Методы оптимизации. Конспект лекций (Буряков) (2003) (1125388), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Вариант теоремы Вейерштрасса о слабой корректности задачи минимизации слабополунепрерывного снизу функционала на слабо компактном множестве. Достаточные условия (без доказательства) слабой полунепрерывности и слабой компактности. Слабая полунепрерывность снизу квадратичного функционала. Слабая компактность “параллелепипеда” в L2 (a, b).3.

Существование решения задачи минимизации терминального квадратичногофункционала на решениях линейной динамической системы.4. Существование решения задачи минимизации интегрального квадратичного функционала на решениях линейной динамической системы.5. Элементы дифференциального исчисления в нормированных пространствах.

Первая и вторая производные квадратичного функционала. Теорема о производнойсложной функции (без доказательства).6. Первая и вторая производные терминального квадратичного функционала на решениях линейной динамической системы.7. Первая и вторая производные интегрального квадратичного функционала на решениях линейной динамической системы.8. Выпуклые функции. Теорема о локальном минимуме.

Критерии выпуклости дляфункций, имеющих первые и вторые производные.9. Сильно выпуклые функции. Критерий сильной выпуклости для функций, имеющих первые и вторые производные. Условия сильной выпуклости квадратичногофункционала.10. Вариант теоремы Вейерштрасса о сильной корректности задачи минимизациисильно выпуклого слабо полунепрерывного снизу функционала на выпуклом замкнутом множестве.11. Условие оптимальности для дифференцируемого функционала в форме вариационного неравенства.

Применение к модельной задаче оптимального управления.12. Проекция точки на множество. Существование и единственность проекции на выпуклое замкнутое множество в гильбертовом пространстве. Характеризация проекции вариационным неравенством. Свойство нестрогой сжимаемости операторапроектирования. Проекционная форма критерия оптимальности.13. Метод скорейшего спуска. Оценка скорости сходимости для сильно выпуклыхфункций.7514.

Метод скорейшего спуска для квадратичных функционалов. Явные расчётные формулы для шага спуска. Непрерывный аналог метода скорейшего спуска. Оценкаскорости сходимости для сильно выпуклых функций.15. Метод проекции градиента. Оценка скорости сходимости метода проекции градиента с постоянным шагом для сильно выпуклых функций.16. Метод условного градиента. Оценка скорости сходимости для сильно выпуклыхфункций.17.

Метод Ньютона. Оценка скорости сходимости для сильно выпуклых функций.18. Метод сопряжённых направлений в Rn для квадратичных сильно выпуклых функционалов; сходимость за конечное число шагов. О реализации метода в случаефункционалов общего вида.19. Метод покоординатного спуска в Rn . Сходимость для выпуклых дифференцируемых функций. Существенность условия дифференцируемости.20. Каноническая задача линейного программирования; её эквивалентность общей задаче линейного программирования.

Критерий угловой точки для канонической задачи.21. Симплекс-метод для канонической задачи линейного программирования.22. Метод штрафных функций для задачи минимизации с ограничениями видаu ∈ U0 ⊂ H, g1 (u) 6 0, . . . , gm (u) 6 0, gm+1 (u) = 0, . . . , gm+s (u) = 0.Сходимость для слабо полунепрерывных снизу функционалов.23.

Правило множителей Лагранжа для выпуклых задач минимизации с ограничениями видаu ∈ U0 ⊂ H, g1 (u) 6 0, . . . , gm (u) 6 0.Теорема Куна-Таккера.24. Достаточное условие регулярности Слейтера для выпуклых задач минимизации сограничениями видаu ∈ U0 ⊂ H, g1 (u) 6 0, . . . , gm (u) 6 0.Седловая форма теоремы Куна-Таккура для регулярного случая. Пример нерегулярной задачи.25. Правило множителей Лагранжа для гладких задач минимизации с ограничениямивидаg1 (u) 6 0, . . .

, gm (u) 6 0, gm+1 (u) = 0, . . . , gm+s (u) = 0.Доказательство для вырожденного случая. Достаточные условия регулярности.7626. Правило множителей Лагранжа для гладких задач минимизации с ограничениямивидаg1 (u) 6 0, . . . , gm (u) 6 0, gm+1 (u) = 0, . .

. , gm+s (u) = 0.Доказательство для невырожденного случая. Теорема Люстерника (без доказательства).27. Двойственные экстремальные задачи. Теорема о свойствах решений двойственныхзадач. Примеры.28. Простейшая нелинейная задача оптимального управления со свободным правымконцом. Вывод формулы приращения функционала с оценкой остаточных членовв L1 (t0 , T ).

Принцип максимума Понтрягина.29. Простейшая нелинейная задача оптимального управления со свободным правымконцом. Вывод формулы приращения функционала с оценкой остаточных членовв L2 (t0 , T ). Градиент функционала. Линеаризованный принцип максимума.30. Пример слабо, но не сильно корректной задачи минимизации. Сильная сходимостьметода регуляризации Тихонова в гильбертовом пространстве.77Список литературы[В1] Васильев Ф. П.

Методы оптимизации. — М.: Факториал Пресс, 2002.[В2] Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука,1980(1988).[В3] Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981.[КФ] Колмогоров А. Н., Фомин С.В. Элементы теориии функций и функциональногоанализа. — М.: Наука, 1976.[АТФ] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимимальное управление.

—М.: Наука, 1979.78.

Характеристики

Список файлов лекций