Методы оптимизации. Конспект лекций (Буряков) (2003) (1125388), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Евклидово пространство H, полное относительно метрикиpρ(u, v) = hu − v, u − viH ,называется ги́льбертовым. В дальнейшем буквой H будем обозначать гильбертовы пространства.Упражнение 3 (3). Доказать, что C[a, b] является евклидовым пространством соRbскалярным произведением hu, vi = u(t)v(t) dt, но не является гильбертовым.aПример. (ограниченное замкнутое множество в гильбертовом бесконечномерномпространстве, не являющееся компактом)7Рассмотрим единичный шар U = {u ∈ H : kukH 6 1}.
Возьмём любую ортонормированную систему {ek }∞k=1 (здесь важен факт бесконечномерности пространства). Так какнорма ek равна единице, то ek ∈ U. В случае, когда k 6= m, имеем:kek − em k2H = hek − em , ek − em i = 1 − 2 hek , em i + 1 = 2.Отсюда следует, что последовательность {ek } не является фундаментальной, следовательно, никакая её подпоследовательность также не является фундаментальной.Примеры гильбертовых пространств:1. H = Rn , hu, vi =nPui v i ;i=12.
H = l2 , u = (u1 , u2 , . . . , un , . . .), u ∈ l2 ⇔nPu2i < ∞, hu, vi =i=1∞Pui v i ;i=13. H = L2 (a, b) — замыкание класса C[a, b] по норме kukL2 =sRb|u(t)|2 dt — являетсяaгильбертовым пространством. (Возможно альтернативное определение класса L2 :множество измеримых по Лебегу на (a, b) функций f (t) таких, что f 2 (t) интегрируемы на (a, b) по Лебегу).Определение. Последовательность {uk }nk=1 ⊂ H называется слабо сходящейся к элеслабоменту u0 ∈ H(uk → u0 ), если ∀h ∈ H huk , hiH → hu0 , hiH при k → ∞.Замечание.
Из сходимости в метрике H следует слабая сходимость, но не наоборот.⇒kuk − u0 kH → 0 ⇒ ∀h | huk , hiH − hu0 , hiH | = | huk − u0 , hiH | 66 {нер-во Коши-Буняковского} 6 kuk − u0 kH · khkH → 0;| {z } | {z }→0const: рассмотрим любую ортонормированную систему {ek }∞k=1 ;∀h ∈ H∞Xhh, ek iH 2 6 {нер-во Бесселя} 6 khk2H < ∞.k=1Необходимым условием сходимости этого ряда является hh, ek i2 → 0 при k → ∞ ⇒слабоhh, ek i → 0 = hh, 0i . Имеем ek → 0, но kek − 0kH = kek kH = 1 9 0.Определение.
Множество U называется слабо компактным (слабым компактом),если у любой последовательности {uk } из U существует подпоследовательность {ukm },слабо сходящаяся к точке u0 ∈ U.Замечание. Из того, что множество U является компактом, следует, что оно является слабым компактом, но не наоборот. Например единичный шар в H представляетслабый компакт, но компактом не является.8Определение. Функция J(u) называется слабо непрерывной (слабо полунепрерывной снизу) в точке u0 , если для любой слабо сходящейся к u0 последовательности {uk }существует пределlim J(uk ) = J(u0 )k→∞( lim J(uk ) > J(u0 ))k→∞Замечание.
Из слабой непрерывности функции J(u) следует её “обычная” непрерывность, но не наоборот.Теорема 2 (слабый вариант теоремы Вейерштрасса). Пусть H — гильбертовопространство, U — слабый компакт в H, функция J(u) слабо полунепрерывна снизу наU. Тогда:1) J∗ > −∞;2) U∗ 6= ∅;3) любая слабая предельная точка любой минимальной последовательности принадлежит множеству U∗ (минимальная последовательность есть такая последоk→∞вательность {uk }, что J(uk ) → J∗ ).Доказательство.Аналогично Теореме 1 (провести самостоятельно).Определение. Задачи, удовлетворяющие условиям Теоремы 2 называют слабо корректно поставленными в M.Определение. Множество U называется выпуклым, если точка αu + (1 − α)v принадлежит множеству U для любых u и v из U и любого α из отрезка [0, 1].quqvuqqvUвыпуклое множествоневыпуклое множествоРис. 3: к определению выпуклости множестваОпределение.
Функция J(u) называется выпуклой на выпуклом множестве U, еслидля любых точек u и v из множества U и для любого α из отрезка [0, 1] выполняетсянеравенство J(αu + (1 − α)v) 6 αJ(u) + (1 − α)J(v).Достаточное условие слабой компактности в HЕсли множество U выпукло, замкнуто и ограничено, то U слабо компактно (без доказательства).966-vвыпуклая функцияu-невыпуклая функцияРис. 4: к определению выпуклости функцииДостаточное условие слабой полунепрерывности снизу в HЕсли функция J(u) выпукла и полунепрерывна снизу на множестве U, то J(u) слабополунепрерывна снизу на этом множестве (без доказательства).Приведём несколько примеров.1) Рассмотрим линейный функционал J(u) = hc, uiH , где c ∈ H.
Он является слабонепрерывным, что следует из определения слабой сходимости.2) Рассмотрим квадратичный функционал J(u) = kAu−f k2F , где A ∈ L(H → F) — линейный ограниченный (непрерывный) оператор; H, F — гильбертовы пространства;f ∈ F.Покажем выпуклость и непрерывность (а, как следствие, и полунепрерывностьснизу) функционала J(u), тем самым, согласно достаточному условию, мы докажемего слабую полунепрерывность снизу.a) (выпуклость) Для любых v, u ∈ U и любого α из отрезка [0, 1] имеем:kA(αu + (1 − α)v) − f k2F = {т.к.
A -линейный} == kα(Au − f ) + (1 − α)(Av − f )k2F 6 {неравенство 4} 66 (αkAu − f kF + (1 − α)kAv − f kF )2 6 {т.к. функция y = x2 выпуклая} 66 αkAu − f k2F + (1 − α)kAv − f k2Fчто и требовалось.вHb) (непрерывность) Пусть uk → u при k → ∞, тогда, так как A — непрерывный,вFAuk − f → Au − f. Отсюда в силу непрерывности k·k (неравенство КошиБуняковского) следует, что kAuk − f kF → kAu − f kF , то есть непрерывностьфункционала J(u).Замечание. Функционал J(u) = kuk2 (A = I, f = 0, H = F ) слабо полунепрерывен снизу, но не является слабо непрерывным.
(для любой ортонормированнойслабо2системы {ek }∞k=1 en → 0 при n → ∞, но ken k = 1 6= 0).103) Докажем, что множество U = {u ∈ H | kAu − f k2F 6 R2 }, где H, F — гильбертовыпространства, A — обратимый оператор, действующий из H в F, f ∈ F, R > 0(невырожденный эллипсоид), является слабым компактом. Для этого воспользуемся достаточным условие слабой компактности. Доказательство выпуклости и замкнутости множества U не представляет особого труда (сделать самостоятельно).Докажем его ограниченность:∀u ∈ U kuk = kA−1 Auk = kA−1 (Au − f ) + A−1 f k 6 {неравенство 4} 66 kA−1 (Au − f )k + kA−1 f k 6 kA−1 k·kAu − f k + C 66 C1 ·kAu − f k + C 6 C1 R + C ≡ constчто и требовалось.Замечание. Шар U = {kuk 6 R} (A = I, f = 0) представляет собой слабыйкомпакт, но компактом не является.4) Рассмотрим “параллелепипед” в L2 (a, b), то есть множествоп.в.п.в.U = {u(t) ∈ L2 (a, b) | α(t) 6 u(t) 6 β(t), t ∈ (a, b)},α(t), β(t) ∈ L2 (a, b) заданы (например, константы).a) Докажем ограниченность U:kuk2L2 =Zb|u(t)|2 dt 6aZb(max{|α(t)|, |β(t)|})2 dt ≡ R2a(здесь мы учитывали, что функция max{|α(t)|, |β(t)|} ∈ L2 (a, b)).b) Замкнутость U следует из свойств интеграла Лебега (см., например, [КФ,гл.VII, §2,п.5])c) Доказательство выпуклости U предоставляется сделать самостоятельно.Из пунктов a),b),c) следует, что “параллелепипед” в L2 (a, b) есть слабый компакт.Упражнение 4 (3).
Доказать, что “параллелепипед” в L2 (a, b) не является компактом (при условии α < β почти всюду).2Элементы дифференциального исчисленияв нормированных пространствахПроизводная ФрешеОпределение. Пусть X, Y — нормированные пространства, F : X → Y. Отображение Fназывается дифференцируемым по Фреше́ [Frechet] в точке x0 , еслиF (x0 + h) = F (x0 ) + F 0 (x0 )h + o(khkX ) ∀h ∈ X,11где F 0 (x0 ) ∈ L(X → Y) — линейный оператор (производная Фреше), причёмko(khkX )kY→ 0 при khkX → 0.khkXПроизводные более старших порядков определяются рекурсивно.В случае, когда X = H — гильбертово, Y = R1 , имеем:J(u0 + h) = J(u0 ) + J 0 (u0 )h + o(khkH ).J 0 (u0 ) ∈ H∗ = L(H → R1 ) — пространство линейных непрерывных функционалов над H,сопряжённое к H.Теорема (Рисс).
[КФ, гл. IV, §2, п.3]Пространство H изоморфно сопряжённому пространству H∗ : H w H∗ , т.е. для любогоэлемента f из H∗ существует единственный элемент hf из H такой, чтоf (h) = hhf , hiH ∀h ∈ H,причёмkf kH∗ = khf kH(без доказательства).Замечание. Если у функции J(u) : H → R1 существует вторая производная J 00 (u),то приращение функции J(u) в точке u0 представимо в виде:J(u0 + h) = J(u0 ) + hJ 0 (u0 ), hi +1 00hJ (u0 )h, hi + o(khk2 ).2Упражнение 5 (5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
