Методы оптимизации. Конспект лекций (Буряков) (2010) (1125393), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

. , λ0m+s ) ∈ Rs ,òî â êà÷åñòâå èñêîìîãî âåêòîðà ìîæíîâçÿòüλ∗ = (λ∗0 = 0, . . . , λ0k−1 = 0, λ∗k = 1, λ∗k+1 = λ0k+1 , . . . , λ∗m = λ0m ,λ∗m+1 = −λ0m+1 , . . . , λ∗m+s = −λ0m+s ).Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.Óïðàæíåíèå 21 (5).Äîêàçàòü, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäàA ∈ L(H → F), H, F ãèëüáåð-òîâû ïðîñòðàíñòâà, ñïðàâåäëèâû ðàçëîæåíèÿ:F = im A ⊕ ker A∗ ,H = im A∗ ⊕ ker A.(Çàìå÷àíèå: â áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå çàìûêàíèÿ ïèñàòü íåîáõîäèìî.)Îïèøåì òåïåðü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å.  ñëó0s÷àå êîãäà im G (u∗ ) = R è ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò h ∈ H, ÷òî1)G0 (u∗ )[h] = 0;2)hgi0 (u∗ ), hi < 0 ∀i = 1, m,òî â ëþáîì íàáîðå ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæàλ0 6= 0.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò íàáîð, â êîòîðîìóòâåðæäåíèÿi)λ0 = 0.

Òîãäà èçÒåîðåìû 24 èìååìm+sXλi gi0 (u∗ ) = 0.i=1Óìíîæèì ýòî ðàâåíñòâî ñêàëÿðíî íàmXi=1Ïîëó÷àåì, ÷òîλi = 0h:λi hgi0 (u∗ ), hi +|{z}>0|{z2) ⇒ <0äëÿ ëþáîãîm+sX}m+sXi=m+1i = 1, mλi hgi0 (u∗ ), hi = 0.| {z }1) ⇒ =0èλi gi0 (u∗ ) = 0 ∀u ∈ H.i=m+1Ñëåäîâàòåëüíî,À òàê êàê∗(G0 (u∗ )) [(λm+1 , .

. . , λm+s )] , u = 0 ∀u ∈ H.im G0 (u∗ ) = Rs , ìû ïîëó÷àåì, ÷òî λm+1 = . . . = λm+s = 0, òî åñòü âñå λi = 0.Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò íàøå óòâåðæäåíèå.68Òåîðåìà 28. Ïóñòü â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé òåîðåìû âñå ôóíêöèè äâàæäû íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìû ïî Ôðåøå â îêðåñòíîñòè Uε (u∗ ) è ïðè λ∗ = (1, λ∗1 , . . . , λ∗m+s ) ∈ Rn+m+1âåðíû óòâåðæäåíèÿ i), ii), iii). Ïóñòü u∗ ∈ U , è îïåðàòîð L00uu > 0 (â òîì ñìûñëå, ÷òî∀ h ∈ H hL00uu h, hi > Kkhk2 ). Òîãäà u∗ - òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà.Äîêàçàòåëüñòâî.Äëÿ ëþáîãî u ∈ U ∩ Uε (u∗ )âåðíî ñîîòíîøåíèå:J(u) = 1 · J(u) + 0 + 0 >mm+sXX> J(u) +λ∗i gi (u) +λ∗i gi (u) = L(u, λ∗ ) = L(u, λ∗ ) − L(u∗ , λ∗ ) + L(u∗ , λ∗ ) =i=1i=1= hL0u (u∗ , λ∗ ), u − u∗ i +1 00hL (u∗ λ∗ ), u − u∗ i + o(ku − u∗ k2 ) + L(u∗ , λ∗ ).2 uuÓ÷èòûâàÿ ñâîéñòâî ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëííîññòè âòîðîé ïðîèçâîäíîé, èìååì∗J(u) > L(u∗ , λ ) = J(u) +mXλ∗i gi (u∗ )u ∈ U ∩ Uε (u∗ ), u∗Óïðàæíåíèå 22 (4).∗A = A > 0.ÏóñòüHλ∗i gi (u∗ ) > J(u∗ ),m=1i=1è, â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè+m+sX- òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà.

ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî,A ∈ L(H → H),Ðåøèòü ñ ïîìîùüþ Òåîðåìû 24 çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè:J(u) = hAu, ui → inf, kuk2H = 1.( ñëó÷àå áåñêîíå÷íîìåðíîãîHñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ.)Äâîéñòâåííûå ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è ýòîì ïóíêòå ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèèJ(u) → inf,u ∈ U = {u ∈ U0 ⊆ L | g1 (u) 6 0, .

. . , gm (u) 6 0, gm+1 (u) = 0, . . . , gm+s (u) = 0} .(1)äâîé(1):Äëÿ ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷ èíîãäà ëåã÷å ïåðåéòè ê ðåøåíèþ òàê íàçûâàåìûõñòâåííûõ çàäà÷.Îïèøåì ýòîò ïðîöåññ. Ñòðîèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà äëÿ çàäà÷èL(u, λ) = 1·J(u) +m+sXλi gi (u), u ∈ U0 , λ ∈ Λ0 = λ ∈ Rm+s | λi > 0, i = 1, m .(2)i=1Ðàññìîòðèì ôóíêöèþϕ(u) = sup L(u, λ) =λ∈Λ0J(u), åñëè u ∈ U,.+∞, åñëè u ∈ U0 \U69(3)Çàäà÷à(1)ðàâíîñèëüíà çàäà÷å ìèíèìèçàöèè íà ðàñøèðåííîì ìíîæåñòâå:ϕ(u) → inf,u ∈ U0 .(4)Ââîäèì ôóíêöèþψ(λ) = inf L(u, λ).(5)u∈U0Îïðåäåëåíèå.Çàäà÷àψ(λ) → sup,íàçûâàåòñÿäâîéñòâåííîéÒåîðåìà 29.ê èñõîäíîé çàäà÷åλ ∈ Λ0(6)(1).Âñåãäà âåðíû íåðàâåíñòâà:ψ(λ) 6 ψ ∗ 6 ϕ∗ = J∗ 6 ϕ(u),∀λ ∈ Λ0 , ∀u ∈ U0 .(7)Äëÿ òîãî, ÷òîáûψ ∗ = ϕ∗ , U∗ 6= ∅, Λ∗ 6= ∅,(8)íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû L(u, λ) èìåëà ñåäëîâóþ òî÷êó íà U0 × Λ0 ; U∗ × Λ∗ ìíîæåñòâî âñåõ ñåäëîâûõ òî÷åê.Äîêàçàòåëüñòâî.Óòâåðæäåíèå (7)ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿϕ(u)èψ(λ).Äîêàæåì, ÷òî èç (8) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ñåäëîâîé òî÷êè.

Âîçüì¼ì ëþáûåλ∗ ∈ Λ∗ . Äëÿ íèõ âåðíà öåïî÷êà íåðàâåíñòâ:u∗ ∈ U∗ ,ψ ∗ = ψ(λ∗ ) = inf L(u, λ∗ ) 6 {U∗ ⊆ U0 } 6 L(u∗ , λ∗ ) 6 sup L(u∗ , λ) = ϕ(u∗ ) = ϕ∗ .u∈U0Òàê êàêϕ∗ = ψ ∗ ,λ∈Λ0âñå íåðàâåíñòâà ïðåâðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà è ìû èìååì:L(u∗ , λ) 6 sup L(u∗ , λ) = L(u∗ , λ∗ ) = inf L(u, λ∗ ) 6 L(u, λ∗ ),u∈U0λ∈Λ0Òî åñòü∀λ ∈ Λ0 , ∀u ∈ U0 .(u∗ , λ∗ ) ñåäëîâàÿ òî÷êà.∗Èòàê ìû äîêàçàëè, ÷òî U∗ × Λ ñîäåðæèòñÿ âî ìíîæåñòâå ñåäëîâûõ òî÷åê.∗Òåïåðü ïðîâåä¼ì äîêàçàòåëüñòâî îáðàòíîãî âëîæåíèÿ. Ïóñòü òî÷êà (u∗ , λ ) ñåäëîâàÿ äëÿ ôóíêöèèL.Äîêàæåì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ(8).Íàì èçâåñòíî, ÷òîL(u∗ , λ) 6 L(u∗ , λ∗ ) 6 L(u, λ∗ ) ∀λ ∈ Λ0 , ∀u ∈ U0 .Âçÿâsupïîλèinfïîu,ïîëó÷èìϕ∗ 6 {u∗ ∈ U0 } 6 ϕ(u∗ ) 6 L(u∗ , λ∗ ) 6 ψ(λ∗ ) 6 {λ∗ ∈ Λ0 } 6 ψ ∗ 6 {(7)} 6 ϕ∗ .Λ∗Îòñþäà èìååì, ÷òî u∗ îïòèìàëüíûé ýëåìåíò è6= ∅, ϕ∗ = ψ ∗ è òåîðåìà äîêàçàíà.70λ∗ îïòèìàëüíûé ýëåìåíò,U∗ 6= ∅,Ïðèìåð.

(ψ ∗ < ϕ∗ ,ñåäëà íåò)Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëJ(u) = e−uíà ìíîæåñòâåU = {u ∈ R1 | g(u) = ue−u = 0} = {0}.Èìååì,J∗ = J(0) = 1 = ϕ∗ ,U∗ = {0} =6 ∅,L(u, λ) = 1·e−u + λue−u = e−u (1 + λu), 0, åñëè λ = 0,1−∞, åñëè λ > 0,Λ0 = R , ψ(λ) = −1+ 1λ , åñëè λ < 0.λeÒî åñòüψ ∗ = 0 = ψ(0), Λ∗ = {0} =6 ∅Ïðèìåð. (ψ ∗ = ϕ∗ , U∗ 6= ∅, Λ∗ = ∅,Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëJ(u) = −uèϕ∗ > ψ ∗ .ñåäëà íåò)íà ìíîæåñòâåU = {u ∈ R1 | g(u) = u2 6 0} = {0}.Èìååì,ϕ∗ = 0 = J∗ , U∗ = {0} =6 ∅,2L(u, λ) = 1·(−u) + λu , λ ∈ Λ0 = {λ > 0}, ψ(λ) =Òî åñòüψ ∗ = 0,íî ìíîæåñòâîΛ∗1− 4λ,−∞,λ > 0,.åñëè λ = 0åñëèïóñòî.Âòîðàÿ äâîéñòâåííàÿ çàäà÷àÂâåä¼ì ïîíÿòèå âòîðîé äâîéñòâåííîé çàäà÷è. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì îäèíÏðèìåð.Ðàññìîòðèì ìèíèìèçàöèþ ôóíêöèèJ(u) = u2íà ìíîæåñòâåU = {g(u) = u2 − 1 6 0} = [−1, 1].Èìååì:J∗ = ϕ∗ = 0, U∗ = {0} =6 ∅,L(u, λ) = u2 + λ(u2 − 1)Ïîëó÷àåìψ(λ) = −λ,åñëèλ > −1(â íàøåì ñëó÷àåÒåïåðü ïîñòàâèì äâîéñòâåííóþ çàäà÷ó êλ > 0).ψ(λ):ψ(λ) = −λ → sup, ψ ∗ = 0 = ψ(0), Λ∗ = {0} =6 ∅.λ>0Ïåðåéä¼ì ê çàäà÷å íà ìèíèìóì (J(v)= −ψ(v)):J(v) = v → inf, v > 0,71(v := λ)v ∈ V = {v ∈ R1 = V0 | g(v) = −v 6 0}Îòñþäà ïîëó÷àåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà:L(v, µ) = 1·v + µ(−v), µ > 00, åñëè µ = 1,ψ(µ) =.−∞, åñëè µ 6= 1Îïðåäåëåíèå.Çàäà÷à ìàêñèìèçàöèè ôóíêöèèψ(µ)ïðèäâîéñòâåííîé çàäà÷åé.µ > 0íàçûâàåòñÿâòîðîéÏðèâåä¼ííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî âòîðàÿ äâîéñòâåííàÿ çàäà÷à íå âñåãäà ñîâïàäàåò ñ èñõîäíîé.Óïðàæíåíèå 23 (4).Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàíîíè÷åñêîé çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàì-ìèðîâàíèÿ âòîðàÿ äâîéñòâåííàÿ çàäà÷à ñîâïàäàåò ñ èñõîäíîé.7Ïðîñòåéøàÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.Ïðèíöèï ìàêñèìóìà ÏîíòðÿãèíàÏîñòàíîâêà çàäà÷è ýòîé ãëàâå ìû êîñí¼ìñÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè, êîòîðóþ ïðèíÿòî íàçûâàòü çàäà÷åéòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.îï-Áîëåå ïîäðîáíî ýòîò âîïðîñ îñâåùàåòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùåìêóðñå, ìû æå ðàññìîòðèì åãî, èñõîäÿ èç íàøèõ ïîòðåáíîñòåé. îáùåì âèäå ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:J(u) =wTf 0 (x(t), u(t), t) dt + ϕ(x(T )) → inft0x0 (t) = f (x(t), u(t), t)u ∈ U = {u(t)Ôóíêöèîíàëf0ïî÷òè âñþäó äëÿ èçìåðèìà ïî Ëåáåãóïðèíÿòî íàçûâàòüt0 < t < T, x(t0 ) = x0 ,| u(t) ∈ V ⊆ Rrèíòåãðàíòîì,äëÿ ïî÷òè âñåõà ôóíêöèîíàëϕ(1)t}òåðìèíàíòîì.÷òî â òàêîé ïîñòàíîâêå îòñóòñòâóþò ôàçîâûå îãðàíè÷åíèÿ íà x(t)n(x(t) ∈ G ⊆ R ), ÷òî îáëåã÷àåò íàì èññëåäîâàíèå çàäà÷è.00Ïðåäïîëîæèì ñóùåñòâîâàíèå f, fx , f , fx , ϕ, ϕx èõ íåïðåðûâíîñòü ïî t, è Ëèïøèöníåïðåðûâíîñòü ïî x è u íà R × V × [t0 ; T ].

( ïðèíöèïå ìîæíî îáîéòèñü áåç ËèïøèöÇàìåòèì,íåïðåðûâíîñòè, íî ïðè ýòîì ìíîãèå âûêëàäêè çíà÷èòåëüíî óñëîæíÿþòñÿ.)  äàëüíåéøåìáóäåì ññûëàòüñÿ íà ïîäîáíîå ñóùåñòâîâàíèå îòìåòêîé(2).Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà-Ïîíòðÿãèíà. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà ýòîì ïóíêòå ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ñëåäóþùåãî âèäà:H(x, u, t, ψ) = f 0 (x, u, t) + hψ, f (x, u, t)iRn ,72íàçûâàåìîé ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà-Ïîíòðÿãèíà.Ââåä¼ì ðÿä îáîçíà÷åíèé:∆J = J(u + h) − J(u),∆x = x(t, u + h) − x(t, h),∆f 0 = f 0 (x(t, u + h), u(t) + h(t), t) − f 0 (x(t, u), u(t), t) .Ïðåîáðàçóåì∆J(u)òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðèíöèï ìàêñèìóìà.∆J =wT∆f 0 dt + ∆ϕ.(3)t0Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé, èìååì∆ϕ = hϕx (x(T ) + θ∆x(T )) ± ϕx (x(T )), ∆x(T )iRn = hϕx (x(T )) , ∆x(T )iRn + Rϕ ,ãäåθ ∈ [0, 1], Rϕ íåêîòîðûé îñòàòîê.Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì∆J =wT∆f 0 dt + hϕx (x(T )) , ∆x(T )iRn + Rϕ .(4)t0Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèåψ(T ) = ϕx (x(T )) .(5)Òîãäàhϕx (x(T )) , ∆x(T )i = hψ(T ), ∆x(T )i = {∆x(t0 ) = 0} = hψ(T ), ∆x(T )i − hψ(t0 ), ∆x(t0 )i =wTwTwT d0=hψ(t), ∆x(t)i dt = hψ (t), ∆x(t)i dt + hψ(t), ∆x0 (t)i dt.dtttt000Òàêèì îáðàçîì, èìååì∆J =wT∆H dt +t0wThψ 0 (t), ∆x(t)i dt + Rϕ .(6)t0Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé è ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ,ïðåäñòàâèì∆Hâ íåñêîëüêî èíîì âèäå:∆H = (H (x(t, u + h), u + h, t, ψ) − H (x(t, u), u + h, t, ψ)) ++ (H (x(t, u), u + h, t, ψ) − H (x(t, u), u, t, ψ)) == hHx (x(t) + θ(t)∆x(t), u + t, t, ψ) , ∆x(t)i + ∆u H,ãäåθ ∈ [0; 1],à ÷åðåç∆u Hîáîçíà÷åíî âòîðîå ñëàãàåìîå.73Ïðîäîëæàÿ öåïî÷êó ðàâåíñòâ, ïîëó÷àåì∆H = hHx (x, u, t, ψ), ∆x(t)i + ∆u H + RH (t),ãäåRH (t) íåêèé îñòàòîê, ñâÿçàííûé ñ∆J =wTwT∆u H dt +H(.

. .).Èìååì:0hψ + Hx , ∆xi dt +RH (t) dt + Rϕ .(7)t0t0t0wTÏîòðåáóåì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâîψ 0 (t) = −Hx (x(t), u(t), t, ψ(t)).Ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ âûðàæåíèå∆J =wT∆u H dt +t0wT(7)(8)ïðåîáðàçóåòñÿ âRH (t) dt + Rϕ .(9)t0Îöåíèì îñòàòêè â ýòîì âûðàæåíèè. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïðîèçâîäíóþ ïðèðàùåíèÿx:∆x0 (t) = ∆f (t),∆x(t0 ) = 0.t0 < t < T ;Ïåðåéä¼ì ê ýêâèâàëåíòíîé èíòåãðàëüíîé ôîðìå:∆x(t) =wt∆f (τ ) dτ.t0Òîãäà èç óñëîâèÿ Ëèïøèöà ïîëó÷èì:k∆x(t)kRn 6 Lwtk∆x(τ )kRn dτ + Lt06Lwtk∆x(τ )kwtt0Rndτ + Lt0wTk h(τ ) kRr dτ 6|{z}=∆u(τ )kh(τ )kRr dτ.t0Ïî ëåììå Ãðîíóîëà-Áýëëìàíà èìååì:k∆x(t)kRn 6 LkhkL1 (t0 ;T ) exp {L(t − t0 )} .Âîçüì¼ì ìàêñèìóì ïîtîò îáîèõ ÷àñòåé ýòîãî íåðàâåíñòâà:k∆x(t)kC[t0 ;T ] 6 constkhkL1 (t0 ;T ) = O (khkL1 ) .Òîãäà äëÿ îñòàòêàRϕ ,èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ Ëèïøèöà è ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ îöåíêó:|Rϕ | = |hϕx (x(T ) + θ∆x(T )) − ϕx (x(T )) , ∆x(T )iRn | 66 {θ ∈ [0; 1]} 6 Lk∆x(T )k2Rn = O khk2L174RH (t).Îöåíèì îñòàòîêRH (t) = hHx (x(t) + θ(t)∆x(t), u(t) + h(t), t, ψ(t)) − Hx (x(t), u(t) + h(t), t, ψ(t)) , ∆x(t)iRn(2) ïîëó÷àåìTwwT RH (t) dt 6 L kθ(t)∆x(t)kRn (1 + kψkC ) k∆x(t)kRn dt. ñèëó íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî è óñëîâèét0È òàê êàêψt0íåïðåðûâíà è ïðîìåæóòîê îãðàíè÷åí, òîTw RH (t) dt = O khk2L1 .t0Èç îöåíîê îñòàòêîâ ïîëó÷àåì ôîðìóëó∆J =wT∆u H dt + Okhk2L1 (t0 ;T ).(10)t0Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì îñíîâíóþ òåîðåìó ïóíêòà.Ïóñòü äëÿ çàäà÷è (1) âûïîëíÿþòñÿóñëîâèÿ (2), u(t) îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, x(t) ñîîòâåòñòâóþùàÿ îïòèìàëüíàÿòðàåêòîðèÿ, ψ(t) ðåøåíèå ñîïðÿæ¼ííîé çàäà÷è (5), (8).

ÒîãäàÒåîðåìà 30 (ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà).H (x(t), u(t), t, ψ(t)) = min n H (x(t), v, t, ψ(t))v∈V ⊆R(11)äëÿ ïî÷òè âñåõ t.Äîêàçàòåëüñòâî.Èç òîãî, ÷òî u(t) îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ äîïóñòèìûõh∆J = J(u + h) − J(u) > 0,îòñþäàwT∆u H(t) dt + O khk2L1 > 0,∀h ∈ L1 : u + h ∈ Ut0Ïðèìåíèì ìåòîä èãîëü÷àòûõ âàðèàöèé, çàìåíèâ îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå íà íåêîòîðîì îòðåçêå[t − ε; t + ε]ïîñòîÿííîév(ñì.

Характеристики

Список файлов лекций