Методы Оптимизации. Упражнения (2008-2009) (1125405)
Текст из файла
Упражнения по курсу Методы оптимизации5–6 семестры, 2008/2009 уч. год(В скобках pядом с поpядковым номеpом задачи указан ее уровень по пятибальной шкале.)1.(3) Привести примеры непрерывных функций, не достигающих своих нижних граней на ограниченном, но незамкнутом множестве; замкнутом, но неограниченном множестве.2.(3) Доказать, что единичный шаp в пpостpанстве C[a, b] не является компактным множеством.Rb3.(3) Доказать, что пpостpанство C[a, b] со скаляpным пpоизведением hf, gi = a f (t)g(t) dt неявляется гильбеpтовым.4.(3) Доказать, что "паpаллелепипед" в L2 (a, b) с постоянными границами α(t) ≡ α < β ≡ β(t)не является компактным множеством.5.(5) Доказать, что "гильбертов кирпич"noU = x ∈ `2 |xn | ≤ 2−n , n = 1, 2, .
. .является компактным множеством в пространстве `2 .6.(4) Привести пример функции одной переменной, для которой в некоторой точке x справедливо представлениеh2+ ō(h2 ),f (x + h) = f (x) + f1 · h + f2 ·2но которая не является дважды дифференцируемой в этой точке.7.(3) Пусть J(u) ∈ C 2 (H). Доказать справедливость формулы конечных приращенийZ 100hJ (u + h) − J (u), gi =hJ 00 (u + th)h, gi dt∀u, h, g ∈ H.08.(3) Вычислить первые и вторые производные квадратичного функционала в гильбертовомпространстве H :1J(u) = hAu, uiH − hf, uiH ,2A ∈ L(H → H),f ∈ H.9.(4) Вычислить первые и вторые производные функционала J(u) = g(kukH ), где g : R1 → R1 –дважды дифференцируемая функция.
Дифференцируем ли он в точке u = 0 в случае g(t) = t?в случае g(t) = t3 ?10.(5) Вычислить градиент функционалаZJ(u) =`ρ(x)|y(x; u) − z(x)|2 dx0в пространстве L2 (0, `) , где y(x) = y(x; u) – решение краевой задачи(k(x)y 0 (x))0 − q(x)y(x) = −u(x), 0 < x < `,y(0) = 0,y(`) = 0,k(x) ≥ k0 > 0, q(x) ≥ 0, ρ(x) ≥ 0 – заданные функции.11.(5) (дискретный вариант предыдущей задачиk(x) = 1, q(x) = 1, ρ(x) = 1).PN −1 для случая2Вычислить градиент функционала J(u) = i=1 |yi (u) − zi | h в пространстве RN −1 сеточныхP −1функций u = (u1 , u2 , .
. . , uN −1 ) со скалярным произведением hu, vi= Ni=1 ui vi h. Здесь h > 0 –шаг разностной сетки, z = (z1 , z2 , . . . , zN −1 ) – заданная дискретная траектория, а yi = yi (u) –решение разностной схемы yi+1 −2yi +yi−1− yi = −ui , i = 1, 2, . . . , N − 1,h2y0 = 0,yN = 0.12.(5) В пространстве L2 (0, `) найти первые производные квадратичных функционаловZZZ `2|y(T, x; u) − f (x)|2 dx,J(u) =|y(t, x; u) − f (t, x)| dt dx и J(u) =0Qзаданных на решениях y = y(t, x; u) второй краевой задачи для уравнения теплопроводности:yt = yxx , (t, x) ∈ Q = (0, T ) × (0, `),yx | x=0 = 0, yx | x=0 = 0, 0 < t < T,yt | t=0 = u(x), 0 < x < `.13.(5) Пусть H – гильбертово пространство, L – его замкнутое подпространство.
Доказать, чтооператор метрического проектирования из H на L является линейным ограниченным самосопряженным оператором (оператором ортогонального проектирования из H на L).14.(4) Пусть x0 – фиксированный элемент из H, x0 + L – соответствующее замкнутое линейноеаффинное многообразие. Доказать, что тогда p = prx0 +L h в том и только в том случае, когдаp ∈ x0 + L,hp − h, `iH = 0 ∀` ∈ L.15.(3) Вычислить проекции точек на гиперплоскость {u ∈ H | hc, uiH = β} в гильбертовомпространстве H и на параллелепипед {u = (u1 , ..., un ) ∈ Rn | αi ≤ ui ≤ βi , i = 1, ..., n} в Rn .16.(3) Выписать явное выражения для шага αk метода скорейшего спуска в задаче минимизацииквадратичного функционала J(u) = 21 hAu, uiH − hf, uiH (A∗ = A ≥ 0).17.(3) Найти все угловые точки множества U = {u ∈ R4 | u ≥ 0, Au = b}, 1 1 3 13A=, b=,1 −1 1 21и исследовать их на невыpожденность.18.(5) Доказательство теоремы отделимости точки от непустого выпуклого множества в Rn .19.(5) Пусть A ∈ L(H → F ), пространства H, F – гильбертовы.
Доказать, что тогдаF = ImA ⊕ kerA∗ , H = ImA∗ ⊕ kerA.20.(3) Пусть H – гильбертово пространство, отображение G(u) = (g1 (u), ..., gn (u)) : H → Rnдифференцируемо по Фреше и G0 (u) = (g10 (u), ..., gn0 (u)) ∈ L(H → Rn ) – его первая производная.Доказать, что сопряженный к G0 (u) оператор (G0 (u))∗ ∈ L(Rn → H) действует по правилу0∗(G (u)) λ =nXλi gi0 (u),λ = (λ1 , ..., λn ) ∈ Rn .i=121.(4) Множество M в R2 задано уравнением M = {x = (x1 , x2 )|F (x) = 0}, где F (x) = x21 − x42 .Найти множество T0 M касательных векторов к M в точке 0 = (0, 0) и ядро KerF 0 (0).
Верно лиравенство T0 M = KerF 0 (0)?22.(4) С помощью правила множителей Лагранжа решить задачу минимизации квадратичного функционала J(u) = hAu, uiH на сфере kukH = 1 в гильбертовом пространстве H. ЗдесьA ∈ L(H → H), A = A∗ ≥ 0 (если dim H = ∞, существование решения предполагается).23.(4) Построить вторую двойственную задачу к канонической задаче линейного программирования и показать, что она совпадает с исходной задачей.24.(4) Построить двойственную задачу к задаче минимизации1J(u) = kuk2 → inf,2Au = f,где A ∈ L(H → Rn ), f ∈ Rn , H – гильбертово пространство.25.(4) Решить задачу оптимального управленияRTJ(u) = 0 (−x(t) + u2 (t)) dt → inf,x0 (t) = u(t), 0 < t < T, x(0) = x0 ; |u(t)| ≤ a.Рассмотреть случаи а) T > 2a > 0 и б) 0 < T < 2a.RT26.(5) Показать, что функционал J(u) = 0 x2 (t) dt, где x(t) = x(t; u) – решение задачи Кошиx0 (t) = u(t),0 < t < T,x(0) = 0,не является сильно выпуклым в пространстве L2 (0, T ).27.(4) В пространстве R2 найти нормальное решение u∗ системы линейных уравнений Au = f,где u = (u1 , u2 ), Au = (2u1 + u2 , 2u1 + u2 ), f = (5, 5).
Для системы с приближенным операторомe = (2u1 + u2 , (2 − δ)u1 + u2 ), δ > 0, найти экстремалиAuue = argmin Tα (u)u∈R2e − f k2 + αkuk2 и исследовать их на сходимость к u∗ прифункционала Тихонова Tα (u) = kAuδ → 0 и значениях параметра регуляризации а) α = 0 (регуляризация не проводится), б) α = δ.Некоторые задачи из письменных контрольных работ 2008/2009 уч.
года1.(5) Пусть y = y(t, x; u) – решение следующей начально-краевой задачи для параболическогоуравнения, отвечающее граничному управлению u = u(t) ∈ L2 (0, T ) :yt = yxx ,0 < t < T, 0 < x < l,y|x=0 = u(t),y|x=l = 0, 0 < t < T,y|t=0 = 0, 0 < x < l.Найдите первую производную Фреше J 0 (u) терминального квадратичного функционалаZJ(u) =l|y(T, x; u) − f (x)|2 dx,0используя известный общий результат J 0 (u) = 2A∗ (Au−f ). Опишите правила действия взаимносопряженных операторов A и A∗ .2.(5) Пусть y = y(t, x; u) – решение следующей начально-краевой задачи для параболическогоуравнения c управлением u = u(x) ∈ L2 (0, π) в начальном условии:yt = yxx ,0 < t < T, 0 < x < π,y|x=0 = 0,y|x=l = 0, 0 < t < T,y|t=0 = u(x), 0 < x < π.Покажите, что квадратичный функционалZπJ(u) =0 Z T21y(t, x; u) dt − f (x) dxT0с целевой функцией f (x) ∈ L2 (0, π) дифференцируем по Фреше на всем пространстве L2 (0, π) инайдите его первую производную J 0 (u), используя известный общий результатJ 0 (u) = 2A∗ (Au − f ), где1(Au)(x) =TZTy(t, x; u) dt : L2 (0, π) → L2 (0, π).0Опишите правило действия сопряженного к A оператора A∗ с помощью сопряженной краевойзадачи.
Является ли оператор A ограниченным? Является ли функционал J(u) сильно выпуклым?3.(5) Примените классический метода Ньютона с постоянным шагом αk = 1 к задаче минимизации без ограничений в гильбертовом пространстве H, dim H = ∞ :J(u) = kuk4 + 8 ku − 4f k2 → inf,u ∈ H,где f ∈ H, kf k = 1. В качестве начального приближения возьмите u0 = −f. Найдите следующиеприближения. Остановите процесс при первом попадании во множество оптимальных решений.4.(5) В пространстве L2 (0, l) поставлена следующая задача минимизации с ограничением:ZJ(u) =l|u(x)|2 dx + y 0 (0) → inf,0y(l) = −l2.12Здесь y(x) = y(x; u) – решения краевой задачиy 00 (x) = u(x),0 < x < l,y(0) = 0,y 0 (l) = 0,соответствующие функциям u = u(x) ∈ L2 (0, l).
С помощью правила множителей Лагранжа найдите нижнюю грань функционала J∗ , множество оптимальных решений U∗ и значениемножителя Лагранжа λ∗ , отвечающего за ограничение. Представьте объяснения по поводу регулярности задачи и возможности выбора λ∗0 = 1 ..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
