В.В. Рыжиков - Программа экзамена по функциональному анализу (5-6 семестры) (1128679)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Программа экзамена по функциональному анализуЛектор — В. В. РыжиковV–VI семестр, 2004–2005 г.V семестр1. Полные метрические пространства. Теорема Бэра о вложенных шарах. Теорема о категориях.2. Существование непрерывной функции на отрезке [0, 1], не имеющей конечной производной ни в однойточке отрезка.3. Теорема о пополнении метрического пространства (без доказательства).4. Теорема о неподвижной точке сжимающего отображения.5.

Примеры банаховых пространств. Полнота пространств C[0, 1] и ℓ1 .6. Эквивалентность непрерывности и ограниченности операторов (функционалов) в нормированных пространствах. Понятие базиса Гамеля и доказательство его существования. Доказательство существованиянеограниченных операторов в бесконечномерном банаховом пространстве.7. Теорема Банаха – Штейнгауза о равномерной ограниченности (принцип равномерной ограниченности).8.

Геометрический смысл линейного функционала. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Полнота сопряжённого пространства.9. Общий вид непрерывного линейного функционала в пространстве L1 [0, 1]. Несепарабельность пространства L∗∞ [0, 1].10. Теорема Хана – Банаха о продолжении линейного функционала (вещественный и комплексный вариант) иследствия из неё.11. Ограниченность слабо (∗-слабо) сходящейся последовательности в банаховом пространстве. Изометрическое вложение L в L∗∗ .12. Слабая-∗ компактность единичного шара в пространстве, сопряжённом к сепарабельному пространству.13. Теорема Банаха об ограниченности обратного оператора.

Достаточное условие необратимости оператора:kxi k = 1, kAxi k → 0.14. Устойчивость обратимости ограниченного оператора.15. Свойства спектра ограниченного оператора в банаховом пространстве (ограниченность, замкнутость, непустота).16. Спектр оператора умножения на ограниченную измеримую функцию (в Lp [0, 1]).17. Свойства компактных операторов.18. Компактность интегрального оператора в L1 [0, 1] с непрерывным ядром.19.

Некомпактные операторы. Лемма о почти перпендикуляре.20. Эквивалентность компактности операторов А, А∗ , А∗ А.21. Теорема Фредгольма.22. Ограниченность сопряжённого оператора. Существование оператора, сопряжённого ограниченному, равенство их норм.23. Теорема Гильберта – Шмидта.1VI семестр1. Спектральный радиус. Формула вычисления. Теорема об отображении спектра для полиномов.2. Следствие из теоремы Фредгольма о спектре компактного оператора. Теорема Ломоносова об инвариантном подпространстве для компактного оператора в бесконечномерном пространстве.3.

Унитарные и самосопряжённые операторы. Их спектр.4. Разложение сепарабельного гильбертова пространства в сумму ортогональных циклических пространствдля унитарного оператора.5. Спектральная теорема для унитарного оператора с циклическим вектором. Представление унитарногооператора в виде оператора умножения V f (z) = zf (z) в L2 (T, σ) и V f (z, n) = zf (z, n) в L2 (T × N, σ).6. Преобразование Кэли. Эквивалентность самосопряжённого оператора некоторому оператору умноженияна вещественную функцию.7. Теорема об отображении спектра для аналитической функции (в односвязной области).8. Классическое преобразование Фурье, его свойства.9. Инъективность преобразования Фурье.10. Преобразование Фурье в пространстве Шварца S.

Непрерывность преобразования Фурье в S.11. Преобразование Фурье в L2 (R). Теорема Планшереля.12. Полнота системы Эрмита в L2 (R).13. Теорема Пэли – Винера.14. Формула суммирования Пуассона.15. Пространства DN , D(R), S и непрерывные функционалы над ними.16. Общий вид непрерывного функционала на DN .17.

Решение уравнений Λ′ = 0 и Λ′ = F в D′ (R).18. Общий вид непрерывного функционала, носитель которого есть точка.19. Общий вид непрерывного функционала на S.20. Общий вид непрерывного функционала из D′ (R) с компактным носителем.Замечание. Вопросы 8 и 10 не очень полно освещались в лекциях. В случае недостатка материала лекцийпредлагается использовать книгу Колмогорова – Фомина.Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)