Е.А. Попов, А.Д. Поспелов, Д.В. Ховратович - Задачи по функциональному анализу (1128566), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

), где единица стоит на k-ом месте, а все остальные — нули. Следовательно, спектром оператора будут числавида λk = k1 , k ∈ N.51. []3] В пространстве C[0, 1] задан оператор A:(a) Ax(t) = t · x(t);Rt(b) Ax(t) = x(τ )dτ ;0(c) Ax(t) = x(0) + tx(1).Будет ли оператор A компактным?Решение. Критерием компактности оператора является тот факт, что любоеограниченное множество он переводит в равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное.

В дальнейшем все действия с функциями происходят наотрезке [0, 1].(a) Множество M = {x(t) : |x(t) 6 1|} ограничено. Очевидно, множество Mсодержит функции вида tn . Они содержатся в A(M ), а так как, согласнозадаче 40, образуют не равностепенно непрерывное множество, A(M ) неявляется компактным.(b) Возьмем произвольное ограниченное множество M ⊂ C[0, 1]. Существуетm : ∀x ∈ M ⇒ |x(t)| 6 m.

Но тогдаZt|Ax(t)| 6|x(t)| dt 6 mt 6 1,028следовательно, {Ax} при x ∈ M — равномерно ограниченное множество.Докажем его равностепенную непрерывность: зафиксируем для этого произвольное ε > 0. Тогда при t, t + ∆ ∈ [0, 1] t+∆t+∆ZZx(τ )dτ 6|x(τ )| dτ 6 m∆.|Ax(t) − Ax(t + ∆)| = ttВзяв ∆(ε) = mε , получим равностепенную непрерывность образа. Следовательно, A переводит любое ограниченное множество в предкомпактное, ион компактен.(c) Возьмем произвольное ограниченное множество M ⊂ C[0, 1]. Существуетm : ∀x ∈ M ⇒ |x(t)| 6 m. Но тогда|Ax(t)| 6 |x(0)| + t |x(1)| 6 mt + m 6 2m,то есть AM — равномерно ограниченное. Фиксируем произвольное ε > 0.Тогда ∀ x ∈ M, ∀ δ : t, t + δ ∈ [0, 1]|Ax(t + δ) − Ax(t)| = |(t + δ)x(1) − tx(1)| = |x(1)| δ 6 mδ.Взяв δ = mε , получим определение равностепенной непрерывности для всехx ∈ M .

Из этого следует, что любое ограниченное множество переводитсяоператором A в предкомпактное, следовательно, A — компактен.52. []3] В пространстве `2 задан оператор A: x xxn12A(x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) = c, , , . . . ,, ... .1 2nДоказать, что оператор A компактен и найти его спектр.Решение. Рассмотрим произвольное ограниченное множество в `2 . Оно содержится в некотором шаре радиуса a, который переводится этим оператором впараллелепипед A : x1 = c, |x2 | 6 a, |x3 | 6 a2 , .

. . , |xn | 6 a n−1. . . для любойmпоследовательности (x1 , . . . , xn , . . . ) из шара. Известно, что полученное множество вполне ограниченно, а, следовательно, и предкомпактно. Следовательно,A компактен.29Найдем спектр A. Система (1) вданном случае примет видx1 = λc,x2 = λx1 ,λx2,x3 =2...........λxn−1,xn =n−1...........Возможны два случая:(a) c = 0.

Тогда получаем, что x1 = λ · 0 = 0, x2 = λ · x1 = 0, . . ., то естьрешением будет лишь последовательность нулей.(b) c 6= 0. Тогда ∀λ 6= 0 существуют ненулевые решения уравнения (1):λ3 λ4λn2c, . . . .λc, λ c, c, c, . . . ,23n−1Легко проверить, что это решения.Таким образом, при c = 0 спектр — ∅, а при c 6= 0 спектр — R \ {0}.53. []3] Привести примеры линейных, но не непрерывных функционалов.Решение. Рассмотрим пространство L2 [0, 1].

Определим функционал f (x(t)) =x(1). Очевидно, он линейный. Тем не менее, он не является непрерывным, таккак единичному шару в L2 [0, 1] принадлежит последовательность функций(√n, t ∈ 1 − n1 , 1 ,xn (t) =0,иначе.Очевидно,Z1а функционал f (xn ) =не непрерывен.√x2n (t)dt 6 1 ∀n,0n не ограничен на единичном шаре, следовательно, он30.

Характеристики

Список файлов книги