Л. Прандтль, О. Титьенс - Гидро- и аэромеханика, том 2 - Движение жидкостей с трением и технические приложения (1132333), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Так как сила тяжести на единицу объема равна весу единицы объема у=рх' (// — ускорение силы земной тяжести), то достаточным и необходимым условием геометрического подобия спектров линий тока (если при этолг ие учитывать вязкости и сжимаелюсти) будет: ди ри— сила инерции ах = — — ' = сопз1. силл тяжести ри аи 1/з В № 4 мы вилелн, что и — изменяется пропорционально — (где 1' азах а начает скорость вообще произвольную, но характерную для рассматриваемого течения, а а — такую же длину), следовательно, написанное равенство можно написать также в виде: (2) сила инерции 1'Я = — = сопз1.
сила тяжести ад Этот закон подобия был найден Фрудом ') и поэтому называется законоч 1/Я Фруда. Отношение —, прелставляющее собой опять безразмерное число, аа ' называется числом Фруда и обозначается буквою /и, Закон Фруда находит широкое применение везде там, где вследствие наличия свободных поверхностей жидкости проявляется действие силы тнжестн, так, например, в первую очередь, прн исследовании моделей ~) угон д е: Тгапг. о1 Ше 1пг1. о1 1Чача! Агсп., т.
11, сгр. 80. 1870. закон подовяя пги ьчвтв сил ин..гции и тяжвсти 19 судов. Если, например, величина модели равна '1, величины судна в натур, то для того, чтобы число гч было постоянно, на основании закона Фруда необходимо испытывать модель сулиа при скорости в 1О раз меньшей той, которую будет иметь судно в натуре. Только тогда формы линий тока, волн и т. д, при испытании модели будут подобны соответствующим формам при движении судна в натуре. В то время как при учете вязкости и инерции, но при пренебрежении тяжестью, механическое подобие возможно только тогда, когда при уменьшении линейных размеров модели соответствующим образом увеличивается скорость, закон подобия Фруда требует в этом случае уменьшения скорости.
Отсюда видно, что сочетание обоих законов подобия в предположении одинаковой жидкости невозможно, т. е. для одинаковой жидкости не может быть никакого закона полобия, который учитывал бы одновременно и сичы инерции, и силы трения, и силы тяжести. При помощи применения жидкостей с различной кинематической вязкостью оба закона подобия могут быть принципиально объединены, однако, практически это не имеет почти никакого значения, так как в нашем распоряжении не имеется жидкостей с достаточно раззичной кинематической вязкостью. В самом леле, если явлению в натуре приписать индекс 1, а испытанию модели — индекс 2, то нз равенств У а, Ухчв У1 Ух т и ад аж следует, что кинематическне вязкости применяемых жидкостей должны относиться, как з ' =( — ') или — '= ( — х) При испытаниях моделей судов величина результирующей сил трения, т. е.
сопротивление трения, обычно такого же порядка, как и величина снл инерции и сил тяжести 1сопротнвление давления и сопротивление волн). Из этого положения выходят, по Фруду, тем, что при помощи особых опытов определяют сопротивление трения модели и вычитают его из измеренного сопротивления; остаток на основании закона Фруда пересчитывают на судно в натурзльном размере и опять прибавляют соответствующее сопротивление трения.
Однако, этот спссоб страдает большой неточностью, так как остаточное сопротивление, полученное в результате вычитания сопротивления трения, не совсем не зависит от вязкости; при этом неточность теы больше, чем меньше применяемая модель. По этой причине в судостроении пользуются для испытаний относительно большими моделями примерно в 5 и больше метров длиною. Предположение о несжимаемости жидкостей и газов, которое мы сделали при выводе обоих законов подобия — Рейнольдса и Фруда, надо понимать не тзк, что жидкости и газы несжимаемы абсолютно н во всех случаях, а в том смысле, что прн рассматриваемых движениях влияние сжимаемости настолько мало, что им можно пренебречь.
О том, в какой мере в этом смысле газы могут рассматриваться несжимаемыми, было сказано в главе ХШ первого тома. 2" законы полозив :)лч тех слу"аев, когда влияние сжичаемости настолько велико (июнь большие скорости илн рази сти высот), что лля ргысчатрив"ечого явления оно ичсет существенное зна ~сннс, монгно состзвить специальный д:и эгих с лучаев закон подобия, учитывая, напри:ер, сичч инерции и с кичасмость. Однако, и здесь при попьпке учесть третий фактор (например силу тюкестн или вязкость) состав ение закона подобия ока;,~вается невозчыкнызп Тзк кзк сочетание инерпии, тяжести и сжичаемости астре жется в бо гьшннстве пете~ рологи ыскнх гшленнй, то исследов ание тех из них, в которых укззанные тра фактора имеют существенное значение, при помопти испытаний иа моделях — невозможно.
б. Вывод:акоиа подобия 1'ейнольдва из уравнения НпвьеСтою а. Не останавливзясь злссь на выводе обпгих у звнеиий движения вязкой жидкости (сч. гл, !Ч), укажем только, что влияние внутреннего трения сказывается в точ, что к силач на едилипу обьемл в правой части уравнения Эйлера для жидкостей без трения (см. М вб первого тома) прибав жется еще лен )хднф. Следовательно, урзвненне Эйлера, распространенное иа случай вязкой жидкости, так называемое уршнение движения Нзв е-Стокса (г)зч(ег, Я(окез), имеет слелующуго форму; дш 1 » аг + пг о ятаг( т = й — — пгас( р + — дш.
г Р Если в дальнейшем предположитгч что плотность во гсей жидкости постоянна, и понимать под р не полное давление, а разность между полным и весовым давлениями, то тогда д йствле тяжести ви) гр ~ жнлкости, как мы видели в М 2 (см. также Я бй первого точа), кочпенсируется статической подьечной силой, и вышепаписанное уравнение дви,кения примет форму; зш — шо дгас) пг = — — пгаб р ч'- — дш.
1 (3) ш Р Р Необходимо особо подчеркнуть, что исключение силы такести благодаря действию подьемной силы возчожно только внутри жидкости, так что те явления движения, при которых имеются свободные поверхности, должны остаться вне нашего рассмот)зевая, и далее, что плотность должна считаться всюду постоянной, т. е, нсидкость должна предполагаться нес,кючаечой. Так ьзк лиференпиальное уравнение лвижения не должно зависеть от выбора елинип для различных втодяпгих в уравнение физических величин, как скорость, давтение и т, д,, то от произвола этого выбора мы можем освобо гыьсп если вместо переменных диференпизльного уравнения авелем новые беар змерные переменные.
Сделаем это следующим образом: для оп елеленного явления движения выбереиг в качестве елинип измерения некоторые величины, саян по себе п;онзвольные, но лля рассматриваемо~о явления — характерные (например скорость натекания Ь' на фнг. 4, радиус а шара и т, д.), и числа, выражающие результаты измерения при помопги эчих елинип, введем в качестве новых безразмерных пе;еменных в уравнение движения.
ВыВод зАконА половин Рсйнольдса из УРАВнен!!я нАВЬГ-стоксА 21 Следовательно, если )г, а, р и 12 суть постоянные вели шны, харак. терные длв рассмагр.!ваемого явлешш, то скорос!ь . .. . ш = тгйг, алина .. . .. . т= аЕ, хвален не .. Т = Р'2Р. время .. где йг, !'., Р и Т суть безразмерные числа, в которых ныражены результаты измерения физических величин ш, 1, р и г в единицзх )г, а, 22! и ! . Если теперь эти безразмерные ветичины йг, 1., Р и Т ввести в урзгнелие дви,кения, причем учесть, что символ я!ай означает одно.
крат:ое диференцирование по месту, а символ й — дв кратное диференцнрование по месту, следовательно, при введении единицы дтины а ! ! перв сй из ннх должен быть умножен на —, а второй — на —,, то в!!за аэ ' сто уравнения (3) получим: !' Ъйг И2 1 Тч 1' — -- + — — Иг2игаб Иг= — — — ' я!аб Р+ — — Ьйг. (4) ЬТ а л й ая Нри этом еднницз скорости (г не является незав;!симой от единицы !т длины, в чем легко убедиться, если в раэенстне ш = — —, опреде- 2ТГ ' лающем скорость, сделать такую же замену пер менных, как и в уран. нен.,и Нав:е-Стокса.
Следовательно, необходимо, чтобы было удовлетвол рено уравнение )г= —, например соответствующим выбором единицы времени 1!. Но в таком с.чучае, определяя ото!ода г! и подставляя в коэ- И фициент — при перном члене левой части уравнения (4), нолучзе 1/2 г, а (что, впрочем, мы долнгны были бы потребовать и на основании погле- 1 '2 дующего). Поэтолгу после деления обеих частей уравне !ня (ч) на - полу- а чаем: Ъйг — + И'2 пгаб И'= — — ' пгаг) Р+ — Ьйг. Р~ Ъг г Ря Га Тзк как подобие течений ознзчзет тождественность решений относи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
