Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Ур. Ч. П.

Лекция №1

С.О.Д.У.

П усть : , рассмотрим фазовое пространство. Система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

(*)

Необходимо найти вектор-функцию от времени , удовлетворяющую начальным условиям, такую, что достаточно гладкая.

Возьмем в фазовом пространстве точку

Теорема существования и единственности Решения системы О.Д.У.

 >0 и   >0 т.ч. если возьмем -окрестность нуля по времени и -окрестность и в этой окрестности возьмем начальную точку тогда на всем интервале времени (-, ) ! решение задачи (*) и это решение непрерывно зависит от

= разность решений при близких н.у. решения близки во введенной норме.

Ур. Ч. П.

Дана функция (*,*,…,*,*) – известная u(x)= u(x₁,…,x_n)

(всевозможные смешанные произведения)

Опр.: Это соотношение и называется Ур. Ч. П.

Определим понятие н.у. для Ур. Ч. П.

Введем в рассмотрение начальную поверхность S в пространстве n измерений, на ней будем задавать н.у. - Начальных условий должно быть столько, каков порядок уравнения. Пусть в каждой точке поверхности S задан вектор, т.о. получим векторное поле причем оно не должно быть касательным к S => можно потребовать, что бы функция была задана на поверхности, и существовала бы производная функции по векторному полю, тогда получаем:

Н.у.:

Ограничимся рассмотрением уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка

где a_ij(x) –непрерывные функции в области  – a_ij(x)C();

u- неизвестная функция от n переменных (предполагается что uC²);

для нее должны быть выполнены также н.у. (условия Коши) (**)

! размерность н.у. на 1 меньше размерности уравнения.

Рассмотрим n-мерное пространство, и в этом пространстве область Q.

Поверхность S пусть задается так:

, где и

тогда поверхность S принадлежит классу C¹.Возьмем точку x₀ на S,

=>  производная, 0, пусть

=> по Теореме о неявной функции поверхность S можно задать как график функции: x_n=f(x₁,…,x_n-1)

Распрямляющее преобразование

Пусть в пространстве (x₁,…,x_n) задана поверхность S C¹ и задано пространство (y₁,…,y_n), рассмотрим преобразование: , где –фиксированная точка S

Утв. Это преобразование распрямляет поверхность S т.е. переводит S в диск, лежащий на гиперплоскости y_n=0

! если точка лежит на S то F(x)=0

Док-во:

Для того, что бы проверить дифференцируемость и обратимость отображения, необходимо вычислить якобиан отображения:

_Если => отображение обратимо

- по условию.

Возьмем уравнение, н.у. и применим распрямляющее отображение, пусть новая неизвестная функция это v(x(y))=u(x), найдем уравнение, которое соответствует первоначальное уравнению, по теореме о дифференцировании сложной функции

(1)

(2)

(1) и (2) подставим в уравнение Lu(x)=f(x) => получим опять уравнение второго порядка, но с другими коэффициентами от у:

.

При замене краевых условий:

2. , где  -новое векторное поле, .

Утв. Поле  тоже не будет касательным к (диску) поскольку l не является касательным к S.

Док-во:

, т.к. , т.к. F- нормаль к поверхности

Если бы , то l было бы касательным полем => получаем противоречие.

Таким образом получаем уравнение Lv(y)=f₁(y) с н.у. на диске 

(***) где

Лекция №2

Утв. Без ограничения общности можно перейти от к

Док-во:

Причем - известно, т.к. задана функция на самом диске

=> заданы касательные производные(мы можем дифференцировать вдоль диска)

=> можем найти =>известно

=> дальше будем рассматривать производную по нормали

Выпишем уравнение в следующем виде:

=> теперь мы решаем уравнение относительно одной производной.

Утв. Пусть в какой-либо точке на диске  , тогда задача не может иметь решение при произвольных н.у.

Док-во:

В правой части стоят производные по касательному и нормальному направлениям, которые можно выразить через v₀ и v₁ из (***)

=> получим выражение через v₀ и v₁ => получим соотношение между н.у., которые должны быть произвольными.

y₁,…,y_n – переменные касательной плоскости y_n –переменная нормали

, где

Пусть => получим соотношение между двумя н.у.

=> мы не можем задать н.у. произвольно

=> поверхность S с н.у. должна быть такой, что

S задается уравнением F(x)=0

F - нормаль к этой поверхности, таким образом получаем условие в матричном виде,

и координатном:

! но если даже ,то все равно может не существовать решения, т.е. это условие является только лишь необходимым.

Опр. Поверхность класса C¹ называется нехарактеристической, если

Опр. Поверхность класса C¹ называется характеристической, если

Если S – не характеристическая поверхность, поделим уравнение на старший коэффициент, и тогда уравнение можно будет записать в виде:

Если поверхность характеристическая, то соотношения между н.у. выполняются на всем диске.

П ример: Найдем характеристики уравнения

=> =>

=> таким образом получаем два семейства характеристик, которые пересекаются => F=const  .

Напишем распрямляющее преобразование.

=> S: x₁=x₂ перейдет в y₂=0,

Зададим 2 условия:

на  => ; т.к. то на  перейдем к координатам x₁ x₂ => получим соотношение в исходных координатах

! Будем рассматривать нехарактеристические поверхности S.

Аналитические функции.

Дана функция f(x) с производными  порядка на интервале ( , ) возьмем точку x₀ этого интервала, разложим f(x) в ряд Тейлора в т. x₀

(1)

Опр. Функция вещественно-аналитическая в т. x₀, если ряд (1) сходится в некоторой окрестности этой точки к функции f(x).

Если f(x) аналитическая в  точке интервала, то она вещественно-аналитическая

Пример.

-Эта функция не является аналитической, т.к. в т. 0 разложение Тейлора представляет собой ряд из нулей, но в  окрестности этой точки функция не является тождественно нулевой.

Дана область в Rⁿ  Q выделим вектор x₀Q //

, возьмем функцию f(x), напишем ряд:

, - мультииндекс:

||=₁+₂+…+_n

Утв. Степенной ряд - сходится с ненулевым радиусом сходимости <=> .

Утв. Возмем степенной ряд ,где -мультииндекс тогда ряд сходится на ненулевой окрестности x <=> .

Теорема.(Ковалевской)

Дано: Пространство Rⁿ и в нем нехарактеристическая поверхность S, заданная уравнением: F(x₁,…, x_n)=0, где x принадлежит области Q, а F(x) – вещественно-аналитическая функция.

Также заданы a_ij(x),a_i(x),a(x),f(x) - вещественно-аналитические функции, задающие уравнение Lu=f(x) в области Q. Н.у. задается функциями u₀ и u_1, вещественно-аналитическими в какой-либо окрестности S:

, где l-некасательное векторное поле, заданное вещественно-аналитическими функциями.

Тогда  окрестность поверхности S такая, что  аналитическое решение задачи Коши: Lu(x)=f(x) и оно единственно

Замечания:

1)Условие аналитичности существенно и его нельзя заменить условием гладкости.

2)Решение  только в окрестности.

3)Говорится только об аналитическом решении, наряду с которым может  и не аналитическое.

Док-во:

С делаем распрямляющее преобразование: S –>  - диск на гиперплоскости. => (**)

Н.у.:

- найдем решение в таком виде с неопределенными коэффициентами , ,то есть построим ряд Тейлора, этой функции.

Определим все производные в нуле, тогда будет определен весь ряд:

Все касательные производные могут быть найдены из н.у. через v₀, т.е. мы можем найти все v^(), где =(₁,…,_n-1,0)

Также можно найти все v^(), где =(₁,…,_n-1,1), выразив их через v₁(y) и v₀(y)

Производные с =(₁,…,_n-1,2) выражаются из уравнения (**):

Продифференцируем (**), приписав к обеим частям , где

=> определим производные , тогда - получим продифференцировав предыдущий результат по y_n => коэффициенты ряда определяются однозначно

Т.е. ряд построен, но нужно доказать что радиус сходимости не нулевой.

Док-во: Метод мажорант.

Пусть дано 2 ряда: (1) и (2), , а

Опр. Ряд (2) мажорирует ряд (1) ( ), если  

Опр. Возьмем две функции, аналитические в какой-то точке – и , пусть они аналитичны в нуле. мажорирует в нуле мажорирует при у=0.

Лемма: Пусть есть 2 задачи Коши:

и

и в 0; в 0; в 0; в 0; в 0; в 0.

Утв. Пусть Задача №1 имеет формальное решение (1), а задача №2 - (2), тогда ряд (2) мажорирует ряд(1). – т.е. Если у задачи 2 есть аналитическое решение, то и у исходной задачи есть решение.

Докажем это по индукции:

База: Докажем, что и мажорируются и – это верно в силу того, что н.у 2-й задачи мажорируют н.у. первой задачи, а , , , получаются непосредственно из н.у.

Переход: Предположим, что , необходимо доказать это для k

Выразим оставшиеся производные рекуррентно через уже найденные:

(индукция ведется по k, где k- последнее число в мультииндексе).

Для 2-й задачи имеем уравнения такого же вида:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций