В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1129987), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ОтсюдаZZZZ(27)f ′ dz = (P − iQ)(dx + i dy) = P dx + Q dy + i −Q dx + P dy = B(γ) + iΠ(γ).γγγγ81.3.2. Примеры11. Рассмотрим функцию f (z) = ln z = ln |z|+i arg z. Её вещественная часть u(x, y) = ln(x2 +y 2 ) 2 = 21 ln(x2 +y 2 )будет гармонической.2. Функция f1 (z) = ln z представляет собой комплексный потенциал векторного поля, соответствующегоперетеканию жидкости из 0 в ∞. Для неё B = 0, а Π = 2π. Функция f2 (z) = i ln z представляет собойпотенциал поля, для которого линиями уровня являются линии тока функции f1 (и наоборот). Для f2 всёнаоборот: B = 2π, а Π = 0 — жидкость крутится вокруг нуля (и бесконечности тоже).z+hТеперь переведём конформным преобразованием ln z−hточки 0 и ∞ в точки h и −h, и устремим h кнулю. При этом будем увеличивать поток: Π · 2h = m. Тогда жидкость будет перетекать из точки h вточку −h.
В пределе получится диполь — семейство окружностей, касающихся в точке 0 по обе стороныот вещественной оси.3. Постоянное векторное поле соответствует перетеканию жидкости из ∞ в ∞.1.3.3. Теорема РиманаРассмотрим произвольную область G (не обязательно односвязную), и поместим в некоторую её внутреннююточку диполь (см. пример выше). Из физических соображений следует, что рано или поздно в области образуетсяустановившееся течение жидкости. Пусть наше поле безвихревое, то есть B = 0. У него есть комплексныйпотенциал w = f (z) = u(z) + iv(z). Это голоморфная функция с единственным полюсом первого порядка внашей области.Из физических же соображений ясно, что если вода обтекает препятствие (то есть дырку в области), тонайдётся такая точка на границе дырки, что левее её жидкость обтекает препятствие с одной стороны, а правее —с другой.
Линия тока, которая упирается в эту точку, называется сепаратрисой (от слова separate — разделять).Комплексный потенциал постоянен вдоль траекторий, значит, эта функция переводит траектории в семействопрямых, параллельных оси абсцисс. Условие B = 0 гарантирует нам, что не возникнет неоднозначности умнимой части. Сепаратрисам деваться некуда, и они тоже перейдут в семейство прямых, из которых выкинутонекоторое семейство отрезков.
Таким образом, получилось конформное отображение f на плоскость c разрезами,параллельными вещественной оси. Но если область была односвязной, то разрез будет единственным (он будетсоответствовать одной сепаратрисе, упиравшейся во внешнюю границу области, а такую область отобразитьконформно на круг уже совсем просто.2. Многомерный комплексный анализ2.1.
Голоморфные функции многих переменных2.1.1. Определения, простейшие свойстваРассмотрим функции вида f : Cn → C, f (~z) = f (z1 , . . . , zn ). Введём обозначения: |z|2 = |z1 |2 + . . . + |zn |2 .Шаром, как обычно, будем называть множество B(a, r) := {z : |z − a| < r}.Определение.
Область в C вида ∆r (a) = {|zi − ai | < ri }, где a ∈ Cn , а r ∈ (R+ )n называется полидиском.Она является декартовым произведением одномерных дисков. Подмножество границы {|zi − ai | = ri } называется остовом полидиска. Мы будем обозначать остов ∆ через Sk ∆.Далее везде, где это не указано, суммирование ведётся по всем переменным, то есть от 1 до n.Как и в одномерном случае, будем использовать обозначения∂1∂∂∂1∂∂:=−i,:=+i,(1)∂zj2 ∂xj∂yj∂z j2 ∂xj∂yjXX∂f :=fzj dzj , ∂f :=fzj dz j .(2)Пусть функция f является R-дифференцируемой, тогдаdf =nXj=1n Xfzj dzj + fzj dz j = ∂f + ∂f.fxj dxj + fyj dyj =(3)j=1Определение.
Функция f называется голоморфной в области D, если ∂f ≡ 0 всюду в D.Очевидно, голоморфная функция является голоморфной по каждому аргументу при фиксированных остальных, так как fzj = 0 при всех j.92.1.2. Кратная интегральная формула КошиПусть f ∈ O(D), где D = D1 × . .
. × Dn . Зафиксируем все переменные, кроме первой, и применим обычнуюформулу Коши. ИмеемZ1f (ζ1 , z2 , . . . , zn )dζ1 .(4)f (z) =2πiζ1 − z1∂D1Но на этом, мы, конечно, не остановимся. Продолжим равенство, применив формулу для переменной z2 :Z Z1f (ζ1 , ζ2 , z3 , . . . , zn )f (z) =dζ2 dζ1 .(2πi)2(ζ1 − z1 ) · (ζ2 − z2 )(5)Под интегралом у нас хорошая функция, поэтому применима теорема Фубини.
В итоге имеемZf (ζ1 , . . . , ζn ) ~1Qdζ.f (z) =(2πi)n(ζj − zj )(6)∂D1 ∂D2∂D1 ×...×∂DnЭто и есть многомерная формула Коши.Рассмотрим голоморфную форму степени n:ω = f (z1 , . . . , zn ) dz1 ∧ . . . ∧ dzn ,(7)f ∈ O(D).PПокажем, что её дифференциал dω равен нулю. Действительно, имеем dω = df ∧ dz1 ∧ . .
. ∧ dzn , а df = fzj dzj(коэффициенты при dz j равны нулю в силу голоморфности). Следовательно, в выражении для дифференциала dω тоже не будет слагаемых, содержащих dz j , зато в каждом слагаемом будет пара одинаковых дифференциалов dzj . Но всем хорошо известно, что dz ∧ dz = 0. Значит, dω = 0.Отсюда и из теоремы Стокса вытекает, чтоZZZω = dω = 0 = 0.(8)σ∂σσ2.2. Свойства голоморфных функций2.2.1. Степенные ряды для функций многих переменныхБудем рассматривать кратные степенные ряды видаXXcm (z − a)m :=cm1 ...mn (z1 − a1 )m1 · .
. . · (zn − an )mn ,m(9)m1 ,...,mnгде m = (m1 , . . . , mn ), |m| := m1 + . . . + mn , z = (z1 , . . . , zn ), a = (a1 , . . . , an ).Рассмотрим кратную геометрическую прогрессиюXq1m1 · . . . · qnmn .(10)mj >0ИмеемXmj >0q1m1· . . . · qnmn= lim"N1Xm1 =0q1m1· ...·NnXmn =0qnmn#"1 − qnNn +11 − q1N1 +1· ...·= lim1 − q11 − qn#=11·...·. (11)1 − q11 − qnАналогично случаю одной переменой, доказываетсяЛемма 2.1 (Абеля). Если в точке zb 6= a члены ряда равномерно ограничены, то есть |cm (bz − a)m | 6 M ,то при z ∈ ∆(a, r), где r = (r1 , . .
. , rn ), rj = |bzj − aj |, ряд (9) сходится равномерно. Как и в одномерном случае, имеем|cm1 ...mn (z1 − a1 )m1 · . . . · (zn − an )mn | =m1mn z 1 − a1z n − anm1mn6= cm1 ...mn (bz1 − a1 ) · . . . · (bz n − an ) ··... ·zb1 − a1zbn − anm1 z 1 − a1 z n − an mn , (12)6 M ·· ...·zb1 − a1 zbn − an то есть общий член мажорируется кратной геометрической прогрессией со знаменателем qj < 1, и ряд сходитсяравномерно по признаку Вейерштрасса. 102.2.2. Разложение голоморфной функции в рядРассмотрим область D и полидиск ∆(~a, ~r) ⊂ D.
Как и в одномерном случае, представим дробьсуммы геометрической прогрессии:1ζj −zj mj∞ ∞XX11111z j − aj(zj − aj )mj==·=·=.zj −ajζj − zj(ζj − aj ) − (zj − aj )ζj − aj 1 − ζ −aζj − aj m =0 ζj − aj(ζj − aj )mj +1mj =0jjjв виде(13)e ⋐ ∆ (чтобыРассмотрим функцию f ∈ O(D). Напишем для неё формулу Коши, интегрируя по полидиску ∆точка ζ не подбиралась слишком близко к остову бо́льшего полидиска).Z1f (ζ1 , . . . , ζn ) ~Qf (z) =dζ.(14)n(2πi)(ζj − zj )eSk ∆Для каждой из дробей1ζj −zjприменим написанное разложение. Получимf (z) =1(2πi)nZ XeSk ∆f (ζ)mnY(zj − aj )mj ~dζ.(ζj − aj )mj +1j=1e а так как ∆e ⋐ ∆, тоПоскольку f ∈ O(∆), то |f | 6 M на ∆,f (ζ) ·|zj −aj ||ζj −aj |(15)6 qj < 1, и ряд мажорируется прогрессией:nYY1(zj − aj )mj ·6M·rj ·q1m1 · .
. . · qnmn .mζj − aj j=1 (ζj − aj ) j| {z }(16)constЗначит, по лемме Абеля имеется равномерная сходимость, и можно поменять порядок интегрирования исуммирования. ТогдаZnY1 Xf (ζ) dζQf (z) =(zj − aj )mj .(17)(2πi)n m(ζj − aj )mj +1 j=1eSk ∆2.2.3. Область сходимостиОпределение. Полидиск ∆(a, r) называется полидиском сходимости, а r = (r1 , . . . , rn ) — набором сопряжённых радиусов сходимости, если в ∆(a, r) ряд сходится, и в любом полидиске ∆(a, R), где Rj > rj длянекоторого j (а остальные радиусы такие же), ряд расходится.Иными словами, полидиск является полидиском сходимости, если его нельзя «раздуть» по некоторой координате, сохраняя сходимость и не уменьшая при этом других радиусов.Определение. Область сходимости степенного ряда — внутренность множества точек сходимости.Название «область» корректно: это множество открыто (по определению) и связно (почти очевидно).Далее для простоты будем рассматривать ряды с центром в нуле.Из леммы Абеля следует, что если точка z принадлежит области сходимости, то вместе с ней там лежатточки вида (eiϕ1 z1, .
. . , eiϕn zn ). Таким образом, вместе с каждой точкой в области сходимости лежит полидиск∆ 0, (|z1 |, . . . , |zn |) , и область сходимости есть объединение полидисков сходимости.Задача 2.1. Написать ряд, областью сходимости которого является единичный шар.P m1 m2Пример 2.1. Рассмотрим рядz1 z2 . Его область сходимости есть множество {|z1 | < 1, |z2 | < 1}.P m1Пример 2.2.
Область сходимости рядаz1 z2 есть множество {|z1 | < 1} × C.PПример 2.3. Область сходимости ряда (z1 z2 )m есть множество {|z1 z2 | < 1}.1 +m2 )!Пример 2.4. Пусть cm1 ,m2 = (mm1 !·m2 ! . Рассмотрим ряд с коэффициентами cm1 ,m2 . Если он сходится внекоторой точке, то суммировать можно в любом порядке, поэтому∞XX (m1 + m2 )!z1m1 z2m2 =(z1 + z2 )m .m!·m!12m ,mm=01(18)2Следовательно, если |z1 + z2 | > 1, то ряд заведомо расходится. Значит, условие на сопряжённые радиусы будеттаким: r1 + r2 = 1.112.2.4. Логарифмическая выпуклостьРассмотрим образ области сходимости ряда под действием преобразованияϕ : Cn → Rn ,ϕz = (z1 , . .
. , zn ) 7−→ (ln |z1 |, . . . , ln |zn |).(19)Определение. Говорят, что область логарифимически выпукла, если её образ при отображении ϕ есть выпуклое множество.Очевидно, что образ полидиска ∆(0, r) при отображении ϕ есть множество{x : xj < ln rj } = (−∞, ln r1 ) × . . . × (−∞, ln rn ).Теорема 2.2. Область Ω сходимости степенного ряда логарифимически выпукла.P Пусть в точках a и b общий член рядаcm z m ограничен, то естьmn1|cm1 ...mn am1 · . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
