Т.А. Шапошникова - Курс лекций по уравнениям в частных производных (1127861)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций поуравнениям в частных производныхЛектор — Т. А. Шапошникова3 курс, 5–6 семестр, поток математиковМосква, 2005 г.Оглавление1.Лекция 11.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Линейные уравнения в частных производных второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Задача Коши. Характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44452.Лекция 22.1. Задача Коши с данными на характеристике . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Задача о слабом разрыве решения вдоль некоторой кривой y = ϕ(x) . . . . . . . . . . .2.3. Нехарактеристическая задача Коши для линейного уравнения в частных производныхпорядка . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .777. . . . .. . . . .второго. . . . .83.Лекция 33.1. Теорема Ковалевской . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Классификация линейных УРЧП 2-го порядка. О приведении их к каноническому виду . . . . .8884.Лекция 44.1. Задача Коши для волнового уравнения. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9105.Лекция 55.1. Энергетическое неравенство. Единственность решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11136.Лекция 66.1. Единственность классического решения задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1.1. Энергетическое неравенство . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Решение задачи Коши для случая n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131414167.Лекция 77.1. Формула Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Область зависимости решений от начальных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3. Обобщенные решения волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161616178.Лекция 88.1.
Обобщенные производные. Пространства Соболева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18189.Лекция 99.1. Пространство Соболева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191910.Лекция 1010.1.
Строго липшицева область . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2. Неравенство Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3. Теорема Реллиха . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2121222311.Лекция 1111.1. Неравенство Фридрихса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2. След функции . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3. Метод Фурье (метод разделения переменных) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2323242512.Лекция 1212.1. Обобщенное решение первой начально-краевой задачи . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .12.2. Единственность решения смешанной задачи (1)-(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3. Задача Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2525262613.Лекция 13.13.1. Базис в пространстве H10 (Ω) . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.2. Обобщенное решение первой начально-краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27272814.Лекция 1414.1. Теорема о существовании обобщенного решения задачи (1) . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3031215.Лекция 1515.1. Гармонические функции, их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15.2. Формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .31313116.Лекция 1616.1. Лемма о знаке нормальной производной гармонической функции в точке максимума . .16.2. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа и единственность решения этих задач16.2.1. Задача Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.2.2. Задача Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.3. Оценки производных гармонической функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.4. Аналитичность гармонических функций .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......3535353535353617.Лекция 17.17.1. Функция Грина. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373718.Лекция 1818.1. Интеграл Пуассона . . . . . .
. . . .18.2. Неравенство Харнака . . . . . . . . .18.3. Обратная теорема о среднем . . . . .18.4. Теорема об устранимой особенности....383839404019.Лекция 1919.1. Теория потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .404120.Лекция 2020.1. Объёмный потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20.2. Потенциал двойного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .43434421.Лекция 2121.1. Теорема о скачке потенциала двойного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .464822.Лекция 2222.1. Потенциал простого слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .494923.Лекция 23.23.1. Постановка краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .505124.Лекция 2424.1. Решение внутренней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана в виде потенциала . . . . . . .24.1.1. Теоремы Фредгольма . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24.2. Решение внешней задачи Дирихле и внутренней задачи Неймана в виде потенциала . . . . . . .5252525325.Лекция 2525.1. Вариационный метод решения задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .555726.Лекция 2626.1. Метод Ритца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26.2. Уравнение теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .57575827.Лекция 2727.1. Принципы максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.2. Начально-краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.3. Теоремы единственности . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60606262....................3......................................................................................................................................1. Лекция 11.1. ВведениеНеобходимость в изучении дифференциальных уравнений с частными производными возникла в связи стем, что математическое описание многих физических явлений приводит к определению решений уравнений счастными производными.Рассмотрим некоторые примеры:utt = a2 uxx + f (x, t)Такие уравнения описывают многие колебательные процессы.ut = k 2 ∆u + f (x, t)Это уравнение называется уравнением теплопроводности и задаёт распределение температуры в однородномтеле.∆u = f (x)Уравнение такого вида называется уравнением Пуассона и описывает стационарное распределение температурыпри наличии тепловых источников внутри тела с плотностью f (x).Дадим несколько определений:Определение.
Дифференциальными называются уравнения, в которых неизвестными являются функцииодного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если неизвестными являются функции нескольких переменных (не менее двух), то уравнения называютсяуравнениями в частных производных.В дальнейшем мы будем рассматривать только одно уравнение в частных производных с одной неизвестнойфункцией.1.2. Линейные уравнения в частных производных второго порядкаРассмотрим уравнениеF∂mux, u(x), ux1 (x), . .
. , uxn (x), . . . , m (x) = 0,∂xn(1)где x = (x1 , . . . , xn ).Скажем, что это уравнение в частных производных порядка m, если m является максимальным порядкомпроизводных в этом уравнении.Определение. Уравнение (1) называется линейным, если F , как функция переменныхu, ux1 , . . . , uxn , . . . ,∂mu∂xmnявляется линейной функцией.Будем рассматривать линейные уравнения в частных производных второго порядка. Такие уравнения имеютвидnnXXaij (x)uxi xj +aj (x)uxj + a(x)u = f (x),(2)i,j=1i,j=1nгде Ω ⊂ R , aij (x), aj (x), a(x), b(x) достаточно гладкие функции, заданные в Ω.Обозначим A(x) := (aij (x)).Утверждение 1.1.
Матрицу A можно считать симметрической.Действительно, в силу гладкости функции u смешанные производные второго порядка совпадают,a (x)+a (x)поэтому соответствующие элементы матрицы А можно «перераспределить», введя a′ij = ij 2 ji , тогдаa (x)−a (x)aij (x) = a′ij (x) + a′′ij (x), где a′′ij = ij 2 jiи a′′ij = −a′′ji . После такого преобразования мы получим то жесамое уравнение, но с симметрической матрицей A′ (x). Сразу отметим то обстоятельство, что существуют уравнения вида (2) с бесконечно дифференцируемымикоэффициентами, которые в любой окрестности точки x0 не имеют ни одного решения. Такие уравнения называются локально неразрешимыми.Примером такого уравнения может служить(x22 − x23 )ux1 x2 + (1 + x21 )(ux2 x2 − ux3 x3 ) − x1 x2 ux1 x3 − (x1 x2 u)x1 x2 + x1 x3 ux1 x3 = f (x) − (x1 x3 u)x1 x3 .4(3)Л. Хермандер доказал, что такое уравнение не имеет ни одного решения при некоторой f (x) ∈ C∞ (Rn ) длялюбой области Ω ⊂ Rn .1.3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
