Вордовские лекции (1127862), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Т.о. вследствие того, что и , где s<k-1, , и в силу неравенства треугольника имеем что:

Ч то и требовалось доказать.

Построим мажорирующую Задачу 2, для которой  аналитическое решение.

Утв. Рассмотрим функцию вида , где  =const>0, N0, M>0, тогда эта функция мажорирует  аналитическую функцию в нуле при подходящем выборе ,N и M.

Док-во: пусть g(y) –заданная функция,

, нужно доказать, что |g_|< коэффициентов ряда тейлора введенной функции.

=>

раскроем скобки и получим ряд тейлора в нуле:

, а необходимо доказать : , что можно сделать.

Утв. Достаточно доказать что  аналитическое решение, когда

Док-во: Рассмотрим функцию в окрестности диска :

Если рассмотрим на диске: =>

Если продифференцируем по y_n и возьмем на  то

=> начальные условия совпадают с v₀ и v₁.

Возьмем новую неизвестную функцию вместо v:

удовлетворяет задаче:

Подставим v(y) в (!) => получим задачу для с теми же коэффициентами, но другими свободными членами и н.у.=0

Пусть мы ее умеем решать, тогда найдем , а по ней найдем и

Рассмотрим теперь задачу с нулевыми н.у.

Все функции можно мажорировать одной мажорантой.

Получим задачу

(2) краевые условия-

и имеют неотрицательные производные в нуле.

Такая задача мажорирует исходную (при достаточно большом N и достаточно малом )

Утв.: Задача (2) имеет аналитическое решение

Док-во: Введем , и попробуем найти решение уравнения (2) в виде , получаем что Y()- функция от одной переменой, так как все коэффициенты, кроме , являются постоянными. , тогда подставив Y() в (2), получим О.Д.У. для Y() ( производная равна производной от Y()*const)

, где , , – О.Д.У. с переменными коэффициентами. Особенность в точке a.

Выберем достаточно большое N – чтобы a≈1

Решение есть в окрестности нуля по теореме о существовании и единственности. Теперь нужно показать, что оно будет аналитическим и все производные в нуле будут >0.

В ряде тейлора первые два коэффициента =0, а вторая производная выражается через первую и Y и является положительной, третью производную получаем дифференцированием и т.д.

Остается доказать что ряд сходится.

Задача: доказать что ряд сходится.

Теорема Леви

– Рассмотрим 2 случая:

1) - аналитическая в окрестности нуля.

Упр.: Найти поверхность, проходящую через ноль и являющуюся нехарактеристической.

=> Можно применять Т. Ковалевской => в окрестности (0,0,0) будет аналитическое решение.

2) Если - гладкая, но не аналитическая в нуле, то задача не имеет общего решения в окрестности нуля не при каких н.у.

Пример Хёрмандера:

Пример Адамара:

Решение может не зависеть от н.у.

( )

у этого уравнения нет характеристик, т.к. для нормального вектора характеристики должно быть справедливо равенство => на OX можно задавать н.у.:

n>0

=> ! Аналитическое решение.

Утв.: -решение с заданными н.у.

При увеличении n ( ) н.у. (все) (равномерно)

На множестве н.у. введем равномерную норму

=> при

а решение не стремится к 0

в  полоске (πδ): , если взять норму =>

Если н.у. получаются из эксперимента, то они получаются с какой-то погрешностью и могут привести к большим изменениям в решении.

Корректность краевой задачи (задачи Коши, задачи мат. физики)

Опр.: Введем два пространства (нормированных)

-пространство начальных данных – (прямое произведение), а и

нормированные пространства.(норма в прямом произведении – есть сумма норм и )

- пространство решений.

Тога задача Коши называется корректной в паре , если:

1.  н.у.   решение задачи в

2. это решение единственно

3. решение непрерывно зависит от н.у.

Пример Ковалевской

Рассмотрим уравнение , его характеристиками будут все параллельные линии, нормаль к которым будут вектора , где => на этих прямых нельзя задавать н.у. , удовлетворяющие теореме Ковалевской. Переобозначив получим -уравнение теплопроводности.u(t,x)- температура в т. x в момент времени t. - начальная температура в точке x. Но условие этой задачи можно задавать на характеристической поверхности, при этом задано одно уравнение а не два.

Рассмотрим

, ищем решение –

все производные по можно получить из , производные по - из исходного уравнения:

- то есть можно построить ряд Тейлора этой функции.

Но этот ряд не будет сходиться.

Упр.: Показать, что и что M s,k :

=> ряд расходится, то есть задача не будет иметь аналитического закона.

(но в силу того, что эта задача выведена из физического закона, она будет иметь гладкое решение.)

Решение задачи можно явно построить:

, в общем случае : , пусть

введем функцию:

,где t>0,

Замечания:

1. U(x,t) имеет особенность только в точке (0,0), т.к. в точках (0,х) быстрее, чем

2.

3. в одномерном случае.

Характеристики

Список файлов лекций