Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Отсюда следует,что любые две различные «прямые» проходят через одну«точку».212Ответы, указания, решенияВыберем некоторое одномерное подпространство V ⊂ F 3 .На факторгруппе F 3 /V естественно вводится структуравекторного пространства над полем F , это пространство двумерно. Канонический гомоморфизм F 3 → F 3 /V устанавливает взаимно однозначное соответствие между одномернымиподпространствами в F 2 и двумерными подпространствамив F 3 , содержащими V . Отсюда уже следует, что на каждой«прямой» лежит столько же «точек», сколько «прямых» проходит через данную «точку». Чтобы найти это число, заметим,что одномерное подпространство в F 2 однозначно задаетсялюбым своим ненулевым вектором, и каждому такому пространству принадлежит ровно q − 1 ненулевой вектор.
Всегоненулевых векторов в F 2 имеется q 2 − 1 штук. Поэтому, количество одномерных подпространств в F 2 равноq2 − 1= q + 1.q−13.52. а) Если a = 0 или b = 0, то равенство очевидно. Дляненулевых a, b оно следует из того, что множество квадратов ненулевых элементов поля образует подгруппу (индекса 2)мультипликативной группы поля.б) Так как мультипликативная группа поля циклическая,квадраты ненулевых элементов поля и только они удовлетворяют равенствуa(q−1)/2 = 1.mЕсли pm = 4k ± 1, то (−1)(p −1)/2 = ±1, что и требовалось.в) Это равенство говорит, что в подгруппе и ее (единственном) смежном классе одинаковое количество элементов.г) Вклад a = 0 в сумму нулевой. Если a 6= 0, то запишемa + b = ac иXXχ(a)χ(a + b) =χ(a)χ(ac) =a6=0a6=0=Xa6=0χ(a)χ(a)χ(c) =X bχ 1+.aa6=0При a 6= 0 выражение b/a принимает все возможные значения,кроме 0.
Поэтому последняя сумма отличается от суммы изпункта в) на −χ(1) = −1.213Ответы, указания, решения3.53. Приводимая ниже конструкция матриц Адамара называется конструкцией Пейли (см. [18]). Она использует свойства квадратичных вычетов в произвольном конечном поле,сформулированные в предыдущей задаче.Вначале построим матрицу Q порядка pm , строки и столбцы которой индексированы элементами поля F из pm элементов. Полагаем Qab = χ(a − b).Так как pm + 1 ≡ 0 (mod 4), то χ(a − b) = χ(−1)χ(b − a) == −χ(b − a), т. е. матрица Q является кососимметрической.Кроме того, выполняются матричные равенства QJ = JQ = 0,где J — матрица из одних единиц. Эти равенства в точностиозначают, что в каждой строке и каждом столбце количество+1 равно количеству −1 (пункт в) предыдущей задачи).Теперь проверим, что QQT = pm I − J. Для диагональныхэлементов получаемX(QQT )aa =Q2ab = pm − 1,bа для внедиагональных применяем равенство из пункта г) предыдущей задачи:XX(QQT )ab =Qac Qbc =χ(a − c)χ(b − c) =cc=Xxχ(x)χ(x + b − a) = −1.Искомая матрица Адамара имеет вид11H=,1T Q − Iгде 1 — строка из одних единиц длины pm .
Элементы этойматрицы равны ±1 по построению. Для HH T имеем1111HH T ==1T Q − I1T QT − I mp +10=0J + (Q − I)(QT − I)Но J + (Q − I)(QT − I) = J + pm I − J − Q − QT + I = (pm + 1)I.Поэтому выполняется искомое равенство HH T = (pm + 1)I.Список литературы[1] Алексеев В. Б.
Теорема Абеля в задачах и решениях. М.:МЦНМО, 2001.[2] Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1988.[3] Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующихошибки. М.: Мир, 1986.[4] Ван дер Варден Б.:Л. Алгебра.
М.: Наука, 1976.[5] Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999.[6] Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972.[7] Влэдуц С. Г., Ногин Д. Ю., Цфасман М. А. Алгеброгеометрические коды. Основные понятия. М.: МЦНМО, 2003.[8] Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука,1971.[9] Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в ихклассификацию.
М.: Мир, 1985.[10] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теориигрупп. М.: Наука, 1977.[11] Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.[12] Кострикин А. И. (ред.) Сборник задач по алгебре. М.:Факториал, 1995.[13] Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.Список литературы215[14] Курош А.
Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.[15] Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.[16] Лидл Р., Нидерейтер Х. Конечные поля. М.: Мир, 1989.[17] Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теориягрупп. М.: Наука, 1974.[18] Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоан Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.[19] Прасолов В. В. Многочлены. М.: МЦНМО, 1999.[20] Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры.
М.:Наука. Физматлит, 1996.[21] Серр Ж.-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.[22] Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.Предметный указательАвтоморфизм 37– Фробениуса 130–131– внешний 37– внутренний 37Алгоритм Евклида 107, 108Ассоциативность 10– конечно порожденная 57– многогранника 22– мультипликативная(поля) 151–154– несобственная 29– ортогональная O(n) 18– перестановок(симметрическаягруппа) 18– преобразований 17– простая 76– симметрии 19– точечная 20– треугольника 20– циклическая 22Базис 139Биекция 17Бинарный набор 16Булев куб 171Вращение 22Вычет квадратичный 164Гауссовы числа 112– целые 125Гомоморфизм– групп 38– колец 92– – унитарный 120Группа 12– GL(n) 17– S(X) 17– абелева 12, 16, 57–67– аддитивная (кольца) 85– диэдральная 20, 21– знакопеременная 56– коммутативная — то же,что и абелева– конечная 12Движение 17Действие 46– транзитивное 49Делитель– единицы 91, 103– нуля 88– – левый 88– – правый 88– собственный 105Дистрибутивность 85Единица 11– левая 12– правая 12Запись216217Предметный указатель– аддитивная 9, 12– мультипликативная 9Знак перестановки 39Идеал 93– главный 94– максимальный 99– порожденныйподмножеством 94Изоморфизм– групп 34– колец 92Инвариантное подмножество46Индекс подгруппы 28Интерполяционная формулаЛагранжа 143Кватернионы 119Класс– вычетов 95– сопряженных элементов43Код 6, 169– БЧХ 175, 176– Голея 181– Рида – Маллера 186, 187– Рида – Соломона 184– Хэмминга 173– групповой 170– квадратично-вычетный180– линейный 170– циклический 174Кольцо 85– вычетов 87– главных идеалов 94– евклидово 101– классов вычетов (помодулю идеала) 97– коммутативное 85– многочленов 88– с единицей 85– факториальное 110– целостное 88Коммутант 76Коммутатор 76Композиция 11Конкатенация 10Лемма Бернсайда 49Линейная комбинация 139Метрика Хэмминга 170Минимальная функция 145Многочлен 88, 89– неприводимый 132– примитивный 134Множество– векторов– – линейнонезависимое 139– – порождающее 139– порождающих 32Модель 33Моноид 11Наибольший общий делитель103Норма 101– бинарного набора 170Нормализатор 26Нуль 12Образ 11Операция 9– n-арная 10218– бинарная 9Орбита 48Отображение 10– взаимно однозначное 17– инъективное 131– на 11– сюръективное 56– тождественное 11Ошибка при передаче 169Первообразный корень 153Перестановка 18– нечетная 39– четная 39Подгруппа 25– инвариантная 46– нормальная 40– порожденнаямножеством 32– сопряженная 45Подкольцо 93Показатель группы 73Поле 99– Галуа 128– вычетов 128– конечное 128Полугруппа 10Порядок– группы 12, 29– элемента 23, 29Последовательностьфинитная 89Преобразование матрицэлементарное 62Примарная компонента 65Произведение 9Произведение групп– полупрямое 59– прямое 36Предметный указательПроизводная многочлена 155Прообраз 11Пространство– векторное 138– конечномерное 139– координатное 139Разложение– группы на подгруппы 58– – прямое 58Размерность 141Редукция многочлена 134Рефлексивность 42Свойство сократимости 13Символ Лежандра 168Симметричность 42Следствие (соотношений) 59Слово 10– кодовое 169– пустое 11Смежный класс 27– левый 27– правый 27Соотношения 32Стабилизатор 47Степень многочлена 89Сумма 9– подгрупп 58Сумма прямая– абелевых групп 57– колец 87Таблица Кэли 14, 34Таблица умножения — то же,что и таблица КэлиТело 98Теорема– Вильсона 165219Предметный указатель––––Коши 81Кэли 37Лагранжа 29о конечных абелевыхгруппах 66– основная– – алгебры 133– – арифметики 110Транзитивность 42Транспозиция 39Факторгруппа 51–53Факторизация 51Формула Лейбница 155Функция Эйлера ϕ(n) 111Характеристика 129Центр 25Циклическоеподпространство 162Цикловое разложение 19Шар Хэмминга 171Эквивалентность(отношение) 42Эквивалентные системывекторов 141Элемент 9– нильпотентный 116– обратимый 91, 103– обратный 12– порождающий 22– простой 106– противоположный 12, 17– симметрии 20Элементы– ассоциированные 104– перестановочные 72– сопряженные 42– сравнимые 96Ядро гомоморфизма 54About authors of the bookYurii I.
Zhuravlev — Academician of the Russian Academyof Sciences, Deputy Director of Dorodnicyn Computing Centreof the Russian Academy of Science, Head of Scientific Council“Cybernetics" of Russian Academy of Sciences, Head of the Chairof Moscow state University, Professor of Moscow Institute ofPhysics and Technology. Editor-in-Chief of International Journal“Pattern Recognition and Image Processing”.Research interests: mathematical logic, theory of controllingsystems, pattern recognition and image analysis, operations research, artificial intelligence.Yurii A.
Flerov — Corresponding Member of the RussianAcademy of Sciences, Deputy Director of Dorodnicyn ComputingCentre of the Russian Academy of Science, Professor of MoscowInstitute of Physics and Technology.Research interests: mathematical modelling, computer-aideddesign.Mikhail N. Vyalyi — PhD (Physics, Mathematics), researchscientist of the department “Mathematical Pattern Recognitionand Methods of Combinatorial Analysis” of Dorodnicyn Computing Centre of the Russian Academy of Science, Assistant Professor at Moscow Institute of Physics and Technology.Research interests: complexity theory, quantum computations.This book is based on lectures of Yu.
I. Zhuravlev that wereread in Moscow Institute of Physics and Technology. The secondpart of the course “Discrete Analysis” is devoted to an introductionto basic algebraic structures: groups, rings and fields.The central topic is finite fields. They are the very importanttool in applications to combinatorics and computer science. Asan example of application of finite fields, a brief introduction toerror-correcting codes is given.The book is supplied with large number of problems. Someof them are mere exercises to check the understanding of basicmaterial in the book, some provide extra information on theobjects in study.Level: undergraduates.Книга основана на курсе лекций, прочитанных Ю. И. Журавлёвым в Московском физико-техническом институте. Этовторая часть курса «Дискретный анализ», она посвящена введению в высшую алгебру, в ней рассматриваются основныесвойства групп, колец и полей.Центральную роль играет теория конечных полей. Конечные поля являются одним из важнейших инструментов в комбинаторике и теоретической информатике.
Как пример приложения конечных полей приводится теория кодов, исправляющих ошибки.Книга содержит много задач. Часть из них — упражненияна понимание материала основной части книги, часть даетпредставление о дальнейших результатах в теории групп, колец и полей.Книга предназначена для изучения основ высшей алгебрыстудентами младших курсов. Наиболее полезной она окажетсядля студентов, специализирующихся на прикладной математике.Ю. И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
