Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

В настоящем параграфе связь между классической и квантовой физикой рассматривается более тщательно. При обсуждении мы не будем доказывать общих теорем, а ограничимся выводами, которые из них следуют, а также физическими доводами и примерами'. 1. Математически строгое утверждение состоит в том, что уравнения классической физики могут быть получены из квантовых при формальном устремлении величины д к нулю.

Из этого утверждения путем рассуждений может быть получен другой, более удооный критерий. гчасть рассматриваемых примеров в той иди иной ьгере уже обсуждалась ранее. Мы возвращаемся я ним здесь ради связности изложения э 36 Кллсснческкя н квлнтовля Физикл !81 Рассматривая гармонический осциллятор, мы выяснили, что его энергия квантуется; Еп = !кь(п + 1)2). Оставим неизменной энергию колебательной системы. Тогда формальное уменьшение й должно сопровождаться соответствующим увеличением квантового числа гц Рассмотрим угловой момент вращающегося тела. Мы знаем, что он квантуется в соответствии с соотношениями ЛХ, = гпХь, ЛХа —.

Ц! .!. 1)й~. При неизменной величине момента и его проекций уменьшение й должно сопровождаться увеличением квантовых чисел гп и !. Приведенные примеры, число которых можно существенно увеличить, приводят к выводу, что резульгпаты квантовой физики должны переходить в классические пра больших квантоыьгх числах. Этот вывод оказывается правильным, хотя его не всегда следует понимать буквально.

Чтобы яснее обрисовать ситуацию, продолжим рассмотрение физических примеров. !. Один из основных выводов квантовой физики заключается в том, что физические величины редко имеют вполне определенные значения, а, как правило, чразмазаныь в некоторой области, Эта «размазанность» в классической физике отсутствует. Покажем, что при больших квантовых числах противоречия здесь не возникает. Рассмотрим Ьр — распределение частиц по импульсу. Как мы уже знаем, ширина этого распределения связана соотношением неопределенностей Ьр. Ью = 2тй с размером схм области, занятой частицей в координатном пространстве.

Пусть для определенности речь идет о частице, находящейся в потенциальной яме с прямоугольными стенками. В этом случае для всех уровней, т.е. при всех квантовых числах, Хьх неизменно и равно ширине ямы, а значит, неизменно и схр. С другой стороны (см, например, (3.!2)), при увеличении номера уровня и волновое число Й, а значит, и импульс неограниченно возрастают. Это означает, что с ростом и отношение Ьр/р становится все меньше, при очень большом значении квантового числа становится исчезающе малым и для больших тел может быть положено равным нулю, что и делается в классической физике. 2. В $ 6 отмечалось, что в квантовой механике несправедливо утверждение классической физики о том, что полная энергия частицы является суммой ее потенциальной и кинетической энергии.

Это утверждение просто пе имеет смысла, поскольку потенциальная энергия зависит от координат частицы, а кинетическая — от ее импульса. В силу принципа неопределенностей координата и импульс пе могут быть измерены одновременно, а значит, потенциальная и кинетическая энергия не могут быть одновременно известны. В 5 6 отмечалось далее, что утверждение классической физики о равенстве полной энергии частицы и суммы ее потенциальной и кинетической энергий в квантовой механике заменяется на соответствую- 182 Глхьх б щие соотношения между средними значениями этих величин.

При больших квантовых числах разброс значений кинетической и потенциальной энергии становится несущественным, обе эти энергии с достаточной точностью равны своим средним значениям, так что классическое утверждение приобретает смысл и выполняется с прекрасной точностью Здесь следует указать на важное исключение. В атоме водорода полная энергия при п .-т оо не возрастает, а стремится к некоторому пределу, который удобно полагать равным нулю. Кинетическая и потенциальная энергии электрона при увеличении и мало меняются.

Поэтому утверждение о том, что полная энергия может быть найдена как сумма потенциальной и кинетической энергий, неприменимо к атомам ни при каких квантовых числах. Это важное исключение следует иметь в виду. Квантовая физика при больших квантовых числах, как правило, переходит в классическую, но прежде, чем это окончательно утверждать, в каждом конкретном случае следует убедиться в том, что основные физические величины, характеризующие движение, при болыцих квантовых числах приобретают неограниченно возрастающие или, по крайней мере, достаточно большие значения.

Любопытно, однако, что даже в атоме водорода при увеличении квантовых чисел движение приобретает многие классические черты. Так, с увеличением главного квантового числа п увеличивается среднее расстояние между электроном и ядром унапомним, что это расстояние возрастает как па), а следовательно, уменьшается «неклассическая часть энергии, связанная с неопределенностью импульса, и т.д. Итак, в большинстве случаев (пе относящихся к числу исключений) возрастание квантовых чисел приводит к увеличению числовых значений физических величин. Квантовые соотношения между средними значениями этих величин превращаются в привычные классические формулы.

3. Важнейшим результатом квантовой теории является утверждение о существовании у частиц янулевойа энергии', которая в классической физике не появляется вообще. Поскольку при увеличении энергии частицы вклад нулевой энергии в полную 1см., например, формулу для энергии осциллятора) становится малым, пренебрежение нулевой энергией в классической физике вполне оправдано. 11. Обратимся к еще одному важному различию между классической и квантовой физикой.

Классическая физика, как правило, начинает исследование с того, что экспериментатор устанавливает начальное положение и начальную скорость тела. Квантовая физика, наоборот, чаще всего исследует стационарные состояния частиц 1состояния с постоян- Имеется в вику наименьшая энергия, которую может иметь система, — ее энергия нри нулевых значениях квантовых чисел.

з36 Клхссическхя и кзмповхя Физикл 183 ф(х) = ~р(р) ехр(1 — х) г)р. (6.27) Распределение по импульсам р(р) отлично от нуля при всех (или почти всех) значениях импульса, но главным образом сосредоточено в области с шириной Ьр = 2яй/Ьл. Рассуждая в духе классической физики, можно теперь поставить вопрос о движении частицы с известной начальной координатой, т.е. о движении волнового пакета.

Задача о движении такого пакета (или, что то же самое, группы волн) хорошо изучена в классической физике. Волны типа ехр(1рю/А), или при полной записи ехр 1(рх/Ь вЂ” щ1), движутся аналогично классическим. Общеизвестный результат заключается в том, что составляющие пакет волны движутся с фазовой скоростью ~о/)ч в то время как гребень волны перемещается с групповой скоростью А~/г()г. Это и есть скорость движения волнового пакета.

Как мы уже знаем, групповая скорость движения волн де Бройля равна скорости частицы: йы/г)й = г)( >)уг1(гяг) = г)Е:(г)р = р/пт = г. Здесь следует отметить, что волновой пакет «размывается» со временем из-за того, что входящие в его состав волны перемещаются в пространстве с разной скоростью. Скорость, с которой «расплывается» волновой пакет, зависит от массы и для больших тел ничтожно мала. 111.

Приведенные рассуждения можно провести и для вращательного движения, когда одно тело (или частица) обращается в кулоновском ной энергией) и переходы между ними. Состояния микрочастиц (например, электронов) «размазаны» по значительному объему не потому, что не бывает локализованных состояний, а потому, что такие состояния нас до сих пор не интересовали и, вообще, редко представляют физический интерес, так как они не обладают определенным импульсом, опрсделенной энергией и определенным угловым моментом (см.

ниже). Не составляет, однако, большого труда — если в этом возникает необходимость — описать с помощью квантовой механики локализованные состояния электрона (или любой другой частицы). Повторим здесь рассуждения $4. Пусть, например, мы установили, что электрон находится в окрестности точки х и занимает некоторую область Ьл, так что его у-функция имеет вид, изображенный на рис. !3. Такое состояние в квантовой физике называют в о л н о в ы м п а к е т о м. Это состояние может быть разложено по набору любых собственных функций уравнения Шредингера, например, представлено в виде суммы или интеграла Фурье: Глльл б 184 бб(уэ) = ~ .4 е (6.28) Из этого соотношения следует, что «собранная по азимуту» т'-функция 'Локализовать положение электрона в атоме водопояа невозможно, так как при уточнении координаты электрону неизбежно приходится сообшать такую большую энергию, что он отрывается — или почти отрывается — от ядра.

Звты говорим зкесь о заряженном теле потому, что «уточнить» координату электрона в атоме, как мы уже знаем, не удастся. поле другого (атом водорода и другие подобные системы). Мы уже отмечали, что в квантовой физике наиболее интересны обладающие определенной энергией стационарные состояния, которые сильно «размазаны» в пространстве. Но если начать исследование движения с локализованного состояния, то волновой пакет и в этом случае некоторое время движется почти как классическое тело'. Со временем, однако, сходство пропадает, потому что волновой пакет «расплывается». Рассмотрим квантовые переходы, при которых вращающееся заряженное тело испускает электромагнитное излучение-.

Характеристики

Список файлов книги