В.И. Денисов, В.С. Ростовский, В.А. Соколов - Задания по курсу Электродинамика для студентов 3-его курса физического факультета МГУ (1129080)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВАФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТКафедра квантовой теориии физики высоких энергийЗАДАНИЯпо курсу "ЭЛЕКТРОДИНАМИКА"для студентов 3-его курсафизического факультета МГУ, 2014-2015 учебный годАвторы-составители:В. И. ДЕНИСОВВ. С. РОСТОВСКИЙВ. А.
СОКОЛОВМОСКВА- 2014ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРАММА-МИНИМУМ К ЗАЧЕТУЧасть 1. "Электродинамика полей и зарядов в вакууме.Специальная теория относительности."1. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Сила Лоренца.2. Уравнения Максвелла в интегральной форме.3. Закон сохранения заряда и закон сохранения энергии в электродинамике (в дифференциальной форме).4. Связь полей и потенциалов. Калибровка Лоренца и уравнения для потенциалов в этой калибровке.5. Лапласиан от скалярной функции в декартовых прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах.6. Решение уравнений для потенциалов в виде запаздывающих потенциалов.7. Электрический дипольный момент. Потенциал и напряженность поляэлектрического диполя в электростатике.
Энергия диполя во внешнемполе.8. Магнитный дипольный момент. Векторный потенциал и напряженностьполя магнитного диполя в статике.~ и E,~9. Свойства плоских электромагнитных волн. Связь векторов поля Hволнового вектора ~k и частоты ω.10. Потенциалы, напряженности полей, интенсивность и угловое распределение электрического дипольного излучения.11. Сила радиационного трения в нерелятивистском приближении.12. Преобразования Лоренца для координат-времени в 3-мерном виде.13. Релятивистский закон сложения скоростей.14. Преобразования Лоренца для четырехмерных векторов; примеры четырехмерных векторов, используемых в электродинамике; их инварианты.15. Законы преобразования напряженностей электромагнитного поля.
Тензор электромагнитного поля и его инварианты.16. Связь энергии, импульса, массы и скорости релятивистской частицы.17. Уравнения движения релятивистской заряженной частицы во внешнемэлектромагнитном поле.18. Выражения для плотности энергии , плотности импульса и потока энергии электромагнитного поля.19. Функция Лагранжа релятивистской заряженной частицы во внешнемэлектромагнитном поле. Уравнения движения в форме Лагранжа.ПРИМЕЧАНИЯ:1. Минимальным требованием для зачета является знание всех соответствующих формул без вывода.2. Знание перечисленных вопросов является необходимым , но не достаточным для зачета.
Достаточным является умение применить данныеформулы к решению задач.Электродинамика полей и зарядов в вакууме31 СЕМИНАР: Векторный анализМатематический аппарат электродинамики. Оператор Гамильтона и его применение.Операторы градиент, дивергенция и ротор в криволинейных системах координат.Оператор Лапласа.~ = ~i · ∂ + ~j · ∂ + ~k · ∂ ,1.1. Используя векторный оператор "набла"∇∂x∂y∂z~~~~~~вычислить grad (ϕ ψ), div (ϕA), rot (ϕA), div [E × H], rot [A × B],~ B),~ ∆(ϕ ψ), где ϕ, ψ – скалярные, A,~ B,~ E,~ H~ - векторные функцииgrad (Aкоординат.¡¢¡¢~ ∇)~~ r, grad (E~ · ~r),1.2. Вычислить grad ϕ(r), div ~r · ϕ(r) , rot ~r · ϕ(r) , (E¡¢~ ×∇~ ] ~r , div [H~ × ~r] , rot [H~ × ~r] , grad f (t − r/c)/r, где ~r – радиус[E~ иH~ – постоянные векторы, ϕ и f – заданные функции скалярноговектор, Eаргумента.©¡ ¢ª©£ ¤ª1.2a*.
Вычислить ∆ ω~ ~r f (r) и ∆ ω~ ~r f (r) , где ω~ – постоянныйвектор.~ , rot A~ в цилиндрической и сферической си1.3*. Записать grad ϕ, div Aстемах координат, пользуясь выражениями для операторов grad, div, rot впроизвольных ортогональных координатах (q1 , q2 , q3 )grad ϕ = ~e1 ·~ =divB1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ·+ ~e2 ··+ ~e3 ··,h1 ∂q1h2 ∂q2h3 ∂q3n ∂o∂∂1·(h2 h3 B1 ) +(h3 h1 B2 ) +(h1 h2 B3 ) ,h1 h2 h3∂q1∂q2∂q3¯ ~e1¯¯ h2 h3~ = ¯ ∂rotA¯ ∂q1¯ h1 A1~e2h3 h1∂∂q2h2 A2~e3 ¯h1 h2 ¯∂ ¯∂q3 ¯h3 A3 ¯¯¯¯ h ~e1 ¯¯ 1∂ 1=h1 h2 h3 ¯¯ h∂qA11 1h2~e2∂∂q2h2 A2¯h3~e3 ¯¯∂ ¯∂q3 ¯ ,h3 A3 ¯где ~e1 , ~e2 , ~e3– базисные единичные векторы в точках q1 , q2 , q3 ,h1 , h2 , h3 – коэффициенты Ламе.~ = 0, rot H~ = 4π~j/c в ци1.4.
Записать уравнения магнитостатики div Hлиндрической системе координат в общем случае и в случае аксиальной симметрии.1.5. Записать уравнение Лапласа ∆Ψ = 0 в произвольных ортогональных,в декартовых, цилиндрических и в сферических координатах.4Электродинамика полей и зарядов в вакууме2 СЕМИНАР: Дельта-функцияДельта-функция Дирака и ее свойства. Построение выражений для объемной плотностизаряда с использованием дельта-функции для точечных и распределенных источников.2.1. ВычислитьR∞F (x) · δ(Φ(x)) dx ; нули функции Φ(x) предполагаются−∞известными, а F (x) – непрерывная, однозначная функция.R∞ 2x · δ(4x2 − 1) dx.2.2.
Вычислить интеграл I =2.3. Вычислить интеграл I =−∞R10x · δ(sin πx3 ) dx.12.4. Разложить δ(x − x0 ) в интеграл Фурье.2.5. Написать выражение для плотности точечного заряда в декартовых исферических координатах.2.6. Заряд q равномерно распределен по поверхности шара радиуса R.Записать выражение для поверхностной и объемной плотности заряда.2.6a. Заряд q равномерно распределен по тонкому кольцу радиуса R.Записать выражение для линейной и объемной плотности заряда.2.6б*. Заряд q равномерно распределен по отрезку нити длины L.
Записать выражение для объемной плотности заряда в декартовой и цилиндрической системах координат в случае: a) если центр отрезка совпадает с началомкоординат, а сам отрезок направлен вдоль оси x; b) если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а сам отрезок направлен вдоль оси x.2.7*. Записать выражение для плотности заряда диполя с дипольныммоментом P~ .2.8.
Пустьnx y z o©ª~n(ϑ, ϕ) == nx = sin ϑ · cos ϕ, ny = sin ϑ · sin ϕ, nz = cos ϑ, ,r r r– вектор единичной длины, все направления которого в пространстве равновероятны. Найти усредненные значения произведений1nα nβ =4πZπ0sin θdθZ2πdϕ nα nβи0где nα - проекция вектора ~n на ось α.1nα nβ nµ nν =4πZπ0sin θdθZ2π0dϕ nα nβ nµ nν ,Электродинамика полей и зарядов в вакууме53 СЕМИНАР: Точные решения задач электростатикиРешение уравнения Пуассона методом разложения в интеграл Фурье. Вычислениепотенциала при заданной плотности заряда в статическом сферически симметричном случае.3.1.
Решить уравнение ∆ϕ = −4π̺(~r) разложением в интеграл Фурье.3.2. Найти распределение заряда и полный заряд системы, потенциал которой равен³ r´Aϕ(r) = · exp − .rb3.3. Найти потенциал ϕ(r) сферически симметрического распределениязарядов ρ(r).3.4*. В атоме водорода в основном состоянии заряд электрона ("электронное облако") распределен с плотностью³ 2r ´e̺(r) = −.· exp −π · a3aНайти потенциал ϕ(r) электрического поля атома (ядро + электронная оболочка), энергию взаимодействия электронного облака с ядром и энергиюэлектронного облака. Ядро считать точечным зарядом, расположенным в начале координат.4 СЕМИНАР: Мультипольное приближениеВычисление потенциала электростатического поля для систем точечных и распределенныхзарядов в мультипольном приближении с точностью до квадрупольного приближения,включительно.4.1.
Найти потенциал системы зарядов, изображенный на рисунке, набольших расстояниях r ≫ a ∼ b от системы с точностью до квадрупольногоприближения, включительно.rY+qb-3q-a+2q0aX6Электродинамика полей и зарядов в вакууме4.2. То же для системыY+q-2qaa-2q+3q0bX4.3. Найти потенциал плоского диска радиуса R, заряженного с поверхностной плотностью σS = q sin(ϕ)/R2 , на больших расстояниях r ≫ R с точностью до квадрупольного приближения, включительно.4.4. Найти потенциал системы зарядов, изображенной на рисунке, набольших расстояниях r ≫ a от системы с точностью до квадрупольного приближения, включительно.+q-2q-a0+qaZ4.5.
Два коаксиальных равномерно заряженных кольца из тонкой проволоки расположены в одной плоскости. Их радиусы a и b, заряды +q и −q.Найти скалярный потенциал ϕ на больших расстояниях r ≫ b > a от такой системы зарядов с точностью до квадрупольного приближения, включительно.4.6*.Поверхностьатомного ¢ ядра описывается выражением¡R(Θ) = R0 · 1 + λ · P2 (cos Θ) , где P2 (x) = (3x2 − 1)/2 – полиномЛежандра второго порядка. Параметр деформации λ мал.
Вычислить сточностью до линейных по λ членов квадрупольный момент ядра.4.7. Скалярный потенциал, создаваемый некоторым распределением электрического заряда, на пространственной бесконечности убывает как 1/r2 .Означает ли это, что электрический дипольный момент данного распределения зарядов отличен от нуля?5 СЕМИНАР: Взаимодействие систем зарядовВычисление энергии взаимодействия систем зарядов, силы и момента сил, действующих насистемы. Задачи на применение магнитного дипольного приближения.5.1. Найти энергию взаимодействия диполя p~ и точечного заряда q . Найтисилу и момент сил, действующие на диполь.Электродинамика полей и зарядов в вакууме75.2.
Найти энергию и силу взаимодействия двух точечных диполей p~1 и p~2 ,расположенных на большом расстоянии друг от друга.5.2a*. Два диполя с дипольными моментами p~1 и p~2 находятся на большом,по сравнению с их размерами, расстоянии r друг от друга. Векторы p~1 , p~2 и ~rвзаимно перпендикулярны.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
