В.К. Белошапка - Курс лекций по комплексному анализу (1129987), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Величину ∆ := 16(e1 − e2 )2 (e1 − e3 )2 (e2 − e3 )2 называют дискриминантом.Из формул Виета получаем уравнения на ei :e1 + e2 + e3 = 0,e e + e e + e e = − 1 g ,1 22 33 14 2e1 e2 e3 = − 41 g3 ,∆ = g23 − 27g32.(33)(34)Дискриминант многочлена, как известно, равен нулю тогда и только тогда, когда он имеет кратные корни.Вывод: если периоды ω1 и ω2 таковы, что ∆(g2 , g3 ) = g23 −27g32 6= 0, то можно найти функцию с такими периодами.294.2.3. Выражение эллиптических функций через функцию ВейерштрассаТеорема 4.9. Любую эллиптическую функцию с периодами ω1 и ω2 можно представить в видеf (z) = R ℘(z) + R1 ℘(z) ℘′ (z),(35)где R и R1 — рациональные функции. Сначала докажем, что любую чётную эллиптическую функцию можно представить в таком виде.

Еслиточка a — нуль (или полюс) функции f , то точка (−a) — тоже нуль (или полюс) этой функции. Если a ≡ −a,то кратность нуля (полюса) удваивается. Значит, порядок функции f есть чётное число. Пусть b′1 , . . . , b′2n — всенули функции f (с учётом кратностей), и a′1 , . . . , a′2n — все полюса, также с учётом кратностей.Полюса a′1 , .

. . , a′2n разбиваются на пары {ak1 , ak2 }, в каждой из которых ak1 + ak2 ≡ 0. Возьмём от каждойпары по одному представителю, получим набор a1 , . . . , an . Аналогичную процедуру проделаем с нулями.Рассмотрим функцию℘(z) − ℘(b1 ) · . . . · ℘(z) − ℘(bn ).Q(z) :=(36)℘(z) − ℘(a1 ) · . . .

· ℘(z) − ℘(an )Её полюса есть точки a1 , . . . , an и (−a1 ), . . . , (−an ), а нули — точки b1 , . . . , bn и (−b1 ), . . . , (−bn ) ввиду чётностифункции Вейерштрасса. Но с другой стороны, наша функция тоже чётна, и имеет тот же набор нулей и полюсовf (z)с теми же кратностями. Значит, функция Q(z)не имеет полюсов и нулей на параллелограмме периодов, а сталобыть, она постоянна.

Таким образом, f = R(℘).С нечётными функциями поступим так: поскольку функция ℘′ (z) нечётна (как производная чётной функ ′ции), функция ℘f′(z)(z) уже будет чётной. Значит, f (z) представима в виде R1 ℘(z) ℘ (z).В общем случае произвольную функцию представим в виде суммы чётной и нечётной:f (z) =11[f (z) + f (−z)] + [f (z) − f (−z)] .22(37)Значит, f (z) = R ℘(z) + R1 ℘(z) ℘′ (z). 4.2.4. Униформизация кубической кривой2Пусть в пространстве C была задана кривая C := {Pn (x, y) = 0} ⊂ C2 . Вложим C2 (x, y) в CP2 (x : y : z)(выше подробно объяснялось, как это сделать) и рассмотрим однородный многочленx yPe(x, y, z) := z n Pn,.(38)z znoОпределение.

Кривая C := Pe (x, y, z) = 0 ⊂ CP2 называется проективным замыканием кривой C.Рассмотрим кривуюC := y 2 = 4x3 − g2 x − g3 .Тогда её проективным замыканием будет криваяC := zy 2 = 4x3 − g2 xz 2 − g3 z 3 .(39)(40)Пусть ∆ = g23 − 27g32 6= 0. Покажем, что тогда C будет комплексным многообразием. Применим теорему онеявной функции. Для этого нужно показать, что в каждой точке кривой либо Px′ 6= 0, либо Py′ 6= 0. ИмеемP (x, y) = −y 2 + 4x3 − g2 x − g3 , тогда Px′ = 12x2 − g2 , Py′ = −2y.

Обратимости не будет тогда, когда одновременнообнуляется и сам многочлен, и pего производная. Но у нас кратных корней нет, поэтому всё хорошо.Рассмотрим функцию y = 2 (x − e1 )(x − e2 )(x − e3 ). У неё 4 особых точки: e1 , e2 , e3 , ∞. Риманова поверхность этой функции гомеоморфна сфере с одной ручкой (это следует из формулы Римана – Гурвица: количестворучек для римановой поверхности алгебраической функции w2 = Pn (z) есть g = n−1, если многочлен Pn не2имеет кратных корней — а в нашем случае оно так и есть), то есть двумерному тору. С другой стороны, многообразие C/G, где G — группа периодов, также есть двумерный тор.Кривую C можно параметризовать, положив(x = ℘(z),(41)y = ℘′ (z),где ℘(z) — функция, являющаяся решением уравнения (32).30Рассмотрим отображениеϕ : C/G → C, определённое по правилу ϕ(t) := ℘(t) : ℘′ (t) : 1 .(42)Заметим, что оно биективно: если функция Вейерштрасса принимает в каких-то точках t1 и t2 одинаковоезначение, то t1 = −t2 (с точностью до периода), но в этих точках значения производной различны (и если℘(t) = 0, то ℘(t) 6= 0).

Значит, образы точек t1 и t2 будут различными.Говорят, что функция Вейерштрасса униформизует данную кубическую кривую.5. ПриложениеЗадача 5.1. Найти в бидиске P последовательность zn → 0 такую, что для всех голоморфных в P функцийf выполняется свойство f = 0 если и только если f (zn ) = 0 для всех zn .31.

Характеристики

Список файлов лекций