Методы оптимизации. Конспект лекций (Буряков) (2010) (1125393), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ðèñ.)u(s) + h(s) = uε (s) =Òîãäà ðàçíîñòü∆u H(s)v, åñëè s ∈ [t − ε; t + ε],u(s) äëÿ îñòàëüíûõ s.áóäåò íåíóëåâîé òîëüêî íà ýòîì îòðåçêå:t+εw∆u H(s) ds + O khk2L1 > 0t−ε75u6u(s)qVq-v∈V(t0Ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òîεεçàìåíàêîíñòàíòîé)-TtO khk2L1 = O(ε2 ),khkL1 =t+εwsòàê êàê|u(s) − v| ds = O(ε).t−εÐàçäåëèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå íàtèç èíòåðâàëà(t0 , T )ïîëó÷àåìε è óñòðåìèâ ε ê íóëþ, â ïðåäåëå äëÿ ïî÷òè âñåõ(11).Îá èñïîëüçîâàíèè ïðèíöèïà ìàêñèìóìàÇàìåòèì, ÷òî èñïîëüçóÿ ïðèíöèï ìàêñèìóìà, ìû, ïî ñóòè, ïåðåõîäèì îò áåñêîíå÷íîìåðíîé çàäà÷è ê êîíòèíóóìó êîíå÷íîìåðíûõ çàäà÷.
(Ïàðàìåòðtìîæíî ñ÷èòàòü ïðè ýòîìíîìåðîì çàäà÷è.) Èíîãäà ýòî ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü ðåøåíèå, èíîãäà íåò. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà äà¼ò íàì ëèøü íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ íà îïòèìàëüíîñòü, òî åñòü óïðàâëåíèÿ, åìóóäîâëåòâîðÿþùèå, íà ñàìîì äåëå åñòü ëèøü ïîäîçðèòåëüíûå íà îïòèìàëüíîñòü óïðàâëåíèÿ.Ïðåäïîëîæèì, ÷òîu(t, x, ψ) îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, íà êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ (11).Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ åãî â íàøè óñëîâèÿ, èìååì ñèñòåìó: 0x (t) = f (x(t), u (t, x(t), ψ(t)) , t)x(t0 ) = x00ψ(t) = −Hx (x(t), u (t, x(t), ψ(t)) , t) , t, ψ(t))ψ(T ) = −ϕ (x(T ))2n äèôôåðåíöèàëüíûõ2n êðàåâûõ óñëîâèé.
Ê ñîæàëåíèþ, ýòî èìåííî êðàåâàÿ çàäà÷à, ñ óñëîâèÿìèâ t0 , à â T, ê òîìó æå îíà íåëèíåéíî çàâèñèò îò òðàåêòîðèè x(t).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x(t),ψ(t) ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû. Òîãäà óïðàâëåíèå u(t, x(t), ψ(t))Ïîëó÷àåì êðàåâóþ çàäà÷ó ïðèíöèïà ìàêñèìóìà, â êîòîðîéóðàâíåíèé èíåáóäåò ÿâëÿòüñÿ ïîäîçðèòåëüíûì íà îïòèìàëüíîñòü.Ïðèìåð.(íà ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà)76Ýòîò ïðèìåð óæå ïðèâîäèëñÿ íàìè êàê êîììåíòàðèé ê Òåîðåìå 9, òåïåðü ìû âîñïîëüçóåìñÿ äðóãèì ñïîñîáîì ðåøåíèÿ. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèèJ(u) =w4x(t) + u2 (t) dt → min,0V = [−1, 1],x0 (t) = u(t),x(0) = 0.0 < t < 4,Äëÿ ýòîé çàäà÷è â íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõf 0 = x + u2 , f = u, ϕ = 0, H = (x + u2 ) + ψu,ãäåψ(t)óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþÐåøàÿ ýòî óðàâíåíèå, ïîëó÷àåìψ 0 (t) = 1,ψ(4) = 0.ψ(t) = 4 − t.Îòñþäà èç(11)ñëåäóåò, ÷òî ïîäîçðè-òåëüíûì óïðàâëåíèåì ÿâëÿåòñÿ2u = u(t, x, ψ) = argmin(x + v + ψv) =−16v61−1, åñëè t ∈ [0, 2),t− 2, åñëè t ∈ [2, 4].2Íà ñàìîì äåëå ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷åííîå óïðàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì(èç òåîðåìû Âåéåðøòðàññà).Ëèíåàðèçîâàííûé ïðèíöèï ìàêñèìóìà.
Ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà(1) ê óñëîâèÿì (2) óñëîâèÿ íà ãëàäêîñòü: fu , fu0 Ëèïøèö-íåïðåðûâíûíåïðåðûâíû ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ (x, u, t). Îáîçíà÷èì ýòè óñëîâèÿ (2u).Äîáàâèì â çàäà÷åïîuèÒîãäà àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì âûêëàäêàì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî∆u H(t) = H (x(t), u(t) + h(t), t, ψ(t)) − H (x(t), u(t), t, ψ(t)) == hHu (x(t), u(t), t, ψ(t)) , h(t)iRr + Ru .ÄëÿRuâ ñèëó íàøèõ ïðåäïîëîæåíèé ñïðàâåäëèâà îöåíêà:|Ru | 6 L |h(t)|2 .È äëÿ(10)ìû ïîëó÷àåì âûðàæåíèå:J(u + h) − J(u) =wThHu (x(t), u(t), t, ψ(t)) , h(t)iRr dt + Okhk2L1+Lt0wT|h(t)|2 dt.t0Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ýòîé ñóììå åñòü íîðìà2æåííàÿ íà êîíñòàíòó L, òî åñòü O khkL2 .77hâ ïðîñòðàíñòâåL2â êâàäðàòå, óìíî-Âòîðîå ñëàãàåìîå òàêæå ìîæíî ñ÷èòàòükhk2L1 =wTO khk2L2 ,!21· |h(t)| dtwT6t0wT!1 dt ·t0|È ïî îïðåäåëåíèþòàê êàê!2|h(t)| dtt0{z=constJ 0 (u) = Hu (x(t), u(t), t, ψ(t))} |{z=khk2 2}L(îòîæäåñòâëåíèå ïî Ðèññó).Òåîðåìà 31.Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ Òåîðåìû 26 è óñëîâèÿ (2u).
Òîãäà J(u) äèôôåðåíöèðóåìàïî Ôðåøå â L2 è å¼ ïðîèçâîäíàÿ èìååò âèäJ 0 (u) = Hu (x(t), u(t), t, ψ(t)) .Åñëè, êðîìå òîãî, u(t) îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå â çàäà÷å (1), òî íåîáõîäèìî âûïîëíÿåòñÿ ëèíåàðèçîâàííûé ïðèíöèï ìàêñèìóìà:hHu (x(t), u(t), t, ψ(t)) , u(t)iRr = min hHu (x(t), u(t), t, ψ(t)) , viRr .(15)v∈VÓïðàæíåíèå 24 (4).8Äîêàçàòü ëèíåàðèçîâàííûé ïðèíöèï ìàêñèìóìà(15).Ðåãóëÿðèçàöèÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ ïî ÒèõîíîâóÍàïîìíèì, ÷òî ýêñòðåìàëüíàÿ çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëàJ(u)íàçûâàåòñÿ êîð-ðåêòíî ïîñòàâëåííîé â ñëó÷àå, êîãäà1)J∗ñóùåñòâóåò (êîíå÷íî);2) ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé3) èç òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòüU∗íå ïóñòî;J(uk ) (uk äîïóñòèìû)uk ñõîäèòñÿ ê u∗ .ñõîäèòñÿ êJ∗ñëåäóåò, ÷òîñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàâèñèìîñòè îò òèïà ñõîäèìîñòèuk → u∗ êîððåêòíîñòü çàäà÷è ìîæåò áûòü, ñîîòâåò-ñòâåííî, ñèëüíîé è ñëàáîé. Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòè òèïû êîððåêòíîñòèíå ýêâèâàëåíòíû.Ïðèìåð.(ñëàáî êîððåêòíàÿ çàäà÷à, íå ÿâëÿþùàÿñÿ ñèëüíî êîððåêòíîé)Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè:J(u) =wTx2 (t) dt → inf,x0 (t) = u(t), 0 < t < T,x(0) = 0,0u ∈ U = {u ∈ L2 (0, T ) | u(t) ∈ [−1; 1]78ïî÷òè âñþäó}Ðàíåå áûëî äîêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâîà ôóíêöèîíàë(J∗J(u)U(ïàðàëëåëåïèïåä âL2 ) ñëàáûé êîìïàêò,ñëàáî ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó.
Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî= 0), îïòèìàëüíîé ÿâëÿåòñÿ òî÷êà u∗ = 0 è, áîëååU = {0} 6= ∅. Òàêèì îáðàçîì, ïóíêòû 1) è 2) âòî÷êè:òîãî,UJ∗ > −∞ñîñòîèò èç îäíîé ýòîéîïðåäåëåíèè êîððåêòíîñòè âû-ïîëíÿþòñÿ. Ïî Òåîðåìå 2 ïîëó÷àåì, ÷òî çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ ñëàáî êîððåêòíî ïîñòàâëåííîé.Äîêàæåì, ÷òî îíà íå ñèëüíî êîððåêòíî ïîñòàâëåíà.Áåð¼ì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüuk (t) = sinÒîãäà ñîîòâåòñòâóþùèåxkπktT∈ C∞ [0, T ] ⊂ L2 (0, T ) ⇒ uk ∈ U.ñõîäÿòñÿ êTxk (t) =πk0:πkt k→∞1 − cos⇒ 0.T|{z}62Òî åñòü,J(uk ) → 0 = J∗ ,íî â òîæå âðåìÿ ñõîäèìîñòè ïîkuk − u∗ k2L2 = kuk − 0k2L2 =ukíåò:T k→∞9 0.2È çàäà÷à íå ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî êîððåêòíî ïîñòàâëåííîé.Ïåðåéä¼ì ê òåìå ïóíêòà.
Ïóñòü, êàê îáû÷íî, òðåáóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷ó ìèíèìèçàöèèJ(u) → inf,u ∈ U ⊆ H,(1)íî ïðè ýòîì ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èçâåñòíî ëèøü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ôóíêöèèJ(u)(U çàäàíî òî÷íî). Ïîëîæèì, ÷òî îòëè÷èå èçâåñòíîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè îò èñòèííîãîóäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó˜ − J(u)| 6 δ 1 + kuk2H ,|J(u)δ > 0,∀u ∈ U.2Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îøèáêà ìîæåò áûòü äîâîëüíî áîëüøîé íà ïåðèôåðèè, íî äîñòàòî÷íà ìàëà, åñëèuáëèçêî ê0.Âûáîð òàêîãî ðîäà îãðàíè÷åíèÿ îáóñëîâëåí ñëåäóþùèìè ðàññóæäåíèÿìè. ÐàññìîòJ(u) = kAu−f k2F (A ∈ L(H → F), f ∈ F). Åñëè ïîðîæäàþùèé îïåðàòîð˜çàäàí íåòî÷íî ñ íåêîòîðîé îøèáêîé kà − Ak 6 h, J(u)= kÃu − f k2F , òî äëÿ ñîîòâåòñòâó-ðèì ôóíêöèîíàëþùèõ êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèîíàëîâ îøèáêà ïðèíèìàåò âèä˜ − J(u)| 6 h· max kf k2 , 1 + h + 2kAk · 1 + kuk2 6 δ 1 + kuk2 ,|J(u)FHHòî åñòü ïîëó÷àåì(2) (ýòó îöåíêó ìîæíî ïîëó÷èòü èç òîãî, ÷òî kAu−ÃukF 6 kA−Ãk·kuk).À.
H. Òèõîíîâ â 1960-õ ãîäàõ ïðåäëîæèë ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ðåøàòü ïîäîáíîãî ðîäàçàäà÷è. Ñóòü ìåòîäà â òîì, ÷òî îò èñõîäíîé çàäà÷è ìû ïåðåõîäèì ê ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷åñëåäóþùåãî âèäà:˜ + α·kuk2 → inf,Tα (u) = J(u)79α > 0,u ∈ U.(3)ÔóíêöèîíàëTαíàçûâàþòôóíêöèîíàëîì Òèõîíîâà. α íåêèé ñòàáèëèçèðóþùèéôóíêöèîíàë.Ïðè ïåðåõîäå ê òàêîé çàäà÷å íàì äîñòàòî÷íî íàéòè òàêîåTα (ũ) 6 inf Tα (u) + ε,u∈Uũ ∈ U,÷òîε > 0.(4)Ïóñòü â çàäà÷å (1) J∗ > −∞, U 6= ∅, ìíîæåñòâî U âûïóêëî è çàìêíóòîâ ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H, ôóíêöèîíàë J(u) âûïóêë è ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó, âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (2), ũ âûáèðàåòñÿ ïî ïðàâèëó (4), ïàðàìåòðû δ, α, ε ñòðåìÿòñÿ ê 0,→ 0.
Òîãäàïðè÷¼ì δ+εα˜J(ũ)→ J∗ , kũ − u∗ kH → 0,Òåîðåìà 32.ãäå u∗ = argmin kukH íîðìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è (1).u∈U∗Äîêàçàòåëüñòâî.Èç óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâîÒåîðåìå 10 ïîëó÷àåì, ÷òîU∗âûïóêëî è çàìêíóòî âH,îòñþäà ïîu∗ ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà (u∗ = prU∗ (0)).(4) ñóùåñòâóåò ðåøåíèå ũ, òî åñòü inf Tα (u) > −∞:Äîêàæåì, ÷òî ó çàäà÷èu∈U˜ + αkuk2 = J(u)˜ + αkuk2 ± J(u) > {(2)} >Tα (u) = J(u)> −δ 1 + kuk2 + J(u) + αkuk2 > J∗ − δ + (α − δ)kuk2 > J∗ − δ > −∞,÷òî è òðåáîâàëîñü.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè ïî ôóíêöèè çàïèøåì öåïî÷êó íåðàâåíñòâ:J∗ = J(u∗ ) 6 J(ũ) 6 J(ũ) + αkũk2 6 {(2)} 6 T (ũ) + δ 1 + kũk2 6 {(4)} 66 inf Tα (u) + ε + δ 1 + kũk2 .u∈UÏî îòíîøåíèþ êTαòî÷êàu∗ÿâëÿåòñÿ ðÿäîâîé, ïîýòîìóïîëó÷åííîå âûðàæåíèå íå ïðåâîñõîäèòinf Tα (u) 6 Tα (u∗ ).
Îòñþäàu∈UJ(u∗ ) + δ 1 + ku∗ k2 + αku∗ k2 + ε + δ 1 + kũk2 = J∗ + (2δ + ε) + (δ + α)ku∗ k2 + δkũk2 .Èç ýòîé öåïî÷êè íåðàâåíñòâ èìååì(α − δ)kũk2 6 J∗ − J(ũ) + (2δ + ε) + (δ + α)ku∗ k2 .Òîãäà, âçÿâ âåðõíèé ïðåäåë îò îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå,δ+ε→ 0, ïîëó÷àåì÷òîαlim kũk2 6 1·ku∗ k2 .(5)Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â âûøåïðèâåä¼ííîé öåïî÷êå è ó÷èòûâàÿ(5)(â ïîñëåäíåì ðàâåí-ñòâå), ïîëó÷àåì ñõîäèìîñòü ïî ôóíêöèè:˜lim J(ũ) = lim J(ũ)= J∗ .80(6)Äîêàæåì òåïåðü ñõîäèìîñòü ïî àðãóìåíòó.
Èçñëåäîâàòåëüíîñòüũ,(5)ðåìû âèäíî, ÷òî ôóíêöèîíàëJJ(u0 ) 6 lim J(ũ) = {(6)} = J∗ .Ìíîæåñòâî(òàê êàêu∗âÈç óñëîâèÿ òåî-ku0 k2 6 lim kũk2 6 {(5)} 6 ku∗ k2 ,åäèíñòâåííà).Èç ïðèâåä¼ííûõ ðàññóæäåíèé äåëàåì âûâîä, ÷òî âñ¼ ñåìåéñòâîu∗ .H.U âûïóêëî è çàìêíóòî, ñëåäîâàòåëüíî, îíîu0 ∈ U, íî òîãäà u0 ∈ U∗ , òî åñòü u0 îïòè-ìàëüíîå ðåøåíèå.2Ôóíêöèÿ kuk ñëàáî ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó, çíà÷èòu0 = u∗u0ñëàáî ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó, îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òîñëàáî çàìêíóòî. Èç ýòîãî ïîëó÷àåì, ÷òîîòñþäàñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîäïî-êîòîðàÿ ñëàáî ñõîäèòñÿ ê íåêîé òî÷êåũñëàáî ñõîäèòñÿ êÄëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñèëüíîé ñõîäèìîñòè ïåðåéä¼ì â ðàâåíñòâåkũ − u∗ k2 = kũk2 − 2 hũ, u∗ i + ku∗ k2êâåðõíåìó2lim kũk 6ïðåäåëó. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ ñëàáóþku∗ k2 , ïîëó÷àåì ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëàÒåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.81ñõîäèìîñòülim kũ − u∗ k2ũ → u∗ è òî, ÷òî= 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü.AÏðîãðàììà êóðñà 2002/2003 ó÷åáíîãî ãîäà1. Ìåòðè÷åñêèé âàðèàíò òåîðåìû Âåéåðøòðàññà îíèìèçàöèèïîëóíåïðåðûâíîãîñíèçóñèëüíîéôóíêöèîíàëàêîððåêòíîñòè çàäà÷è ìè-íàêîìïàêòíîììíîæåñòâå.Íåäîñòàòî÷íîñòü óñëîâèé îãðàíè÷åííîñòè è çàìêíóòîñòè.2.
Âàðèàíò òåîðåìû Âåéåðøòðàññà îñëàáîéêîððåêòíîñòè çàäà÷è ìèíèìèçàöèèñëàáîïîëóíåïðåðûâíîãî ñíèçó ôóíêöèîíàëà íà ñëàáî êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ (áåç äîêàçàòåëüñòâà) ñëàáîé ïîëóíåïðåðûâíîñòè è ñëàáîé êîìïàêòíîñòè. Ñëàáàÿ ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëà. Ñëàáàÿ êîì2ïàêòíîñòü ïàðàëëåëåïèïåäà â L (a, b).3. Ñóùåñòâîâàíèåðåøåíèÿçàäà÷èìèíèìèçàöèèòåðìèíàëüíîãîêâàäðàòè÷íîãîôóíêöèîíàëà íà ðåøåíèÿõ ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
