QM3 (1129337), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Получить стабильную конфигурацию иона68H − можно даже в рамках вариационного метода, используя как минимум двухпараметрическую пробную функцию 1 .Рассмотренная нами техника без труда может быть обобщена и наслучай возбужденных состояний типа (nl)2 c n > 1, которые, однако,нестабильны (Обоснование см. в [3]).7.2.Теория возбужденного состояния атома гелияВ этом параграфе мы рассмотрим двухэлектронные конфигурациитипа nln0 l0 для несовпадающих пар (nl) 6= (n0 l0 ).Пример 7.3. Найти энергию возбужденного nln0 l0 -состояния гелиоподобного иона с зарядовым числом ядра Z.
Кулоновское взаимодействие электронов рассматривать как возмущение. Двухчастичнуюволновую функцию выбрать в виде симметризованного должным образом произведения одноэлектронных функций.Решение. Будем обозначать состояние (nl) одним индексом «1», а состояние (n0 l0 ) — индексом «2». Предположим, что первый электрон при(0)веден в одночастичное водородное состояние Ψ1 (r) с энергией E1 , а(0)второй — в состояние Ψ2 (r) с энергией E2 .Невозмущенная двухчастичная волновая функция может быть построена из одночастичных различными способами в зависимости отспинового состояния.
Ниже эти способы рассмотрены раздельно.а) В синглетном состоянии с антипараллельными спинами (S = 0,Sz = 0) согласно (7.3), (7.4) координатная волновая функция будетсимметричной. Ее вид дается формулой (7.6) со знаком «плюс». Рекомендуем самостоятельно показать, что невозмущенное значение энергии гелиеподобного ионаE(0)(0)(0)= E1 + E2 .(7.18)Поправка первого порядка к энергии вычисляется стандартным методом. Используя (7.6), получаем:∆E (S=0) = hnln0 l0 | Ŵ |nln0 l0 i =ZZe2(+)∗Φ(+) (r 1 , r 2 ) d3 r1 d3 r2 ==Φ(r 1 , r 2 )|r 1 − r 2 |ZZ1e2∗∗=Ψ1 (r 1 )Ψ2 (r 2 )Ψ1 (r 1 )Ψ2 (r 2 ) d3 r1 d3 r2 +2|r 1 − r 2 |{z}|A11Подробнее см.
[3].69++ZZ|Ψ∗1 (r 2 )Ψ∗2 (r 1 )A2ZZΨ∗1 (r 1 )Ψ∗2 (r 2 )|+e2Ψ1 (r 1 )Ψ2 (r 2 ) d3 r1 d3 r2 +|r 1 − r 2 |{z}e2Ψ1 (r 2 )Ψ2 (r 1 ) d3 r1 d3 r2 +|r 1 − r 2 |{z}A3ZZΨ∗1 (r 2 )Ψ∗2 (r 1 )|e2Ψ1 (r 2 )Ψ2 (r 1 ) d3 r1 d3 r2 .|r 1 − r 2 |{z}A4(7.19)Так как в (7.19) по переменным r 1 и r 2 проводится интегрирование,то эти переменные можно переименовывать. Если в слагаемых A2 и A4осуществить переобозначение r 1 r 2 , то A1 совпадет с A4 , а A2 —с A3 . Выражение (7.19) для поправки к энергии при этом несколькоупростится:∆E (S=0) = Q + A,гдеQ=ZZΨ∗1 (r 1 )Ψ∗2 (r 2 )e2Ψ1 (r 1 )Ψ2 (r 2 ) d3 r1 d3 r2 —|r 1 − r 2 |(7.20)энергия прямого кулоновского взаимодействия («кулоновская» энергия);ZZe2A=Ψ∗1 (r 1 )Ψ∗2 (r 2 )Ψ1 (r 2 )Ψ2 (r 1 ) d3 r1 d3 r2 —(7.21)|r 1 − r 2 |энергия обменного кулоновского взаимодействия («обменная» энергия).Классическим аналогом Q является энергия кулоновского взаимодействия двух непрерывно распределенных зарядов.
Наличие «обменной» компоненты A обусловлено тем, что каждый электрон с некоторой вероятностью может находиться как в состоянии «1», так и всостоянии «2». «Обменная» энергия по своей природе является тожекулоновской, хотя классического аналога не имеет. Следует заметить,что разбиение энергии взаимодействия электронов на «прямую» и «обменную» компоненты весьма условно, поскольку они обе входят в выражение для полной энергии атома:(S=0)(0)(0)Enln0 l0 = E1 + E2 + Q + A.70(7.22)Если оба электрона находятся в одинаковых одночастичных состояниях, как, например, в основном состоянии атома гелия, антисимметризация не требуется, и «обменная» энергия исчезает.Состояние атома гелия с антипараллельными спинами принято называть парасостоянием, или парагелием.
Основное состояние являетсяпарасостоянием.б) В триплетном состоянии с параллельными спинами (S = 1,Sz = 0, ±}), согласно (7.3), (7.4), координатная волновая функция будетантисимметричной. Ее вид дается формулой (7.6) со знаком «минус».Дальнейшие вычисления аналогичны проделанным выше за тем исключением, что в формуле (7.19) второе и третье слагаемые поменяютзнак.
В конечном итоге для энергии атома гелия имеем:(S=1)(0)(0)Enln0 l0 = E1 + E2 + Q − A,(7.23)где величины Q и A определены соответственно выражениями (7.20) и(7.21).Состояния атома гелия с параллельными спинами принято называть ортосостояниями, или ортогелием. Поскольку гамильтониан(7.1) не действует на спиновые переменные, энергетические уровни ортогелия в нерелятивистском приближении трехкратно вырождены повеличине Sz . Учет спин-орбитального взаимодействия позволяет снятьданное вырождение и увидеть триплетную структуру уровней ортогелия.Чтобы объяснить различие энергий орто- и парагелия, обратимсяк виду функции (7.6). В парасостояниях Φ(+) (r, r) 6≡ 0, и электронымогут находиться на любом расстоянии друг от друга. В ортосостояниях наоборот Φ(−) (r, r) ≡ 0, т.
е. электроны, согласно принципу Паули,не могут сближаться неограниченно, поскольку их спины параллельны. Такое «отталкивание» наблюдалось бы и в случае электрическинейтральных фермионов! Поэтому во втором случае, когда электронынаходятся в среднем дальше друг от друга, энергия их кулоновскогоотталкивания будет меньше, чем в первом.
Эта разность энергий(S=0)(S=1)∆ = Enln0 l0 − Enln0 l0 = 2Aможет быть измерена и является ярким экспериментальным подтверждением действия принципа Паули.Поскольку операторы электрического дипольного взаимодействияне изменяют спиновые состояния, все электрические дипольные переходы (даже спонтанные!) между орто- и парасостояниями запрещены.Поэтому ортогелий с наименьшей энергией будет существовать достаточно долго, не переходя в основное состояние (парагелий). Такие со71стояния называются метастабильными. Они могут распадаться только в том случае, если происходит столкновение с каким-либо третьимэлектроном, приводящее к обмену спиновыми состояниями с одним изэлектронов атома гелия.В данном параграфе были рассмотрены лишь некоторые методырешения многочастичных задач, основанные на выборе приближенныхволновых функций в виде должным образом симметризованных произведений одночастичных функций. Наиболее точным методом поискаодноэлектронных функций является численный метод Хартри – Фока, который здесь не рассматривается.
Дальнейшее повышение точности требует отказа от выбора одноэлектронных функций и усложнениярасчетов.Задачи для самостоятельного решения43∗ . Решить задачу примера 7.1 для состояния 1s2s. Результаты сравнить с экспериментальными данными (см. [1]).(Ответ:1 2 1691 2 137(S=0)(S=1)I1s2s =Z −Ea , I1s2s =Z −Ea .)8729872944∗ . Решить предыдущую задачу вариационным методом (см. пример 7.2).(Ответ:2256765548(S=1)(S=0)Z−Ea , E1s2s = −Z−Ea .)E1s2s = −836458364572Математическое приложениеДля вычисления матричного элемента hnlm| r −2 |nlmi в примере2.4 необходимо воспользоваться явным видом радиальных водородныхволновых функций:l2ZrZrfnl (r) = Nnlexp −1 F1 (−n + l + 1; 2l + 2; 2Zr/na0 ), (П1)na0na0гдеNnl =2Zna03/21(2l + 1)!s(n + l)!2n(n − l − 1)!(П2)— нормировочный множитель; 1 F1 — вырожденная гипергеометрическая функция (см.
приложение части 2).Пользуясь (П1), после замены t = 2Zr/(na0 ) имеем:hnlm| r−2|nlmi ==Z∞02fnl(r) dr =2Zna022NnlZ∞0t2l e−t 1 F12 (−n + l + 1; 2l + 2; t) dt.Интеграл вычислен в приложении f к учебнику [1] (дополнительнаялитература):Z ∞(. . .) dt = (2l)!2 F1 (−n + l + 1, 2l + 1; 2l + 2; 1),0где 2 F1 — гипергеометрическая функция, определяемая рядом Гаусса:ab xa(a + 1)b(b + 1) x2++ ...2 F1 (a, b; c; x) = 1 +c 1!c(c + 1)2!Ее частное значение при x = 1 приведено в справочнике [4] дополнительной литературы [формула (15.1.20)]:2 F1 (a, b; c; 1)=Γ(c) Γ(c − a − b).Γ(c − a) Γ(c − b)73ЛитератураОсновная1.
Давыдов А.С. Квантовая механика / А.С. Давыдов. — М. : Наука,1973. — 704 с.2. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики / Д.И. Блохинцев. —М. : Наука, 1983. — 664 с.3. Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике / В.М. Галицкий,Б.М. Карнаков, В.И. Коган. — М. : Наука, 1992. — 880 с.4. Сборник задач по теоретической физике / Л.Г.
Гречко [и др.]. —М. : Высш. шк., 1984. — 319 с.Дополнительная1. Ландау Л.Д. Теоретическая физика : в 10 т. / Л.Д. Ландау,Е.М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2001. — Т. 3. : Квантовая механика : Нерелятивистская теория. — 803 с.2. Левич В.Г. Курс теоретической физики : в 2 т. / В.Г. Левич,Ю.А. Вдовин, В.А. Мямлин. — М. : Наука, 1971. — Т. 2. — 936 с.3. Флюгге З. Задачи по квантовой механике : в 2 т. / З. Флюгге ;под ред. А.А. Соколова. — Череповец : Меркурий–ПРЕСС, 2000.4.
Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стиган. — М. : Наука, 1979. — 832 с.74Учебное изданиеКопытин Игорь Васильевич,Корнев Алексей Станиславович,Чуракова Татьяна АлексеевнаЗАДАЧИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕУчебное пособие для вузовЧасть 3Редактор И.Г. Валынкина75.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
