А.А. Вылиток - Представление чисел в ЭВМ (1127756), страница 2
Текст из файла (страница 2)
При выводерезультатов из машины происходит обратное преобразование в десятичные числа.3.3.1Сложение и вычитание3.3.1.1 Сложение и вычитание чисел без знакаСложение и вычитание беззнаковых чисел происходит по обычным дляпозиционных систем счисления алгоритмам. Примеры (для k =3):0012 +1002 = 1012;1012 – 0102 = 0112.Ситуации, когда уменьшаемое меньше вычитаемого или когда результат суммыне умещается в k разрядов, считаются ошибочными и должны отслеживатьсяустройством компьютера. Реакция на такие ошибки может быть различной в разныхтипах компьютеров.3.3.1.2 Сложение и вычитание чисел со знаком в обратном кодеСложение в обратном коде происходит следующим образом: по обычномуалгоритму складываются все разряды, включая знаковый.
Результат такого сложениядля k-разрядных наборов имеет длину k +1 (самый левый разряд результата равенединице, если был перенос при сложении старших разрядов операндов, иначе – нулю).Значение левого k +1-го разряда добавляется к младшему разряду результата. Получаемk-разрядный набор, который и будет суммой двух чисел в обратном коде.Пример (k =3):+310 +(–110 ) = 0112+ 1102 = 1 0012 B 0012 +1 = 0102 = +210.Вычитание чисел в обратном коде x – y сводится к сложению x+ (–y).3.3.1.3 Сложение и вычитание чисел со знаком в дополнительном кодеВ дополнительном коде сложение происходит так: по обычному алгоритмускладываются все разряды, включая знаковый; единица переноса в k +1-й разрядотбрасывается (т.е. сложение по модулю 2k ).Пример (k =3):+310 +(–110) = 0112+ 1112 = 10102 B 0102 = +210.При вычитании тоже действует обычный алгоритм, причем если уменьшаемоеменьше вычитаемого, к двоичному коду уменьшаемого слева приписывается единица-5-(т.е.
добавляется 2k ) и только после этого производится вычитание (такой способназывается вычитание по модулю 2k).Пример (k =3):110 –3 10 = 0012 – 0112 B 10012 – 0112 = 1102 = –210.Если x и y — числовые значения дополнительного кода знаковых чисел, точисловые значения дополнительных кодов суммы и разности определяются последующим формулам:⎧⎪ x + y , если x + y < 2 k ,( x + y ) mod 2 = ⎨⎪⎩ x + y − 2 k , если x + y ≥ 2 kk⎧ x − y, если x ≥ y,( x − y ) mod 2 k = ⎨ k⎩(2 + x) − y, если x < y3.3.2Умножение и делениеВо многих компьютерах умножение производится как последовательностьсложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающимсумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль.
Впроцессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое ирезультаты промежуточных сложений, а по завершении операции — окончательныйрезультат. Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначалесодержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем числоуменьшается, пока не достигнет нулевого значения.Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуетсяпутем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.3.3.3Ошибки при выполнении арифметических операцийПри выполнении арифметических операций могут возникать ситуации, когдастаршие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него областипамяти.
Ниже приводятся примеры ошибочных вычислений (k =3).Сложение знаковых чисел в обратном коде:–310 + (–210) = 1002 + 1012 = 10012 B 0012 +1 = 0102 = +210Вычитание знаковых чисел в обратном коде:+210 – (–310)= 0102 –1012 B 10102 –1012 = 1012 = –310.Такая ситуация называется переполнением цифровой части (мантиссы) форматачисла.
Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке вкомпьютере используются специальные средства. Реакция на разные ошибки можетбыть разная. Так, в некоторых ЭВМ при делении на ноль вычисления прекращаются(фатальная ошибка), а при переполнении мантиссы устанавливается признакпереполнения в так называемом регистре флагов и вычисления продолжаются.-6-4Представление вещественных чиселВещественными числами ( в отличие от целых ) в компьютерной техникеназываются числа, имеющие дробную часть. При их изображении во многих языкахпрограммирования вместо запятой принято ставить точку.
Так, например, число 5 —целое, а числа 5.1 и 5.0 — вещественные. Для удобства отображения чисел,принимающих значения из достаточно широкого диапазона (то есть, как оченьмаленьких, так и очень больших), используется форма записи чисел с порядкомоснования системы счисления. Например, десятичное число 1.75 можно в этой формепредставить так:1.75•100 = 0.175•101 = 0.0175•102 = ... ,или так:17.5•10–1 = 175.0•10–2 = 1750.0•10–3 = ...
.Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N =M • q , где M называется мантиссой числа, а p — порядком. Такой способ записичисел называется представлением с плавающей точкой. Если “плавающая” точкарасположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированномколичестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимальногоколичества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числав машине.
Из этого следует, что мантисса должна быть правильной дробью, перваяцифра которой отлична от нуля: M ∈ [0.1, 1). Такое, наиболее выгодное длякомпьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным.Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, асамо основание — в десятичной системе.p4.1Примеры нормализованного представления:Десятичная системаДвоичная система752.15 = 0.75215•103;–101.01 = – 0.10101•211 (порядок 112 = 310)– 0.000039 = – 0.39•10-4;– 0.000011 = 0.11•2-100 (порядок –1002 = – 410)Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному. Приэтом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора изнескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи — сиспользованием четырех, шести, восьми или десяти байтов.В качестве примера приведем характеристики форматов вещественных чисел,используемых IBM-совместимыми персональными компьютерами:Форматы вещественныхчиселРазмер вбайтахПримерный диапазонабсолютных значенийКоличество значащихдесятичных цифрОдинарный410–45 … 10387 или 8Вещественный610–39 … 103811 или 12Двойной810–324 … 1030815 или 16Расширенный1010–4932 … 10493219 или 20-7-4.2Представление в виде набора битовЧисла с плавающей точкой представляются в виде битовых наборов, в которыхотводяся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:……МантиссаПорядокЗнак порядкаЗнак числаЧем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точностьпредставления числа.
Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон отнаименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машинепри заданном формате.Покажем на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованномвиде в четырехбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка.Число 6.2510 = 110.012 = 0.11001•211 :31300022000001111 0 0 1 0…210000МантиссаПорядокЗнак порядкаЗнак числаЧисло – 0.12510 = – 0.0012 = – 0.1•2–10 (отрицательный порядок записан вдополнительном коде):313011221111ПорядокЗнак порядкаЗнак числа-8-11010 0 0 0 0…Мантисса2100004.3 Арифметические действия над нормализованными числамиК началу выполнения арифметическогопомещаются в соответствующие регистры АЛУ.действияоперандыоперацииПри сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция,называемая выравниванием порядков.
В процессе выравнивания порядков мантиссачисла с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов,равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается наединицу.В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываютсярасположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссыскладываются или вычитаются.В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвигамантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результатауменьшается на единицу.Пример 1.Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111•2–1 и 0.11011•210.Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантиссапервого числа сдвигается на три разряда вправо:10+ 0.00010111 •20.11011•2100.11101111 •210Пример 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
