Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Поворот стержня обнаруживался с помощью луча, отраженного от зеркала. Вращение подвешенного цилиндрика объясняется следующим образом. При наложении магнитного поля на парамагнетик энергия электронов с магнитным моментом, направленным по полю, оказывается ниже, чем энергия электронов, магнитный молзент которых направлен против поля (см.
(5.36)). При столкновениях электронов с решеткой они чаше оказываются в более низком энергетическом состоянии, чем в более высоком. Таким образом, по полю оказывается ориентировано большее число электронов, чем против поля Электроны приобретают некоторый суммарный магнитный, а следовательно, и суммарный механический моменты.
Так как полный момент импульса свободного тела изменяться не может, гПрн решении уравнения днрака правильное соотношение между спиновым угловым лзоментом и соответствующим магнитным моментом возникает само по себе зиа существование такой связи впервые указал Ричардсон (!908 г.). 126 1ЛАВА 5 парамагнитный цилиндр не только намагничивается, но и приобретает момент отдачи в сторону, противоположную вращению электронов, Так как наблюдаемый эффект для парамагнетиков оказывался очень малым, в опытах использовался резонанс; частота изменения тока в катушке была равна частоте собственных крутильных колебаний цилиндрика; при этом амплитуда существенно увеличивалась и делалась вполне доступной наблюдению.
Существенно легче наблюдать вращение ферромагнитных образцов. По направлению возникающего углового момента можно было сделать заключение о том, что намагничивание действительно обусловлено движением отрицательных зарядов, т. е, электронов. Из опытов можно была вычислить и отношение магнитного момента 1з к механическому моменту М. При этом ожидалось, что в согласии с формулой (5.25) эксперименты дадут На опыте обнаружилось, что отношение моментов ц,г14 в два раза больше ожидаемой величины. Этот результат показывает, что магнетизм связан не с ороитальпым, а с сооственным вращением, т.е. со спином электрона.
Квантовая электродинамика вносит небольшие поправки в указанное соотношение и показывает, что собственный магнитный момент электрона превосходит магнетон Бора приблизительно на 0,1%, Этот вывод прекрасно подтверждается экспериментом. Указанное различие носит название а н о м а л ь н о г о м а г н и т н о г о м о м е н т а электрона. На опыте наблюдается также эффект, обратный эффекту Эйнштейна и де Гааза: при закручивании ферромагнитных стерженьков происходит их намагничивание.
Этот эффект наблюдался впервые Барнетом и носит его имя. ф 26. Полные угловой и магнитный моменты электрона Полный момент импульса электрона обозначается т и складывается из орбитального 1 и спинового в моментов: (5.44) э 26. ПОлныс УГЛОВОЙ и мхгиитиый мОмегпы электРОНА 12? Правила сложения моментов не зависят от того, являются ли моменты орбитальными или спиновыми.
Поэтому квантовое число у (его иногда называют в н у т р е н н и м квантовым числом), определяющее полный угловой момент электрона, равно (5.45) —',1 ~ м — —. ~1 = 1,г2 ь При 1 ф О 2 принимает два значения, при 1 = О у = 1/2; 4 и у связаны обычным соотношением: 2 52.( + 1) (5.46) Проекция полного момента электрона на какое-нибудь направление (например, направление внешнего магнитного поля) кваптуется цо очевидному правилу 7', —..
йту, (5,47) где т, = +у, +Π— Ц, =Ц вЂ” 2),... (всего 2у 1 значений). Сложение спинового и орбитального моментов электрона приводит к сложению соответствующих магнитных моментов. Строгое теоретическое рассмотрение этого вопроса сопряжено с серьезными математическими трудностями. Читателей, интересующихся этим вопросом, мы отсылаем к учебникам по квантовой механике. Здесь мы рассмотрим сложение магнитных моментов с помощью векторной модели.
На рис. 52 сплошными линиями изображены угловыс моменты в, 1 и суммарный момент 4; за единицу длины этих векторов выбрана постоянная Планка 5. На том же рисунке изображены магнитные моменты 1А, и 125 за единицу длины векторов магнитных моментов выбран магнетон Бора.
При таком выборе единиц вектор 12~ имеет ту же длину, гчГ' ,1 что вектор 1, а вектор р„ оказывается вдвое длинее, чем в. Суммарный вектор магнитного ,/' ГМ, момента 1хьуч поэтомУ не паРаллелен вектору 4. В центральном электрическом поле атома : 'и„„ (как и во всяком центральном поле) вектор 4 сохраняет модуль и направление. Векторы в рис.
52 Векторная модель и 1 направления не сохраняют из-за наличия сложения магнитных момагпитного взаимодействия. Вместе с тем модуль в не меняется (з = 1г'2). Сохраняется и модуль вектора 1. Эта картина соответствует вращению векторов в и 1 вокруг суммарного вектора ~, Вместе с в и 1 вокруг 4 вращают- сЯ 1А„12~ и 12,уч. ПРи таком вРашении У вектоРа 1г.уч бУдет сохРанЯтьсЯ ГЛАВА 5 128 только проекция 1т на направление вектора 1. Проекция, перпендикулярная к направлению 1, быстро вращается, ее среднее взаимодействие со внешними магнитными полями равно нулю, и среднее значение самой проекции также равно нулю.
Таким образом, поведение электрона во внешних полях характеризуется проекцией суммарного магнитного момента на направление полного момента р, . Поскольку векторы 1 и 1А параллельны друг другу, можно записать: (5.48) Козффициент пропорциональности д для частиц носит название г и р о— м а г п и т н о г о о т н о ш е и н я, а для атомных злектропов называется ф а к т о р о м Л а н д е. Как нетрудно понять, гиромагнитное отношение равно отношению магнитного момента, выраженного в числе магнетонов Бора, к механическому моменту, выраженному в числе постоянных Планка.
Рассчитаем фактор Ланде с помощью векторной модели. Суммарный механический момент равен 1 = 1+ в, а суммарный магнитный момент определяется формулой -1хстя = Цн1-- 2цвв Проекция гх„„ на 1 равна Вектор и, равен пазтому 11 —. 2в1 1А3 2 двЗ дрвзй Множитель Ланде д, следовательно, равен д = —,, (11 -': 2в1) =.- — [1(1 —: в) й 2в(1 1 в)~ =" 1 ... 1, 1а+ 2ва -г ЗВ1 3 1 3 умножим зто соотношение на1з: дза =-1 —; 2вз+ ЗВ1. э 2?. ТонкАЯ стРУктУРА УРОвпей Атомх ВОД<>РОДА 129 При переходе к квантовой механике 1-, 1~, в~ и в1 следует заменить их операторами (напоминаем, что фактор Ланде д — это просто число и в замене не нуждается): д~ = 1 — 2в ч- 3(в1). Найдем среднее значение дЯ.
Мы уже отмечали (см. (2,26')), что опе- раторные равенства приводят к равенству средних величин. Поэтому дЯ~)) —.. ((1 )) + 2Ква)) — , '3((в1)). Средние значения З~, 1а и в~ нам известны; зто уЦ+1), 1(1+1) и а(а+1). Среднее значение в1 можно вычислить следующим образом. В классической физике 1=в — '1. Возведем это равенство в квадрат и выделим член 2в1 в левую часть: 2в1 =1а — в~ — 1~. Рассматривая зто равенство как операторное и снова заменяя его равен- ством средних величин, найдем 2' Найденные выражения следует подставить в формулу для д.
Подстановка дает д = 1 + 3(у + 1) —. '( + 1) — 1(1+ 1) (5.49) 2дО - 1) В 27. Тонкая структура уровней атома водорода и водородоподобных атомов Вернемся к атому водорода. Формула (5.12) для энергии уровней водорода и водородоподобных атомов была получена при решении уравнения Шредингера, т. е. нерелятнвистского уравнения, не учитывающего спина электрона.
Волновое уравнение, учитывающее релятивистскую зависимость массы от скорости и спин электрона, было предложено Дираком (1928 г.). Решением этого уравнения для уровней водородоподобных атомов является не (4.18), а несколько более сложная формула, так называемая формула тон кой с тру к тур ы. Эта формула приведена 1ЛАВА 5 в конце параграфа, так как до ознакомления с нею полезно выяснить, каким образом спин электрона должен влиять на положение энергетических уровней атома. Качественные рассуждения, к которым мы сейчас переходим, справедливы для любых атомов, а не только для водородоподобных. Рассмотрим электрон, у которого ! ф О. С орбитальным механическим моментом связан магнитный момент и, следовательно, некоторое магнитное поле Вг. Проекция спина электрона на направление этого поля может, как мы уже знаем, принимать два значения, так как та = = +1)2.
Таким образом, для электрона с ! ф О возможны два состояния, Уэ = ! + 1)г2 и Уз = ! — 1(2. Собственный (спиновый) магнитный момент электрона в этих состояниях по-разному взаимодействует с магнитным полем, которое возникает из-за орбитального движения (с п и н - о р б итал л ь н ое в з а и м од ей ст вне). Поэтому энергия этих двух состояний различна. Уровни энергии с неравным нулю значением ! являются поэтому не одиночными, а двойными.
Так как величина магнитного поля, создаваемого орбитальным движением электрона, зависит от (, то состояния с одинаковым главным квантовым числом п, но с различными значениями ! и у обладают несколько разными энергиями. Расщепление уровней с данным п из-за магнитного взаимодействия спинового и орбитального движения электрона носит название т о н к о й с т р у к т ур ы. «Топкой» она называется потому, что расщепление уровней мало по сравнению с расстсэянием между уровнями с различными и. Однако это расщепление отчетливо проявляется в оптических спектрах и хорошо изучено на опыте'. На рис, 53 изображена схема спин-орбитального расщепления уровня с м —.- 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
