Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Д о с т а т о ч п о с т ь. Пусть У(и) удовлетворяет одному из неравенств (2). Отправляясь от этого неравенства и проделав предыдущие преобразования в обратном порядке, убеждаемся в том, что У(и) выпукла на )а, Ь]. Нетрудно понять геометрический смысл неравенств (2) (см. рис. 1.3), если вспомпнтгч что (У(и) — У(о))/(и — о) представляет собой угловой коэффициент хорды АВ, соедпшпощей точки А =(и, У(и)) и В=(о, У(о)) на графине функцпп У=У(и). Теорема 2.
Выпуклая на отрезке 1а, Ь] функция У(и) в казкдой внутренней точке и отрезка (а, Ь] неггрерывна и имеет конечггуго правую производпуго 1гш (У (и + /г) — У (и)),'й —.=- У' (и+ О), ь -го конечную левуго производную !Пп (У(и) — У(и — т)),'т=-У'(и — О), эо приче*г У (и — О) < У'(и+ О) при всех и ~(а, Ь). Доказательство. Из теоремы 1 следует, что (У(и) — У(и — т) )/т <(У(и) — У(и — /г))/й < <(У(и+ й) — У(и))/й <(У(и+ т) — У(н))/т (3) при всех т, й, лишь бы 0<й< г п точки и, го~ й, и~тек ж(а, Ь) (рис. 1А).
Неравенства (3) означают, что величина (У(и+ й) — У(и))/й монотонно убывает при убывании й и ограничена снизу, например, величиной (У(и) — У(и — т))/т, не аависящей от й. Отсгода следует существование правой произ- 4О методы ыиннмизлцнн 'Рункцгги ОднОЙ пегемгннон ггл.
г водной 1'(и+ 0). Аналогично доказывается существование левой производной 1 (и — 0). Из (3) при Ь- +О получаем неравенство 1'(и — 0)<1'(и+0). Из существования левой и правой производных следует непрерывность 1(и) при всех аж(а, Ь). Заметим, что на концах отрезка (а, Ь1 выпуклая функция может не иметь соответствующей односторонней производной и, более того, здесь она может терпеть разрыв. Пример 1. Пусть 1(и)=и при 0<и<1, 1(0) = 1(1) = 2. Очевидно, зта функция выпукла на (О, 11, но на концах отрезка терпит разрывы. Пример 2. Функ- выпукла и непрерывна Рис.
1.4 на отрезке 1 — 1, 11, но на концах отрезка не имеет конечных производных У'(1 — 0), 1'( — 1+ 0). Теорема 3. Пусть функция 1(и) выпукла на отрезке [а, Ь1 и имеет конечные производные 1'(а+ 0), 1'(Ь вЂ” 0), Тогда 1'(а + 0) (и — о) < 1(и) — 1(о) < 1'(Ь вЂ” 0) (и — о) (4) при всех и, о (а < и < и < Ь), так что У(и) на 1а, Ь1 удовлетворяет условию Лип>ница (6.1) с постоянной 1 = = шах(!1'(а+ 0)1; !1'(Ь вЂ” 0) 1). Доказательство.
Из теоремы 1 имеем (1(а+ Ь) — 1(а) )/Ь <(1(о) — 1(а) )/(о — а) < <(1(и) — 1(о))/(и — о) <(1(Ь) — 1(и))/(Ь вЂ” о) < < (У(Ь) — 1(Ь вЂ” Ь) ) /Ь для всех Ь>0, а+Ь<и< и<Ь вЂ” Ь, Отсюда при Ь- +О получаем 1'(а + О) < (1(и) — У(о))/(и — о) < 1'(Ь вЂ” О), что равносильно (4) при любых гг, о (а < о < и < Ь). Неравенства (4) остаются верными также и прн о=а или и =Ь, так как при выполнении условия теоремы функцня 1(и) непрерывна во всех точках отрезка 1а, Ь'1 и в (4) можно совершить предельный переход при о — а+ 0 плн и — Ь вЂ” О. Пример 2 повачывает, что конечность величин 1'(а+0), 1'(Ь вЂ” 0) существенна для выполнения условия Липшица (6.1).
Теорема 4. Пусть функция У(и)выпукла на отрезке (а, Ь), а 1(о) — л>абая функция, удовлетворя>ощая неравенствам 1'(о — 0) <1(о) < П(о+ О) при а < о < Ь. Тогда 1(Р) не убы- ВЫПУКЛЫК ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРКЫССННОЙ з зс виет при о сн(а, Ь) и справедливо неравенство 1(и)~1(о)+ с(о) (и — о), и ы [а, Ь). (5) Еслщ кролсе того, У(и) дофференцируема во всех точках отрезка [а, Ь), то У(и)~1(о)+1'(о) (и — о), и ю [а, Ь), (6) при любом о ~ [а, Ь).
Если неравенство (5) (или (6) ) обращается в равенство при некотором и = с си [а, Ь) (с ть о), то 1(и)—= = 1(о)+ с(о) (и — о) при всех и из отрезка [е, о). Д о к а э а т е л ь с т в о. Перепссшем неравенство (с ) в виде 1(о+ я(и — о) ) — 1(о) < я(У(и) — У(о)) (О < я < с). Разделив обе части этого неравенства на я и перейдя к пределу при я — +О, получим 1(и) — 1(о) ~ 1'(о+ 0) (и — о) э ((о) (и — о) при и > о и 1(и) — 1(о) ) У'(о — 0) (и — о) > 1(о) (и — о) при и < о. Неравенство (5) доказано.
Заметим, что прп а < и < Ь переменные и, о в (5) входят равноправно, поэтому, меняя их ролями, получаем 1(о))1(и)+с(и)(о — и) при всех оси[а, Ь). Сложим последнее неравенство с (5) почлевно. Будем иметь (с(и) — с(о)) (и — о)> 0 при всех и, оси(а, Ь), что равносильно монотонному возрастанию С(о). Пусть теперь 1(и) дифференцируема во всех точках и ж ж [а, Ь). Тогда 1'(и + 0) = П (и — 0) = 1'(и) при всех ива[а, Ь), Полагая в (5) с(о)=1'(о), убеждаемся в справедливости неравенства (6) при всех и ж(а, Ь).
Из существования конечных функций 1'(а+0), 1'(Ь вЂ” 0) и из (4) следует, что (6) верно и при о=а, о=Ь. Наконец, пусть 1(с) = У(о)+ 1(о) (с — о) при некотором с ~ [а, Ь) (с т'-' о) . Возьмем произвольную точку и = яе + +(т — я)о из отрезка [с, о). Из выпуклости 1(и) тогда следует, что 1(и)< яУ(с)+(с — я)У(о)= я(У(о)+ с(о) (с — о))+(с— — я)1(о) = 1(о)+ 1(о) (и — о) (и ж [с, о[). Сравнивая это неравенство с (5), заключаем, что 1(и) = 1(о)+ 1(о) (и — о) при всех иск [с, о). График линейной функции У(о)+ У'(о) (и — о) переменной и си [а, Ь) представляет собой касательную к графику 1=1(и) в точке о.
Поэтому неравенство (6) означает, что график любой выпуклой дифференцируемой функции леясит не ниже любой касательпой к нему. Обобщая понятие касательной на случай выпуклых недифференцируемых функций, прямую у(и, о)= =1(о)+ с(о) (и — о), где 1'(о — 0)Ю(о)<У'(о+ 0), татке будем называть касательной к графику 1=1(и) в точке о. Следствие с. Пусть функция 1(и) выпукла >са [а, Ь], Тозда производные 1'(и+ 0), У'(и — 0) монотонно возрастасот при исе(а, Ь) (если существуют конечные функции 1'(а+0), У'(Ь— — 0), то утверждение справедливо на всем отрезке [а, Ь)). 4О МвтОДЫ Мггп»РЗСССЗАЦПСС сг>УССКЦССИ ОДНОЙ ПИРКМВШ10Й СГЛ.
С Доказательство этого утверждения непосредственно следует из теоремы 4, если в пей принять !(о)=1'(и+0) или !(о)= = 1'(о- 0). Теорема 5. Пусть функция 1(и) выпукла на отрезке (а, Ь] и 1ст 1(и) —..= 1(а), 1пп 1(и) =- 1(Ь). Тогда лгнолееепгво (1о о о — 'О о о-о точек ее глобального минпмулса на [а, Ь] непусто и все то ски локального лпснилгума 1(и) принадлезеат его. Для того чпгобы и ен Пю необходимо и достаточно, чтобы 1'(и + 0))0, 1'(иа — 0)(0 (7) (если и„==- а или и„-.= Ь, то (7) заменяется однпм неравенстволс 1 (а+ 0) > 0 плп ] (Ь вЂ” 0) "-0 соответственно).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий па функцию 1(и) и теоремы 2 следует непрерывность 1(п) па (а, Ь]. Согласссо теореме !.! тогда множество Ьсо непусто. !!усть и, — какая-либо точка локального минимума 1(и). Тогда 1(и + Ь) — 1(ио))0 при всех достаточно малых [!с!, для которых по + /с~ [а, Ь[. Разделив зто неравенство па Ь > 0 и Ь < О п устремив Ь к пулю, получим условие (7). Заметим, что существование н конечность 1'(ио ~ 0) ирп а<ив(Ь следует пз тоорепы 2. Если ио =а, то существование и конечность 1'(а+ 0) следует пз того, что (1(а+ Ь)— — 1(а) ) /Ь монотонно убывает при Ь вЂ” +О и ограничена снизу пулем.
Аналогично доказывается существование и конечность 1'(Ь вЂ” 0) прп и„— Ь. Таким образом, показано, что всякая точка ;сокальпого минимума необходимо удовлетворяет условиям (7). Пусть теперь некоторая тссчка ио с=в (а, Ь) удовлетворяет условию (7). Положим в неравенстве (5) п = ио, 1(п) =- 0 и получим, что 1 (и) ) 1 (иь) прп всех и ~ (о, Ь]. Это значит, что ио ~ Г„. Аналогично с использованием неравенств (4) рассматРиваютса слУчаи »со=а илп и»=Ь н показываетсЯ, что ссое=Ьс . Отсю;Са следует, что всякая точка локального минимума выпуклой и непрерывной па [а, Ь] функции явлнется точкой ее глобального минимума на [а, Ь].
Теорома 6. Пусть фунт!ия 1(и) выпуяла на отрезке (а, Ь] и )пп 1(и) =-.1(а), !пп 1(и) =,1(Ь); пусть (с. — мнозкео а-г.о о ь-о ство точек минимума 1(п) на [а, Ь] сс о — некоторая точка (а< о< Ь), Тогда длЯ того чтобы !1о П [а, о1 = И (ьсоП [и Ь] = = ссс), необходимо и достатоюсо высголнения сьеравенства 1'(о+ +0)< 0 (1'(и — 0)>0). Для того чтобы !соП [а,о[Фссс (К»П П [о, Ь! Ф ссс), необходплсо и достаточно, чтобьг 1'(о+ 0) > 0 (1'(о — 0) < 0). Д о и а з а т е л ь с т в о. Д о с т а т о ч п о с т ь. Пусть 1'(п+ 0) < < О. Тогда согласно следствию ! 1'(и+0)< 0 при всех иы(а,о], Из теоремы 5 тогда имеем ьсо П [а с) =-- сьс. Если 1'(о — 0)> О, то аналогично получаем 1'(и — 0)> 0 при всех и ~(о, Ь], так что (1 П [Р,Ь[= 8.
ВЫПУКЛЫВ РУНКЦИП ОДНОЙ ПВРВМГ1П1ОЙ Необходимость. Пусть (У П [а, о].=- [сс. Допустим, что У'(о+ 0) > О. Тогда возможно, что У'(о — 0) < 0 или У'(о — 0) > О. Если У'(о — 0)< О, то из (7) следует, что оен [Уи. Если жо У (о — 0)>0, то по доказанному выше (Уип [о, Ь] = — Я и, следовательно, (Уи[] [а, о]Ф 8. В обоих случаях приходим к противоречию с тем, что Га П [а, о] = — [сс. Это значит, что прп (I [] П [а, о] = ссс яеобходпмо, чтобы У'(о+ 0) < О. Аналогично доказывается, что если (Ув П [о, [с] == йс, то необходимо, чтобы У'(ив — 0)> О.
В справедливости последнего утверждения теоремы 6 легко убедиться рассуя денпем от противного со ссылкой па уже доказанное первое утверждение. Теорема 7. Если функция У(и) выпукла на отрезке [а, Ь] и 1пп Х(и) =-- Х(а), 10Н,У(и) -= Х(Ь), то она унимодальна и а со ь-о на [а, Ь]. Доказательство. Оссозпачим и„=- [с[1(Ув, о =асср(с . Из непрерывности У(и) па [а, Ь] и определения верхней и нижней грани множества (Уи следует, что иа, ои ~ (У„.
Если и =о, то УУ состоит из однои точки и . Если и„(о„, то с учетом выпуклости Х(и) имеем Х = п[1 Х(и)<Х(аи +(1 — а) ги)( ип[адм (аХ(и ); (1 — а) Х(о )) == Х . Это значит, что Х(сси + + (1 — а) о ) = Хв прн всех и ен [О, 1], т. е. (У„=- [и,, ов]. Далее, так как Г~ П [а, о] =- [сс для любого о (а(о<и,), то по теореме 6 имеем У'(о+ 0) < 0 прп а( о< ив. А тогда У' (о+ + 0)<(У(о+ Ь) — У(о))/й< 0 при всех достаточно малых Ь, т. е.
У(и) строго монотонно убывает при и(и(из. Аналогично показывается, что при ои(и(Ь функция У(и) строго монотонно возрастает. Как поназывает пример 1, при нарушении условий теоремы 7 множество Га может быть пустым. Приведем еще несколько примеров. Пример 3. Функция У(и)=и" выпукла па отрезке [ — 1, 1] и множество (Уи состоит нз единственной точки ии — -- О. Пример 4. Функции У(и)=]сс]+ ~и — 1! выпукла па отрезке [ — 1, 2] и множество (Уа представляет собой отрезок 1 и = = [О, 1]. Пример 5. Пусть У(и)=0 при 0< и <1, У(0)= 1.
Функция У(и) выпукла па [О, 1], по множество сс' =(и: 0(и(1) пе является отрезком. Здесь 1ип .У (и) ФХ(0) — нарушено одно из условий теоремы 7. Критерий выпуклости функций, приведенный в теореме 1, но очень удобен для практической проверки. Приведем другие, часто более удобные критерии выпуклости функций. Те о р е и а 8. У(ля того чтобы дифференцируемая функция У(и) на отрезке [а, Ь] была вьспосслой, необходимо и достаточно, чтобы ее произвос7ная У'(и) не уоывала на [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
