоль вектора u, так чтобы он имел только одну отличнуюот нуля компоненту.
Тогда при повороте системы координат относительно оси Ox все аргументы функций ϕk останутся неизменными,в то время как компоненты вектора grad p будут изменяться, чтоприводит к противоречию1 ).Итак, общий вид закона фильтрации несжимаемой жидкости визотропной пористой среде можно записать так:grad p = −µρudF(Re,m,a)·u,Re=.id2µ(9)В случае очень медленных (ползущих) течений жидкости внутри пор зависимость (9) существенно упрощается, так как в этомслучае функция F не зависит от числа Рейнольдса. В самом деле, стационарное ламинарное движение вязкой жидкости в порахописывается уравнением неразрывности▽k v k = 0и уравнениями Навье — Стоксаρv i ▽i v k = −▽k p + µ △v k .Член, стоящий в левой части уравнений Навье — Стокса, по порядкувеличины равен ρv 2 /d, второй член в правой части порядка µv/d2 ,где v — характерное значение скорости частиц жидкости2 ). Поэтомуотношение первого названного члена ко второму, характеризующееотношение инерционных сил к силам вязкого трения, имеет порядок ρvd/µ или ρud/µ = Re, т.к.
характерная скорость частиц жидкости v и скорость фильтрации u отличаются лишь множителемпорядка единицы (см. стр. 4). Мы видим, что при Re ≪ 1 стоящей1)Это рассуждение опирается на предположение об изотропности пористойсреды. Для анизотропных сред (в которых, конечно, векторы u и grad p могутбыть не параллельны) в число аргументов функций ϕk нужно дополнительно включать компоненты тензоров, характеризующих анизотропию (например,для слоистой среды — компоненты вектора нормали, задающего ориентациюслоев в пространстве).2 ) Мы пользуемся тем, что производная ∂A имеет порядок A/L, где L — ха∂xрактерный масштаб переменной x.13в левой части уравнений Навье — Стокса конвективной производной можно пренебречь по сравнению с остальными членами, такчто в этом случае плотность ρ не будет входить в постановку задачи (в условие на стенках пор — условие прилипания v = 0 —плотность также не входит), и поэтому она должна быть исключена из числа определяющих параметров.
Таким образом, при Re ≪ 1зависимость (9) должна иметь видµd2grad p = − u, k =,kF(m, ai )где величина k, имеющая размерность квадрата длины, зависиттолько от свойств пористой среды. Этот закон совпадает с закономДарси (2) при g = 0.Опытные данные показывают, что закон Дарси остается справедливым при значениях Re, не превосходящих нескольких единиц.При бо́льших значениях Re во встречающихся на практике случаях движение жидкости в порах остается ламинарным, но инерциейжидкости при движении в порах уже нельзя пренебрегать. В этомслучае зависимость градиента давления от скорости фильтрациинелинейная (часто ее считают квадратичной) и необходимо пользоваться законом (9).14Приложение 2Метод наименьших квадратовПредположим, мы знаем илипредполагаем, что между некоторыми физическими величинами xи y существует приближенная линейная зависимость y = Ax, причем коэффициент пропорциональности нам не известен.
Если в эксперименте было получено n пар чисел (xi , yi ) — значений рассматриваемых величин, то эти точки, вообщеговоря, не будут лежать на однойРис. 2.прямой на плоскости (x, y) вследствие неизбежно возникающих при измерениях ошибок, неучетавторостепенных факторов и т.п. Поэтому полученные экспериментальные данные можно по-разному приближать линейной зависимостью исходя из естественного требования, чтобы аппроксимирующая прямая была бы наиболее близка (в некотором смысле) к экспериментальным точкам. Часто в качестве такого условия выбирают требование, чтобы сумма квадратов отклонений di измеренныхзначений функции yi от предполагаемых нами значений Axi быламинимальна (рис. 2):J(A) =nPi=1d2i=nP(yi − Axi )2 → min .i=1Необходимое условие минимума J ′ (A) = 0 дает линейное уравнениеотносительно A, откудаnPxi yiA = i=1nP.x2ii=1Такой способ аппроксимации экспериментальных данных является простейшим вариантом метода наименьших квадратов 1 ).
Этот1)Метод наименьших квадратов был предложен независимо Лежандром и15метод легко обобщается на случай аппроксимирующих функций сбо́льшим числом параметров. Так, если мы приближаем экспериментальные данные линейной зависимостью вида y = Ax + B, где Aи B суть неизвестные постоянные, то условие минимума функцииI(A, B) =nP(yi − Axi − B)2i=1дает систему двух линейных уравнений∂I∂I= 0,=0∂A∂Bотносительно A и B, из которойnA=nPxi yi −i=1nnPi=1nPxii=1x2i −nPi=1nPyii=12xi, B=nPi=1yinPx2inPxi yixii=1. n 2nP 2Pnxi −xii=1i=1−nPi=1i=1Эти формулы могут быть использованы при обработке экспериментальных данных в работе «Определение периода автоколебанийплоских затопленных фонтанов» физико-механического практикума по гидромеханике.Гауссом (последний успешно использовал этот метод в 1801 г.
для определенияорбиты вновь открытой малой планеты Цереры по данным астрономическихнаблюдений)..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
