Официальная шпаргалка для экзамена (1128339)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

При доказательстве принципа экстремума для полосы:ПАМЯТКА — 2011к экзамену по курсу«Уравнения математической физики»v(x, t) =Линейное уравнение 2-го порядка в Rn :nXi,j=1(D − d) + M − u(x, t),d=infu(x, t),R×[0,T ]R×[0,T ]∂u∂ u++ cu = f (x1 , . . . , xn ).bi∂xi ∂xj∂xii=1aijD = sup u(x, t),nX22a2 tx2+l2l2M = sup u(x, 0).RФормулы векторного анализа:ZZ(A(y), νy ) dsy = div A(x) dx,Z∂udsy =∂νy∂udsy =v∂νyZΩ∂Ωuv(x) = u(x) +Z∆u(x) dx,(Гаусс)Ω∂ΩZ (GO)Ω∂ΩZВ принципе экстремума для гармонических функций:∂u∂v−v∂νy∂νyZ Xn∂u ∂vv∆u dx +dx,∂xi ∂xii=1(Грин 1)ΩФундаментальное решение уравнения Лапласа:1ln |x|,2πE(x) =1 −,ωn (n − 2) |x|n−2(u∆v − v∆u) dx.

(Грин 2)dsy =Фундаментальная формула Грина:ZE(x − y)∆u(y) dy +u(x) =ΩZ Простейшая одномерная задача теплопроводности с классическими краевыми условиями:u = a2 uxx ,0 < x < l, t > 0, tΓ0 (u) = 0, Γ1 (u) = 0,u(x, 0) = ϕ(x).+∂E(x − y)∂u(y)u(y) − E(x − y)∂νy∂νy(x, t),1F (t) = 22aТеорема о среднем для гармонических функций:Zlv 2 (x, t) dx.u(y) dsy .Решение задачи Дирихле для ур-я Пуассона:Zu(x) =Принцип экстремума для уравнения теплопроводности впрямоугольнике — вспомогательная функция:A−M(x − x0 )2 ,2l2Z1ωn Rn−1|y−x|=R0v(x, t) = u(x, t) +dsy(при выводе использовать 2-ю формулу Грина).При доказательстве теоремы единственности:(2)∂Ωu(x) =(x, t) − un > 3,2π n/2n π n/2=.Γ(n/2)(n/2)!где ωn =ΩОбщая смешанная задача для ур-я теплопроводности:ut = a2 ∆u, u = u(x, t), x ∈ Ω, t > 0, ∂u αu + β= µ ,∂νy ∂Ω∂Ω u(x, 0) = ϕ(x).v(x, t) = un = 2,Z∂Ω(1)D−M|x − a|2 .8R2ZG(x, y)f (y) dy +Ω∂G(x, y)ϕ(y) dsy .∂νy∂ΩФормула Пуассона для шара:A > M,l ≡ l2 − l1 .Интеграл типа Эйлера–Пуассона:u(x) =R2 − |x|2ωn RZϕ(y) dsy,|y − x|n|y|=R+∞rZπ − β2−αx2ecos βx dx =e 4α .α−∞Формула Пуассона в одномерной теплопроводности:u(x, t) = √При ее выводе:14a2 πtU (ξ, t) =+∞Z(x−s)2ϕ(s) e− 4a2 t ds.−∞+∞Zu(x, t) e−iξx dx.−∞|x|Ry−x ,R|x|при ее выводе G(x, y) = E(x − y) − E∂G∂G рассматривается, затем.∂yk∂νy |y|=RНеравенство Харнака:R n−2 (R + |x|)R n−2 (R − |x|)u(0)6u(x)6u(0)(R + |x|)n−1(R − |x|)n−1(доказательство через нер-во 4-ка и ф-лу Пуассона).Оператор ЛапласаПолиномы Лежандраа) сферически-симметричный случай в Rn1 dn−1 du(r)∆u = n−1r;rdrdrPn (t) =1 dn 2(t − 1)n ,2n n! dtnn = 0, 1, 2, .

. . .Явная запись нескольких первых полиномов:б) в полярных координатах на плоскости1 ∂∂u1 ∂2u∆u =;r+ 2r ∂r∂rr ∂ϕ2P0 (t) = 1,в) в цилиндрических координатах в пространстве∂2u1 ∂∂u1 ∂2u+;∆u =r+ 22r ∂r∂rr ∂ϕ∂z 2г) в сферических координатах в пространстве1 ∂1∂∂u1∂2u∂u∆u = 2.r2+ 2sin θ+ 2 2r ∂r∂rr sin θ ∂θ∂θr sin θ ∂ϕ2Цилиндрические функцииУравнение Бесселя индекса ν ∈ R :x2 w00 (x) + x w0 (x) + (x2 − ν 2 )w(x) = 0.Решение:w(x) = C1 Jν (x) + C2 Nν (x).P3 (t) =P1 (t) = t,1(5t3 − 3t),2P2 (t) =P4 (t) =1(3t2 − 1),21(35t4 − 30t2 + 3).8Обратные выражения:1 = P0 (t),t3 =t2 =t = P1 (t),1(3P1 (t)+2P3 (t)),5t4 =1(P0 (t) + 2P2 (t)),31(7P0 (t)+20P2 (t)+8P4 (t)).35Спектральная задача для уравнения Лежандра: d (1 − t2 ) dw(t) + λw(t) = 0,|t| < 1,dtdt|w(±1)| < ∞.Спектр: λn = n(n + 1), wn (t) = Pn (t), n = 0, 1, 2, .

. . .При ν > 0 имеемlim |Jν (x)| < ∞,lim |Nν (x)| = ∞.x→0+x→0+Запись функции Бесселя:Jν (x) =∞Xk=0(−1)k x 2k+ν.k! (k + ν)! 2−10,n 6= k,2,2n + 1n = k.Рекуррентные соотношения:Запись функции Неймана:Jν (x) cos πν − J−ν (x),sin πνNν (x) =Свойство ортогональности:Z1Pn (t)Pk (t) dt =ν∈/ Z,(n + 1)Pn+1 (t) − (2n + 1) t Pn (t) + nPn−1 (t) = 0,100Pn+1(t) − Pn−1(t)2n + 1для n = 1, 2, 3, . . . .Pn (t) =Nn (x) =1π∂∂.(Jν (x)) − (−1)n (J−ν (x)) ∂ν∂νν=nРекуррентные соотношения:а)Запись решенийd ν(x Jν (x)) = xν Jν−1 (x),dx1) Формулаd −ν(x Jν (x)) = −x−ν Jν+1 (x),dxνв) Jν0 (x) = Jν−1 (x) − Jν (x),xνг) Jν0 (x) = −Jν+1 (x) + Jν (x),xu(x, t) = f (x − at) + g(x + at)б)д) Jν−1 (x) − Jν+1 (x) = 2Jν0 (x),2νе) Jν−1 (x) + Jν+1 (x) =Jν (x).xСвойство ортогональности и нормы:ZRrJnγ γ jr Jnr dr = 0,RRkγk 6= γj ,выражает общее решение одномерного уравнения колебаний utt = a2 uxx .2) Формулаu(r, ϕ) = A0 +∞Xk=1 γ 2kr ≡JnRrJn2γkRr dr =2R(Jn+1 (γk ))2 .20Здесь γk , γj – положительные корни функции Jn (x).

r kRдает общий вид гармонической функции в круге r < Rв полярных координатах на плоскости.3) Формула0ZR(Ak cos kϕ + Bk sin kϕ)u(r, θ) =∞Xk=0Ck Pk (cos θ) r kRдает общий вид гармонической функции в шаре r < Rв случае зависимости от радиуса r и сферического угла θ..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)