Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пусть 1(х) = ~/х и д(х) = х+ 3 — функции, заданные на множестве действительных чисел. Функция 1(д(х)) = г"(х+ 3) = ьгх+ 3. Функция д®х)) = д(~/х) = ~/х+ 3. П Функция 1 из А в В может быть классифицирована в зависимости от того, существуют ли элементы из В, связанные данным отношением с более чем одним элементом из А, и связан ли каждый элемент из области значений В с соответствующим элементом области определения А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.Т.
Функция г': А — В называется инъективнай, или инъекцией, если из 1(а) = )'(а') следует а = а'. Функция 1 называется отображением "на", или сюръективной функцией, или сюръекцией, если для каждого Ь е В существует некоторое а е А такое, что 1(а) = Ь. Функция, которая является одновременно и инъективной, и сюръективной, называется взаимно однозначнын соответствием, или биекцией. Если А = В и 1: А — В является взаимно однозначным соответствием, то 1 называется перестановкой множества А.
ПРИМЕР 4.8. Пусть А и  — множества действительных чисел и 1: А — В определена таким образом: 1(х) = Зх + 5. Функция 1 инъективна, т.к, если 1(а) = 1(а'), тогда За+ 5 = За'+ 5 и, следовательно, а = а'. Функция 1 является также сюръекцией. Для любого действительного числа 6 требуется найти такое а, что 1"(а) = Ь = За + 5. Решая это уравнение относительно а, находим, что если а = (1/3)(6 — 5), тогда 1(а) = Ь. Поэтому г' представляет собой взаимно однозначное соответствие, а в силу А = В, 1 является также перестановкой.
П ПРИМЕР 4.9. Пусть А и  — множество действительных чисел, и функция 1; А — В определена как 1'(х) = хз. Функция )' не является инъективной, т.к. Д2) = 1( — 2), но 2 ~ — 2. Функция 1 не является также и сюръективной, поскольку не существует такого действительного числа а, для которого 1(а) = — 1. Заметим, что если А и  — множество неотрицательных действительных чисел, тогда 1" является как инъективной, так и сюръективной. П Пусть 1 — функция из множества А во множество В, т.е, 1: А — В. Очевидно, 1 С А х В, так как 1 является отношением на А х В. Обратное отношение 1" ' С В х А определяется как 1 з = ((Ь,а): (а,Ь) я 1).
При этом отношение 1' ' может не быть функцией из В в А, даже если 1 является функцией из А в В. В следующей теореме сформулированы условия, при которых 1 является функцией. Если 1 ' действительно является функцией, то ее называют обращением функции 1, или ее обратной функцией. ТЕОРЕМА 4.10. Если функция 1: А — В является биекцией, то обратное отношение 1 г является функцией из В в А, причем биекцией. Обратно, для 1': А — В, если У ' — функция из В в А, то 1 является биекцией. РАЗЛЕЛ 4.1.
Функции 159 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства того, что 1 ' — функция из В в А, необходимо убедиться, что областью определения 1 ' является В, и что если (Ь, а) и (Ь, а') 6 1 ', то а = а'. Для доказательства того, что область определения ' совпадает с В, возьмем произвольное Ь 6 В. Поскольку 1 сюръективна, то существует а е А такое, что 1(а) = Ь или (а,Ь) е 1. Поэтому (б,а) Е 1 ' и В является областью определения 1 '. Пусть (6, а) и (Ь, а') е 1 '. Тогда (а, 6) и (а',6) е 1. Поскольку 1 инъективна, то а = а'.
Поэтому 1 г — функция. При этом она сюръективна, т.к. если а Е А, то в силу того, что 1 — функция, существует некоторое 6 такое, что 1(а) = 6, т.е. (а, Ь) Е 1. Поэтому (Ь,а) 6 1 ', и элемент а принадлежит области значений функции 1 '. Следовательно, А представляет собой область значений 1 ', а сама функция 1 ' — сюръективна. Для доказательства инъективности функции 1 ' предположим, что (Ь,а) и (6',а) 6 1 ', т.е. '(Ь) = а и 1 '(6') = а.
Тогда (а, 6) Е 1 и (а,Ь') 6 1 (или, что эквивалентно, 1(а) = Ь и 1(а) = Ь'). Поскольку Х вЂ” функция, то Ь = 6'. Для доказательства обратного утверждения следует в последнем рассуждении 1 ' заменить на 1. ° ТЕОРЕМА 4.11. Если 1: А — ~  — биекция, то а) Щ '(Ь)) = 6 для любого Ь из В; б) 1 '(1(а)) = а для любого а из А.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 6 6 В и а = 1 '(6). Тогда 1(а) = Ь. Но поскольку а = 1 '(6), то 1(,1 '(Ь)) = ~(а) = Ь. Аналогично доказывается, что 1 '(1(а)) = а для любого а из А. ПРИМЕР 4.12. Требуется найти обратную функцию для у = Зх + 6. Обращая функцию, получаем ((у, х): у = Зх + 6). Но это то же самое, что ((х, у): х = Зу + 6). Решая уравнение относительно у, получаем ((х,у): у = (х — 6)/3). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.13.
Пусть 1: А — А определено соотношением 1(а) = а для всех а 6 А. Функция 1 называется тождественной функцией на А. Предлагаем читателю доказать следующую теорему. ТЕОРЕМА4.14. Если 1: А- А и1 — тождественная функция на А, то1о 1= 1 о 1 = 1. Если для 1 существует обратная функция, то 1о 1 — ' = 1 ' о 1 = 1, ТЕОРЕМА 4.15. Пусть д: А- В и 1: В- С. Тогда а) если д и 1 — сюръекции А на В и В на С соответственно, то 1 о д есть сюръекция А на С. Другими словами, композиция двух сюръекций — сюрьекция; б) если д и 1 — инъекции, то 1од — также инъекция; иными словами, композиция двух инъекций — инъекция; 160 ГЛАВА 4.
Функции и мвтрицьг если д и г" — биекции, то 1 од — также биекция; иными словами, композиция двух биекций — биекция; (1од) г=д 1о1 в) г) ° УПРАЖНЕНИЯ 6. Пусть 1: А — В, А| и Аз — подмножества А, а В1 и Вз — подмножества В. Докажите, что а) если Аз С Аз, то 1(А,) С )'(Аз); б) если В, с Вз, то 1 '(В,) с 1 '(Вз); в) 7"(А, и Аз) = 7'(А,) о 1"(Аз); г) ~ '(В10 Вз) = ~ '(В1) и,)' '(Вз); д) ~(А1 г1 Аз) с ДА1) г1 Д(Аз); е) 1 '(В1 П Вз) = 1 '(В1) п1 '(Вз); 1. Пусть 1 С В х В, где  — множество действительных чисел.
Найдите область значений и область определения следуюших функций: а) 1(х) = ха+ 4; б) 1(х) = т/х — 2; 1 1 в) 1(х) = ъ~х — 2 г) У(х)= 2 хз + 4 д) ~(х) = 1 е) 1(х) = 1х). 2. Какие из приведенных ниже отношений являются функциями, если х и д— действительные числа, х принадлежит области определения, а д — области значений? а) уз = ха+4; б) дз хз+4 в) у=5; г) х= 7; д) у = ъ/хз — 2. 3. Для функций 1 и д, заданных на множестве действительных чисел, найдите )'(д(х)) и д(1(х)), если: а) 7(х) = ха + 1 и д(х) = х+ 3; б) 1(х) = ~/хз + 2 и д(х) = хз + 3; 1 в) Дх) = — и д(х) = 2х+ 3. х 4.
Найдите обратную для каждой из следуюших функций: х+4 з. а) у= 2 6) у=х; в) у= х+3 6. Выясните, какие из приведенных ниже функций, у которых область определения и область значений совпадают с действительной числовой осью, являются инъективными, сюръективными, имеют обратную функцию. а) 1(х) = )х); 6) У(х) =х'+4; в) 1(х) = х +6; г) 1(х) = х+ (х(; д) 1(х) = х(х — 2)(х+ 2).
РАзцел 4.6 специвпьныв функции 161 ж) 1 '(В',) = (1 '(В~))'. з) Приведите пример функции 7' и множеств Аз и Аз таких, что ~(А, г~ Аз) ~ ~(А~) и ДАз). 7. Пусть 1: А —  — биекция, а д:  — А — функция, обладающая следующими свойствами; (д о 1")(а) = а для всех а е А; (1 о д)(Ь) = Ь для всех Ь 6 В. Докажите, что д = 1 '. Заметим, что данное утверждение говорит о том, что 1 ' — функция из В в А, при этом 1 о1 ' = 1н и 1 ' о 1 = 1л, где 1л и 1н являются тождественными функциями на А и В соответственно. (Указание: используйте свойство ассоциативности композиции.) 8. Пусть 1: А — В. Докажите, что 1 инъективна тогда и только тогда, когда для всех подмножеств Х и У множества А имеем 1(Х О У) = 1(Х) О1(У). 9.
Для функции 1: А — В докажите, что а) 1 инъективна тогда и только тогда, когда (1 г о 1)(Иг) = И' для любого И' С А, где 1' '(К) обозначает прообраз множества К; б) 1 сюръективна тогда и только тогда, когда (1 о 1 ')(У) = У для любого У С В. 10. Пусть д: А — В и 1:  — С. Докажите, что а) если д и 1 — сюръекции, то 1 о д — сюръекция; б) если д и 1 — инъекции, то 1од — инъекция; в) если д и 1 — биекции, то 1 о д — биекция; г) (1 од) г =д ~о1 11.
Докажите, что если 1: А — А и ! — тождественная функция на А, то 1о7' = 1о1 = 1. Если 1 имеет обратную функцию„то 7'о1 ' = 1 ' о1 = 1 4.2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Перестановка была определена как функция, которая на множестве устанавливает взаимно однозначное соответствие. Если 1 — перестановка на множестве (1,2,3,..., п), она может быть представлена в виде с 1 2 ... и 1 (1) 1 (2) ... 7'(и) Напомним, что нам известна еще одна специальная функция — тождественная функция 1, определенная соотношением 1(а) = а для всех а я А. Она может быть представлена в виде 1 2 ПРИМЕР 4.16. Если А = (1,2,3) и функция 1: А — А определена соотношениями 1(1) = 3, 7'(2) = 2 и 1(3) = 1, то 1 может быть представлена как (з 162 ГЛАВА 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
