Шпоргалки собранные из учебника (1128264)
Текст из файла
1. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ2. ПРИНЦИП МАКСИМУМАТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ№3ut = a uxx + f (x, t), x > 0, 0 < t 6 T ;u(0, t) = µ(t),0 6 t 6 T;u(x, 0) = φ(x),x>04.СУЩЕСТВОВАНИЕРЕШЕНИЯ 1ОЙЗадача Коши.u + f (x, t), −∞ < x < +∞, 0 < t 6 T ;КРАЕВОЙ u(x, u0) == aφ(x),−∞ < x < +∞.t2X(x)Так как справа и слева стоят функции, зависящие от разных переменных, очевидно, что обе они равнынекоторой константе, которую мы обозначим −λ:X 00 (x)T 0 (t)== −λ.a2 T (t)X(x)xxОтсюда получаем два уравнения:2.3Существование решения первой краевой задачи. Метод разделения переменныхОстановимся более детально на первой краевой задаче:ut = a2 uxx + f (x, t),u(0, t) = µ1 (t),[2.1]u(l, t) = µ2 (t),u(x, 0) = φ(x),X 00 (x) + λX(x) = 0;(2.3)T 0 (t) + a2 λ T (t) = 0.(2.4)Записав краевые условия для нашей функции v(x, t):v(0, t) = 0;, t ∈ [0; T ],v(l, t) = 0.0 < x < l, 0 < t 6 T ;0 6 t 6 T;0 6 t 6 T;0 6 x 6 l.получим, что, ввиду ее представления в виде произведения,X(0) = 0;– рассмотрим существование и единственность решения, устойчивость, применение функции Грина.
ЧтоX(l) = 0.же такое решение первой краевой задачи? Очевидно, в случае однородного уравнения теплопроводностией удовлетворяет множество разрывных функций ue(x, t) вродеСоединив (2.3) c полученной системой, получим задачу Штурма-Лиувилля:ue(x, t) = const, (x, t) ∈ QT = {(x, t) : (0; l) × (0; T]}; 00 X (x) + λX(x) = 0;ue(0, t) = µ1 (t); 0 6 t 6 T ;X(0) = 0;ue(l, t) = µ2 (t); 0 6 t 6 T ;X(l) = 0.ue(x, 0) = φ(x); 0 6 x 6 l.Поэтому потребуем от функции непрерывность — этим требованием, как мы увидим позже, отсекаютсяпочти все неудобные для исследования функции.Определение.
Функция u(x, t) называется решением первой краевой задачи для уравнения5теплопроводности [2.1], если она удовлетворяет следующим трем условиям:1. u ∈ C[ QT ];2. ut , uxx ∈ C[QT ];Требуется найти все λ, при которых существуют ненулевые решения этой системы. Из курса "Дифференциальные уравнения" известно, что:6 πn 2 λn =, n ∈ N — собственные значения.l Xn (x) = c1 sin( πn x), n ∈ N — соответствующие собственные функции (c1 — некоторые константы).nnl3.
u(x, t) удовлетворяет условиям [2.1].Найдем решение для первойнием теплопроводности:[2.2]Подставляя λn в (2.4), получим уравнения видакраевой задачи с нулевыми краевыми условиями с однородным уравне-Tn0 (t) + a2 λn Tn (t) = 0.(1)ut = a2 uxx ,(2) u(0, t) = 0,(3) u(l, t) = 0,(4) u(x, 0) = φ(x),0 < x < l, 0 < t 6 T ;0 6 t 6 T;0 6 t 6 T;0 6 x 6 l.Искать решение мы будем следующим образом: сначала с помощью преобразований исходного уравнения (важно отметить, что они не всегда будут строгими — это пока не требуется) построим некоторуюфункцию u(x, t), а потом докажем, что при определенных ограничениях на начальные условия даннаяфункция будет решением первой краевой задачи.Определим новую функцию:v(x, t) = X(x)T (t).Решением, очевидно, будет Tn = c2n exp{−a2Разделим обе части уравнения на a2 X(x)T (t):X 00 (x)T 0 (t).=2X(x)a T (t)t}.
Объединив Xn (x) и Tn (t), получим: πn 2πnx) exp{−a2t}.llЗаметим, что все такие функции являются решениями уравнения теплопроводности (1) и удовлетворяют краевым условиям (2),(3).Определим функцию u(x, t) как сумму ряда:u(x, t) =∞Xvn (x, t).n=1Заметим, что она удовлетворяет краевым условиям, а в случае равномерной сходимости ряда из производных — и уравнению теплопроводности. Подберем константы так, чтобы выполнялось начальноеусловие:∞∞XXπnφ(x) = u(x, 0) =vn (x, 0) =cn sin(n=1Так как справа и слева стоят функции, зависящие от разных переменных, очевидно, что обе они равнынекоторой константе, которую мы обозначим −λ:T 0 (t)lvn (x, t) = Xn (x)Tn (t) = cn sin(Подставив нашу функцию в уравнение теплопроводности, получим:X(x)T 0 (t) = a2 X 00 (x)T (t).
πn 2n=1lnn=1πm!∞∞∞∞x) (m — целое), сделаем замену переменной (x → s) и проинтегрируемДомножим равенство на sin(XXl X1 ea2 + b2l X 1l2eпо s:|φn | =|φn | 6 {ab 6}6+φπ n=1 n2π n=1 n2 n=1 nZlZln=1∞Pπmπnπms) ds =cn sin(s) sin( s) ds.φ(s) sin(lllПервый ряд, как известно, сходится, сходимость второго мы только что показали. Отсюда получаемn=100Zl(sin(πmπnx) sin(x) dx =ll0Zlφ(s) sin(0, n 6= m;=⇒l, n = m.2lπms) ds = cm =⇒l20cm =2lZlφ(s) sin(πms) ds.l0Окончательно получаем формулу для u(x, t): lZ∞ πn 2Xπnπn2φ(s) sin( s) ds sin( x) exp{−a2t}.u(x, t) =lllln=1сходимость ряда из коэффициентов Фурье∞P|φn | и, как было показано ранее, непрерывность функцииn=1u(x, t).(2) Теперь покажем существование и непрерывность производных ut , uxx в QT . Покажем, к примеру,существование uxx для всех 0 < x < l, t0 < t < T , где t0 — произвольное положительное число.
Из этого,очевидно, следует существование uxx в QT . Продифференцировав формально ряд (2.5), получим:r ∞X2πn πnπnuxx (x, t) =φn−( )2 sin( x) exp{−a2 ( )2 t}.lllln=18(2.5)0Теперь докажем, что эта формула корректна.πn 2) t} дает нам равномерную сходимость мажорантногоl∞Pряда на t0 < t < T . Из этого следует равномерная сходимость ряда(vn )xx (x, t) и существование uxx (x, t)Легко заметить, что множитель exp{−a2 (n=1Теорема 2.1 (существования).
Пусть функция φ(x) такова, что φ(x) ∈ C 1 [0; l] и φ(0) = φ(l) = 0. Тогдаформула (2.5) определяет класс решений задачи [2.2].Доказательство. (1) Докажем сначала непрерывностьполученной функции u(x, t) в QT . Легко видеть,7чтоr ∞∞X2X|u(x, t)| 6|vn (x, t)| 6|φn |,l n=1n=1где φn =r Zl∞P2πnφ(s) sin( s) ds.
Понятно, что если мы докажем сходимость ряда|φn |, то получимlln=10(по признаку Вейерштрасса) равномерную сходимость ряда∞P|vn (x, t)|. Так как все функции vn (x, t)n=1непрерывны, то и функция u(x, t) будет непрерывна, так как она определяется равномерно сходящимсярядом из непрерывных функций.Итак, преобразуем φn :r Zl2πnφ(s) sin( s) ds = {интегрирование по частям} =lll r0l r Z lrs)πn2 l2l s) dsπn= +l s) +=−φ(s) cos(φ0 (s) l cos( s) ds =l πnl0 lπnlφn==rZlπn21 l 0φ(s)cos( s) ds.n 1πll=000Zlrπn2cos( s) ds. Воспользуемся неравенством Бесселя для ортонормированной сиll0()∞rπn2cos( s):стемы функцийllПусть φen =φ0 (s)n=1∞Xn=1φe2n =2rZlZl φ0 (s) 2 cos( πn s) ds 6 (φ0 (s))2 ds.lln=1∞X00Теперь мы можем преобразовать нужный нам ряд∞Pn=1|φn |:в QT .
Непрерывность uxx (x, t) следует из непрерывности слагаемых ряда. Существование и непрерывностьut доказывается аналогично.(3) То, что функция u(x, t) удовлетворяет всем условиям [2.2], было показано во время ее построения.Теорема доказана.№5№6№7№8№9 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСАГАРМОНИЧЕСКИЕ Ф-ИИ№10№11№12???№13№14№15№16 Внутренние краевые для Лапласана плоскости№17№18№19,20№21,22(3.3)№23№24(д-во для 3-хмерного случая)№25,26№27№28№30№31№32№29№33.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
