Л. Прандтль, О. Титьенс - Гидро- и аэромеханика, том 2 - Движение жидкостей с трением и технические приложения (1132333), страница 6
Текст из файла (страница 6)
тельно безразмерных переменных, то отсюда следует, что диференциальные уравнения различных геометрически подобных течений 2!Ог)т отлн. чзться только т!ножи!еле!!, обшим для всех членов уравнения. Частное — ', представляет собой отношение дав!ения, характерного ,! 2 для рассматривземого явления, к удвоеннот!у динамическому давлению и для геочетрн !еского подобия не имеет з !ачения, так как давление представляет собой тотько пзсснвн!!о реакцию про!ив изменения обьема.
Тзкит! образом получается тот же результат, что и в Ы 4, име !но: для 1 геометрн !Сски подобных тс !Сний !исло — — — — должно быть постояна 22' ным, следовательно, должно быть постоянныч и число г7, законы пОдОБия 7. Связь между соображеиияии о подобии и соображеиияии о рвзиериостях. Все физические законы могут быть представлены в форме, освобожденной от единиц, специально примененных для измерения величин, входшцнх в рассматриваемые законы. Слеловзтельно, в эгу форму булут входить только отвлеченные числа (отношения физических величин), и поэтому соображения о подобии могут быть заменены соображсгпгямн о размерностях. Из физических величин, вхоляшнх в уравнение Навье-Стокса, единица времени огнозиачно определена через единицу скорости )г и через единицу длины л, давление же лля геометрического подобия течений не имеет зн;шения. Следовательно, сушественными для спектра линий тока являются величины: скорость )г, характерная длина а, масса единицы объема р и вязкость р.
Нозьмем техническую систему основных единиц, т. е. сисгему из единицы силы К, единицы ллины й и единицы времени Т, и вьасним, можно ли составить пз величин )', а, р, р такую комбинацию рь ат.р )г', которая представляла бы сооой отвлеченное число, т, е, имела бы размерность 1; с,теловате ~ьно, надо так полобрать степени л, б,;, 6, чтобы [)Г..ла.рт, цт) Ко. (О, Та ! Я) Лб.''КггтгК" гг [И а1 рг р") = ' ' — - =Кзйзуе. Т!'тйй Приравнивая показатели степеней величии К, (. и Т слева и справа, получаем три уравнения для определения р,; н 3: + О =-. О, (а) (Ь) (с) 1 . - 3 - — 4'( — 2', =- О, 2; + Б — 1 == О.
решение этой системы уравнений дает т. е. елннственно возашжной безразмерной комбинацией величин 1; а, р, и является комбинация; *) Квадратные скобки означают, что речь идет только о рззмерности той зелячины, коюрая стоят внутри скобок. Так как безразмерная величина, будучи возвышена в любую степень, Остается отвлеченньш числом, то одно из чисел а, 'р, (, б можно выбрать произвольно.
Положим, например, л=! и подставим лля отлельных физических величин их размерности, указанные иа стр. 17; получим: связь яежху сОЗБРл'кениями О пОдОБии и О РлзмеРностях 23 Если бы мы предположпли известным, что величины Р и р могут встретиться только в сочетании —, т. с. что в = — у, то вывод был Р Р бы еще проще. В самом деле, так как, с одной стороны, а, с другой сгороны, также и ~ 1ха! =- —, ра то — представляет собой единственную возмонсную комбинацию, дающую отвлеченное число.
Хотя такого рода соображения о размерностях не обладают наглядностью соображений о подобии, тем не менее они имеют за собой преимущество возможности применения в тех случаях, когда точное уравнение движения пока еще неизвестно, но зато известно, какие физи .еские величины играют роль в рзссещтрнвасмом явлении. Ш. Течение в Трубах н каналах. А. Лэмцнпрпое течение. 8.
Общие сведения. Исследования течений в трубах и каналах в связи с пх большим практическим значенисч производились уже да.но; опп состээлл~ог область собствечно гидравлики. Но тэк как законы эп1треннс~о трения жидкостей в течение долгого времени остэвэ.щсь нензгестпьши, то лля то~о, чтобы хотя бы до некоторой с1с спп удовлстгорить практическим потребностям, приходилось огр;пш ав.ться опытамп лля кажлсго отдельно~о случая, оставляя совершенно неразрешенными вопросы о внутренней связи различных явлений.
В ссре шпс пропщого столетия гидродинамике удалось решить в общем шьш .юдзчу (счсщ1я жидкости в прямолинейных трубах круглого сечения с г ~агом вязкосш. уйсжлу прочим, этот случай является одним из тех ~счногпх, в которых до настоящего времени возможно полное интегрирование оощсго дпференцпального уравнения движения вязкой жидкости. Олээко, прп агом оказалось, что вэо решение для практической гидравлики по пи нича~о ье дает. Именно, выяснилось, что условия, при котор эх ршпснис лнферсншшльпого уравнения физически возмо'кно, хотя и могут б.пь реализованы, а в некоторых случаях встречаются и в при.
р 1лс, тсм пе мопсе само найденное теор тпчсскос решение не охватывает преобладающего большпнства течений по трубам и канатам, особенно в точ вилс, в каком они встречаются в технике. Причина этого заклюшстся в том, по существуют лве принципиально различные формы течения. '1гобы зто выяснить, рассмотрим, например, в стеклянной трубе течение воды, к которой добавлены небольшие твердые чэстицы, хотя бы деревяппыс опилки. Присутствие этих опилок делает различимыми отдельные дстэлп дви'кения жидкости. Если скорость течения воды в трубе не слишком мала.
то прп наблюдении сразу бросается в глаза, что движение эс:иц жидкости в оощем случае происходит не по траекториям, параллсльныч степкам, а в полном хаосе, на первый взглял совершенно не- упорядоченно. Именно, наряду с главным движением в направлении оси трубам ясно видны побочные движения отдельных частиц жидкости в направлении. перпендикулярном к оси трубы.
Такая форма течения называ тся т у р б 1 л е н т н о й. Громадное большинство нсех течений жидко- стеН и газов в технике явшпотся турбулентными. Но ес:и в нашем опыте постепенно уменыпэть пост1пление воды в трубу (закрывая постепенно кр;щп то прп известной скорости почти внезапно наступает вторая из упомяп1тых форм течения. Теперь отчетливо видно, как частицы жидкости лв ~гэются до некоторой степени отдельными слоямн по траекториям, пэрэлтслглпэм друг другу и стенкам. Эта форма течения называется ~ э и и н э р н о и, и только к ней и относится вышеупомянутое теоретиче. н ~с р" щщ,пс шлэ щ твшкеппя;кнлкостп в прямолинейной трубе. 25 вгндлментлльноа нсслвдовлнив глганл О. Фундцнеитадьное нссдедовцнне Гагенп, Хотя существование обеих форм течения, турбулентной и ламинарной, было известно уже давно, тем не менее первые систематические попьцкн установления закоччоч!ерностей обеих форм течения начали делаться только в серелинс прошлого столетия.
Первые фундаыентальные и весьма тщательные исследования этого рода были произведены Г. Гагеном (О. Наде.). Однако, его результаты нс сделались широко известными, так как применявшаяся м! системз единиц (прусский лот, парижский дюйм и т. д.) требовала ропотливого пересчета результатов в тех случзях, когда их жслагечьно оыло сравнить с другими. Но во всяком случае Га~ену принадлежит полыхая заслута в деле исследовзния законов течения в трубах. Первая из его двух работ, относящихся к рассматриваемой области, опубликована в 1839 г. ') и ограничивается исследованием .чаминарного течения.
Гагсн пользовался прн этом исследовании тремя тянутыми латун!ыми трубами различных диаметров а) н искал связи ыечкду измеренными гкундными количествалчи М протекающей вочы и наблюченнымн напорами Ь в резервуаре в начале трубы (относительно конца трубы). Он ~сходи.ч из прсдполохссння, что Ь =-. Ь! -)- Ь, =-- а У( -)- Ь М!г, показал, что а и д для каждой трубы суть постоянные, причем а 1 весьма сильной степени зависит от температуры, Ь, напротив, не зависит. .1равнльно понимая физическую сущность явл нчш, Гаген формулирует олученный иы результат счедуюшим образом: часчь напора, именно та, ;оторая соответствует члену со второй степенью, т. е, Ь,=ЬМ-', расхогуется иа то, чтобы сообщить жидкости кинстичсскучо энергию, другая же часть напора, Ь, = аМ, необходима для преодоления сопротивления, обусловленного трением. Счеловатсльно, поскольку дело касаешься только трения, напор пропор!понален секундному количеству протекавшей жидкости (расходу), причем ьоэф!нциент пропорциональности сильно зависит от температуры.
Приме;шя способ наименьших квадратов, Гаген устанавливает из изм реннй чвисиыость величины а от температуры и различные значения а для отдельных труб приводит к определенной темпгратуре (! Ос С), После разделения выражения лля Ь на ллины труб, т. е. после отнесения напорз к сдинице длины, оказывается, что таким путгм пргобразованныс коэфн'.ненты пропорциональности а и Ь обратно пропорционачьны четвертой гепени радиусов труб. Окончательно почучзе'ся: Ь =- Ь, -'; Ь = — . 0 000 009 1 1 7 (М -( — — 0 0 002 056 Мч, 1 1 : дс г означает радиус трубы.
Таким образом, если учитывать только член первой степенью относительно М, соответствующий затрате напора ча преодоление трения, то тогда секундный расход пропорционален на:ору Ь, и четвсртой степени радиуса трубы и обратно пропорционален чг~ине трубы. '! Н ай си, Ол ОЬег и!г Бевейипй сга Чуаз еы !и епсгп хуцпвпасйеп Койггп. ''вйя, Адп., т. 46 стр. 423. !839. 0,айна(гетры; 0255 сж; 040! гж; 0591 ан! данны — соотвсчстьенно 474 гю '*'" гж; !ь5 гж. ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ И КАНАЛАХ Ввгдем теперь в вышгнаписанное соотношение, полученное Гагеиом на основании своих экспериментов, вместо секундного расхода гИ сред- чюю скорость и (связанную с Я соотношением: г)( = пгзггу) и вместо напорз Ь вЂ” разность давтеипй ар = — /гт = Ври, и прим.ч во внимание, что Гагеном за единицу длины взят 1 парижский дюйм, равный 2,707 сж, з удельный вес вуды принят равным 1,355 прусских лотов!парижский д!ай!!3; тогда получим, что в единицах сж, г, сок: !и цр =йр + мр = 0,103 — „, + 1,35гр.'гз, нлн, если в коэфициент 0,103 члена, завися!цего от трения, ввести коэ- фициент вязкости р, который для принятой температуры в 1Оо С имеет значение 0,013 гслг-! сок 'е), цр = цр! + црв = Вр + 2,7 —., !и рмв гг (1) Для зависимости коэфициента вязкости от температуры (от Оо до примерно 20 С) Гаген дает соотношение, которое после пересчета в единицы слг, г, сок и в градусы Цельсия получает вид: р = 0,01 800 — 0,000 655(+ О,О 000 144!с, оом н) По ТЬог р е апб Йо 6 я ег: Р!01.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
