Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Тогда 8 (х, у, и, с) =К.у+К„и+К +1= — (с — 1) и+1, Е,св(с, Т) = Ы сп1 Е ( (х,зпэн У, и, с) = — ! С вЂ” 1)+1 пРи всех Т и Т)0, Е (хо (С), У (С), ио(С), С) то — ! С вЂ” 1(+ 1; ) Ю (хо (С), уо (С), ио (С), С) ССС вЂ” ) оюСп(с, Т) с!с = ) (!— о о т — ) С вЂ” 1!) С(С <2 — Т=Т' — Т для всех Т(0(Т(Т' = 2); о(х, у, Тс — К(х, у, Т) =0 при (х, у) сну (Т), о(хо (То), у (То), Т") =о с„, К (х, у, 0) =1 при (х, у) си 0(0) = Х(0, Т) =((1, 0)), К (хо (0), уо (0), 0) = 1 = К Кроме того, очевидно, формула (1) длн данной задачи будет справед- лива при всех допустимых управлениях и траекториях.
В силу теоремы 5 момент Т* = 2 и пара ((хо ( ), уо (.)), ио (.)) являются оптимальными. За- метим, что функция Беллмана в этой аадаче имеет разрывы первой произ- водной именно на оптимальной траектории (17, 65], в то время как функция Кротова К(х, с) является просто многочленом. ДИНАМИЧБСКОБ ИРОГРАММИРОВАНИБ 530 1ГЛ.
7 В заключение упомянем, что функции Беллмана, Кротова тесно связаны с функцией Ляпунова, широко используемой в теории устойчивости 9). п р а ж н е н и я. 1. Рассмотреть задачу минимизации функции Т у(и(.)) =) (и (с) — хг(с))агс при условиях х(0) =х(Т) =О. Показать, е что пара (и„(с) — = О, ха (с) — = 0) нвлнется оптимальной при 0 < Т ( и.
У к а э а н и е: функцию Кротова искать в виде К(х, с) = гр (с) х'. 2. С помощью принципа максимума найти подозрительные на оптимальность управления и траектории, а затем доказать их оптимальность для следующей задачи быстродействия: наибыстрейшим образом перевести точку (хь у,) иэ заданного состояния в начало координат (О, 0), предполагая, что движение точки подчиняется одному из следующих условий: а) х(с) = у(с), у(с) = и(с), и(с) ш у(с) = (и щ Е'с )и) < 1) 0 < с < Т; б) х(с) = у(с), у(с) = — хЯ + иЯ, и(с) ш у(с) = (и ш Е~: (и) < 1), 0<с<Т; в) х(с) = у(с) + и(с), у(с) = — (с) + и(с), (и(с), е(с)) си у(с) = = ((и, и) ги Е г ) и) < 1, (о( < 1), О ~ с < Т.
У к а з а н и е: функцию Кротова искать в виде К(х, с) = г)~(с)*+ фг(с) у 3. Перевести точку (х, у, г) ш Е' из начала координат (О, О, О) в точку (а, О, 0) быстрейшим образом, если хЯ =у(с), у(с) =г(с), г(с) =и(с), и(с) гм у(с) = (и гие'. ~ и) < 1) (О < с < т); а = соней показать, что оптимальное время Т" = (32) а() пг. У к а э ание: функцию Кротова искать в виде К(х, с) = ф1(с)х+ грг(с) у+ г(гг(с)г. 4. Рассмотреть задачу минимизации функции Т ~(ге' Т' о' Я) ) г (х(С)' (С)' С) с)С+ СРе( (Со)' Се) +~(х(Т)' Т) з прп условиях (13] — (16). Для этой задачи сформулировать и доказать теоремы, аналогичные теоремам 1 — 4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Алексеев Б.
М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи.— Мз Наука, 1984.— 288 с. 2. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — Мз Наука, 1979. — 432 с. 3. А ш м а н о в С. А. Линейное программирование.— Мз Наука, 1981.— 304 с. 4. Б ах валов Н. С., Жидков Н.
П., Кобельков Г. М, Численные методы.— Мз Наука, 1987.— 600 с. 5. Бублик Б. Н,, Кириченко Н. Ф. Основы теории управления.— Киев: Вища школа, 1975.— 328 с. 6. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных аадач.— Мз Наука, 1981.— 400 с. 7. Га 6 а сов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации.— Минск: Иад-во БГУ, 1981.— 352 с. 8. Е в т уш е нк о Ю.
Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации.— Мз Наука, 1982.— 432 с. 9. 3 у б о в В. И. Лекции по теории управления.— Мл Наука, 1975.— 496 с. 10. Ильин В. А., С а до винчи й В. А., Се и доз Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс.— Мз Изд-во МГУ, 1985.— 660 с. 11. Карманов В. Г. Математическое программирование.— Мл Наука, 1986.— 288 с. 12. Ляшенко И. Н., Карагодова Е. А., Черникова Н. В., Шор Н. 3. Линейное и нелинейное программирование.— Киев: Вища школа, 1975.— 372 с. 13.
М а р ч у к Г. И. Методы вычислительной математики.— Мл Наука, 1980.— 536 с. 14. М о и с е е в Н. Н. Злементы теории оптимальных систем.— Мз Наука, 1975.— 528 с. 15, Моисеев Н. Н., Ив а нилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации.— М.; Наука, 1978.— 352 с. 16. Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследование операций в аадачах и упражнениях.— Мз Высшая школа, 1986.— 287 с.
17. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов.— Мз Наука, 1976.— 392 с. 18. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.— Мз Наука, 1980.— 320 с. 19. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах.— Мл Наука, 1975.— 320 с. списОк литиРАтуры 532 20.
Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.— Мл Наука, 1978.— 592 с. 21. С у х а р е в А. Г., Т и м о х о в А. В., Ф е д о р о в В. В. Курс методов оптимизации.— М.: Наука, 1986.— 328 с. 22. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач.— Мл Наука, 1986.— 288 с. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 23. Абрамов Л. М., Капустин В. Ф. Математическое программирование.— Лл Иэд-во ЛГУ, 1981.— 328 с. 24.
Аваков Е. Р. Условия экстремума для гладких задач с ограничениями типа равенств // Журн. вычислит. матем. и матем. физики.— 1985.— Т. 25, № 5.— С. 680 — 693. 25. Акул и ч И. Л, Математическое программирование в примерах и аадачах.— Мл Высшая школа, 1986.— 319 с. 26. Алексеев О. Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации.— Мл Наука, 1987.— 248 с.
27. Альбер Я. И., Ш иль ман С, В. Метод обобщенного градиента: сходимость, устойчивость и оценки погрешвости // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.— 1982.— 'Г. 22, № 4.— С. 814 — 823. 28. Анрион Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальвом управлении.— Мл Наука, 1979.— 208 с. 29. Анти пик А. С.
Методы нелинейного программирования, основанные иа прямой и двойствеияой модификации функции Лагранжа.— Мл Иад-во Всесоюзного иаучво-исследовательского института системных исследований, 1979. — 74 с. 30. А оки М. Введение в методы оптимизации. — Мл Наука, 1977. — 344 с. 31. Арутюнов А В. О необходимых условиях оптимальности в аадаче с фазовыми ограничениями // ДАН СССР.— 1985.— Т. 280, № 5.— С. 1033 — 1037.
32. Арутюнов А. В., Мар даков М. Дж. К теории оптимальных процессов с запаздываниями // Дифференциальвые уравнения.— 1986.— Т. 22, № 8.— С. 1291 — 1298. 33. Астафьев Н. Н. Линейные неравенства и выпуклость.— Мл Наука, 1982.— 152 с. 34. Ахиев С. С. О необходимых условиях оптимальвости для систем фувкциоиальво-дифферевциальных уравнений // ДАН СССР.— 1979.— Т. 247, № 1.— С.
М вЂ” 14. 35. Ашм апов С. А. Введение в математическую экономику.— Мл Наука, 1984.— 296 с. 36. Аще пк о в Л. Т. Оптимальное управление линейвыми системами.— Иркутск: Изд-во ИГУ, 1932.— 116 с. 37. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление разрыввыми системами.— Новосибирск: Наука, 1987. — 226 с. 38. А щ е п к о в Л. Т., Б е л о в Б. И., Б у л а т о в В. П., В а с и л ь е в О. В.. Срочно В. А., Тарас ел ко Й. В.
Методы решения задач математического программирования и оптимального управления.— Новосибирск: Наука, 1984.— 234 с. 39. Бабенко К. И. Основы численвого анализа.— Мл Наука, 1986.— 744 с. 40. Б агри ков ский К. А., Бусыгин В. П. Математика плаковых решений.— Мл Наука, 1980.— 224 с. 41. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы.— Мл Мир, 1982.— 584 с. 42. Б а куши некий А. Б.
Итерационные регуляризующие алгоритмы для нелинейных задач // Журн. вычисл. матем. и метем. физики,— 1987.— Т. 27, № 4.— С. 617 — 621. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 533 43. Б а н и ч у к Н. В. Оптимизация форм упругих тел.— Мл Наука, 1980.— 256 с. 44.
Банк Б., Белоусов Е. Г., Мандель Р., Черемных Ю. Н., Ш и р о н и н В. М. Математическая оптимиаация: вопросы раарешимости и устойчивости.— Мя Иад-во МГУ, 1986.— 216 с. 45. Б артиш М. Н. Об одном классе методов типа Ньютона // Вестник МГУ. Сер. вычислит. матем. и киберн.— 1987, № 2.— С. 16 — 20. 46. Батищев Д. И. Методы оптимального проектирования.— Мл Радио и связь, 1984.— 248 с. 47.
Батухтин В. Д., Майборода Л. А. Оптимизация раарывных функций.— Мл Наука, 1984.— 208 с. 48. Б ей ко И. В., Бублик Б. Н., 3 низко П. Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации.— Киев: Вища школа, 1983.— 512 с. 49. Беленький В. Э., Волконский В. А., Иванков С. А., Пои а нский А, Б., Шапиро А. Д. Итеративные методы в теории игр и программировании.— Мл Наука, 1974.— 240 с. 50. Б елл пан Р.
Процессы регулирования с адаптацией.— Мл Наука,— 1964.— 360 с. 51. Б ел ол н ив цкий А. А., Рябов А. 1О. Асвмптотнческне оценин решений аадачи оптимального быстродействия вблизи точек излома изохронной поверхности // Журн. вычисл, матем. и матем. физики.— 1986.— Т. 26, № 4.— С.
521 — 535. 52. Б ел о усов Е. Г. Введение в выпуклый анализ и целочисленное программирование.— Мл Иад-во МГУ, 1977.— 196 с. 53. Бе рдышев В. И. Непрерывность мпогозначного отображения, связанного с задачей минимиаации функционала // Изв. АН СССР. Сер. матем.— 1980.— Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
