Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Функции и матрицы Если д: А — А определена соотношением д11) = 2, д(2) = 3 и д13) = 1, то д можно изобразить в виде (2 1 1) Композиции этих функций имеют вид 2 3 1 3 2 1 1 3 2 В предыдуших примерах было показано, что перестановка 1 2 3 также является тождественной функцией в том смысле, что 1 о 1 = 1 о1 = 1" для любой перестановки 1 на множестве А. Чтобы построить обратную перестановку, нужно найти число, стоящее над 1, и поместить его под 1; затем найти число, стоящее над 2, и поместить его под 2; наконец, найти число, стоящее над 3, и поместить его под 3. Таким образом, обращение перестановки 2 3 1 есть 3 1 2 Введем еще три специальные функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4А7. Функция 1; А — ~ В, где А — множество действительных чисел, а  — множество целых чисел, называется нижним округлением и обозначается 11х) = (х1, если она каждому а е А ставит в соответствие наибольшее целое число, меньшее или равное а. Функция 1: à — В называется верхним округлением и обозначается 1(х) = (х1, если она каждому а В А ставит в соответствие наименьшее целое число, большее или равное а.
Например, (2.99~ = 2, (4) = 4, ( — 4) = — 4 и ( — 4.Ц = — 5. Точно также, (2.991 = 3, (41 = 4, ( — 41 = — 4 и ( — 4 11 = 4. РАЗДЕЛ 4.2. Специвпьныь функции 163 ПРИМЕР 4.19. 12! 12.11 10! 10! 10! ПРИМЕР 4.20. 7! 7 6 5 4! 4! 3! 4! 3 . 2 . 1 = 35. Операции сложения, вычитания, умножения и деления также являются примерами функций. В случае вычитания целых чисел 5 — 3 означает, что операция вычитания ставит целое число, а именно, 2, в соответствие числам 5 и 3.
Чтобы подчеркнуть функциональную природу операции вычитания, можно было бы записать — ((5, 3)) = 2. Вычитание каждой паре целых чисел (г, з) ставит в соответствие целое число. Функция двух переменных такого частного вида называется бинарной операцией и определяется следующим образом. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.21. Бинарной операцией на множестве А называется функция 6: А х А — А. Образ пары (г,а) при отображении Ь записывается как 6((г,а)), или как гЬз. Поскольку область значений бинарной операции на А по определению есть подмножество А, то множество А обладает свойством замкнутости относительно бинарной операции (в том смысле, что значение операция на двух элементах т и з множества А также является элементом А). Последовательности также являются частными видами функций, область определения которых есть начальное подмножество множества положительных или неотрицательных целых чисел.
Полагаем, что читатель знаком с такими последовательностями, как 1, 2, 4, 9, 16, ... или 2, 4, 6, 8, 10, ..., хотя, может быть, никогда и не думал о них, как о функциях. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.22. Конечной последовательностью назовем функцию из (1,2,3,4,...,и) в некоторое множество Я. Бесконечной последовательностью назовем функцию из (1,2,3,4,...) в некоторое множество 5. Любая конечная или бесконечная последовательность может быть названа просто последовательностью. В большинстве случаев Б представляет собой множество положительных целых, целых, рациональных или действительных чисел.
Последовательность обычно изображают списком или перечислением элементов. Если А — функция, то значение А(1) можно обозначить через Аз, значение А(2) — через Аз и так далее. Поэтому, если А — конечная последовательность, она может быть представлена как А(1), А(2), А(3),..., А(п) или Аы Аз, Аз,, А„, 164 ГЛЯ8А 4. Функции и матрицы Если же А — бесконечная последовательность, она может быть представлена как А(1), А(2), А(3),... или Аы Аз, Аз, Например, последовательности 1,4,9, 16,... соответствует запись А, = 1з. Здесь А(1) = 1, А(2) = 4, А(3) = 9, А(4) = 16 и т.д. Заметьте, что 1, 4, 9, 16 и 1, 9, 4, 16— это две разные последовательности. ПРИМЕР 4.23. Пусть А(п) = и + 5.
Запишем первые пять членов последовательности: А(1) = 1+ 5 = 6, А(2) = 2 + 5 = 7, А(3) = 3 + 5 = 8, А(4) = 4 + 5 = 9 и А(5) = 5+ 5 = 10. П ПРИМЕР 4.24. Пусть А(п) = пз — 3. Запишем первые пять членов последовательности: А(1) = 1з — 3 = — 2, А(2) = 2з — 3 = 1, А(3) = Зз — 3 = 6, А(4) = 4з — 3 = 13 и А(5) = 5з — 3=22. П ПРИМЕР 4.26.
Заданы первые пять членов последовательности: 1,6,11,16,21. Требуется описать ее как функцию. Поскольку каждый член последовательности больше предыдущего на 5, то А(п) = 1+ 5(п — 1), где 1 ( и < 5. П ПРИМЕР 4.26. Заданы первые пять членов последовательности: 0,3,8,15,24, и требуется описать ее как функцию. Поскольку первые пять членов последовательности В(п) = пз совпадают с 1,4,9,16,25, эта последовательность может быть задана формулой А(п) = пз — 1. П ПРИМЕР 4.27.
Заданы первые пять членов последовательности: 1, — 2, 3, — 4,5. Эта последовательность может быть описана формулой А(п) = ( — 1)"+'п. Если бы знакопеременная последовательность начиналась с отрицательного числа, то вместо ( — 1)"+' мы бы подставили ( — 1)" . П Два вида последовательностей — арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия — представляют особый интерес. Каждый член арифметической прогрессии может быть получен из предыдущего прибавлением константы с.
Таким образом, арифметическая прогрессия имеет вид а+ (п — 1)с, где а — первый член прогрессии. Последовательность 3, 5, 7, 9, 11, ... представляет собой арифметическую прогрессию с а = 3 и с = 2. В геометрической прогрессии каждый член может быть получен из предыдущего путем умножения на константу г. Таким образом, геометрическая прогрессия имеет вид А(п) = аг<" ц, где а — первый член прогрессии. Последовательность 4, 12, 36, 108, 324,...
является геометрической прогрессией, в которой а = 4 и г = 3. Последовательность 32, 16, 8, 4, 2, ... — геометрическая прогрессия, где а = 32 и г = -'. 2' ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.28. Сумма А„+А,ч.1+А„ьз+А,чз+ +А„ьь может быть записана с использованием знака суммирования как 2 А,. РАДЕЛ 4.2. Специальные функции 165 Например, гг Зз + 4г + 5з + бг + 7 *=з Г1з=4 и=4 4 1=1+2+3+4; з=з з (г + 3) = (1 + 3) + (2 + 3) + (3 + 3) . и Часто требуется найти сумму 2 А; первых и членов последовательности А. а=1 Выведем формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии 5 = а + (а + с) + (а + 2с) +...
+ (а + (п — 2)с) + (а + (п — 1)с) . Для этого запишем 5 в обратном порядке и сложим саму с собой, так что 5 = а+ (а+ с) + (а+ 2с) + .. + [а+ (п — 1)с], 5 = [а + (п — 1)с] + [а + (п — 2) с] + [а + (п — 2)с] + . + а, 25 = [а + (а + (п — 1)с)] + [а + (а + (п — 1)с)] + [а + (а + (п — 1)с])+ + + [а + (а + (и — 1)с] = = [2а+(и — 1)с]+ [2а+ (п — 1)с]+ [2а+ (п — 1)с]+ + [2а+ (и — 1)с]. Таким образом, имеем 25 = п(2а + (п — 1)с), так что п 5 = — (2а + (п — 1) с)) . 2 Поскольку Аз = а и А„= а+ (и — 1)с), то 5= — (Аз+А„).
2 ПРИМЕР 429. 5 = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = -(3 + 13) = 48. 6 П 2 Теперь выведем формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии 5 = а+ аг+ аг + аг + аг +... + аг" + аг" Заметим, что г5 = аг + агз + агз + аг4 + агз4 +... + аг" з + аг". Вычитая 5 из г5, получаем г5 — 5 = аг" — а, так что а(г" — 1) г — 1 2(3 — 1) 2(486 — 1) ПРИМЕР 4.30. 2+ 6+18+54+162 — — — 243, так как здесь 3 — 1 3 — 1 П 166 ГПАВА 4. Функции и матрицы ° УПРАЖНЕНИЯ 1.
В приведенных ниже упражнениях для перестановок 7' и д найдите перестановки 7'од, до~, 1 ~ и д ') 4 3)' з) 1 2 3 3 1 2/' 1 2 3 4 4 3 2 1)' 1 2 3 4 ! 1 2 3 4 „/ /1 2 !~2 3 б) У= 1 /1 2 3 2 в) ! — 91; е) !'-3 7"! 2. Вычислите значения следующих выражений; 10! 12! и'! а) 8! ' б) 8! .
4!' в) (п — 2)! ' г) — ! — 2.999~; д) !1.00Ц; е) !'3 51 ' ж) ! — 4.0Ц. 3. Вычислите значения следующих выражений: 14! 15! 13! ° О! ' 5! . 4! . 6! ' г) — ! 2.999~; д) ! — 1.001~; ж) !4.0Ц. 4. Найдите первые пять членов следующих последовательностей: пз а) А„=п +3; б) А„= ( — 1)"+' —; и! ' в) А„=~ — ~; г) А„= 6. Найдите первые пять членов следующих последовательностей: а) А„=п~+2п+3; б) А„= п!п+ 1) п! в) А„= г) А„= ( — 1)"+' 6. Определите по первым пяти членам последовательности А формулу для А„. а) 3, 8, 13, 18, 23; 1 2 3 4 5 в) 4, 12, 36, 78, 144; г) 2,2,4,12,48. 7.
Определите по первым пяти членам последовательности А формулу для А„. 1 1 1 1 1 а) 2,8,18,32,50; б) 2' 6' 18' 54' 162' в) 1, — 1, 2, — 2, 3; г) 3,6,11,18,27. РЛЗДЕЛ4.3. Матрицы 167 4.3. МАТРИЦЫ До сих пор мы рассматривали лишь "функции одной переменной". Они, как правило, обозначаются через 1(к), где х — так называемая "переменная". Например, г"(х) = кг с областью определения В есть функция одной переменной. Если область определения г' представляет собой декартово произведение двух множеств, скажем, С х Р, то функцию 1: С х Р— В называют "функцией двух переменных" и обычно обозначают через 1(х,у), где х и у называются переменными, причем значение х берется из области С, а значение у — из области Р.
Если (с,а) Е С х Р, то пишут Щс, й)) или просто Г(с,а). Например, 1(х, у) = хг + уг с областью определения В х  — это функция двух переменных. Бинарные операции также являются функциями двух переменных. Точно так же, если область определения 1 — множество С х Р х Е, а 1: С х Р х Š— В, то 1 называется "функцией трех переменных", Например, 7'(к, у, г) = кг + уг + 2уг с областью определения В х В х В есть функция трех переменных. Дадим описание специальной функции двух переменных, называемой матрицей или массивом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
