Главная » Просмотр файлов » Ю.Н. Тюрин - Лекции по математической статистике

Ю.Н. Тюрин - Лекции по математической статистике (1124591), страница 6

Файл №1124591 Ю.Н. Тюрин - Лекции по математической статистике (Ю.Н. Тюрин - Лекции по математической статистике) 6 страницаЮ.Н. Тюрин - Лекции по математической статистике (1124591) страница 62019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Теорема факторизацииТеорема 2.2. Статистика T = T (X) достаточна для параметра θ, θ ∈ Θ, тогда и только тогда, когдасуществуют функции g(t, θ) и h(x) такие, чтоp(x, θ) = g T (X), θ h(x)(∗)при всех θ ∈ Θ.Замечание:Величина p(x, θ) обозначает либо плотность наблюдения X в точке x, если модель непрерывна, либо вероятность точки x, если модель дискретна. Доказательство проведем отдельно для дискретного случая; в непрерывном случае оно слабо отличается.1◦ Если выполнено (∗), то T = T (X) — достаточная статистика для θ. Надо показать, что P (X|T (X)) независит от θ ∈ Θ.Сначала вычислим:Pθ (T = t) =Pp(x, θ) =x:T (x)=tPg(T (x), θ)h(x) = g(t, θ)x:T (x)=tPh(x).x:T (x)=tТеперь для x такого, что T (x) = t получаем, что:Pθ (X=x,T (X)=t)θ (X=x)= PθP(TPθ (T (X)=t)(X)=t) =h(x)P−результатнезависитотh(x)Pθ (X = x|T (X) = t) =g(T (x),θ)h(x)Pg(t,θ)h(y)y:T (y)=t=T (x)=tθ ∈ Θ.Если же x таково, что T (x) 6= t, то обсуждаемая условная вероятность равна 0, вне зависимости от θ.Достаточность условия (∗) доказана.2◦ Если T — достаточная статистика, то (∗) выполнено.

Если T достаточна, то для таких x, что T (x) = t, идля всех θ ∈ ΘPθ (X = x|T (X) = t) = h(x)- результат не зависит от θ, обозначим его через h(x),илиPθ (X = x, T (X) = t)= h(x).Pθ (T (X) = t)Поскольку T (x) = t, то дробь в левой части есть:Pθ (X = x).Pθ (T (X) = t)ОтсюдаPθ (X = x) = Pθ (T (X) = t)h(x)Обозначив Pθ (T (X) = t) через g(t, θ), получим то, что и требовалось доказать. Заметим, что h(x) — это условная вероятность X при данном T (в точке x), либо h(x) пропорциональна этойусловной вероятности.

Аналогично g(x, θ) лишь постоянным множителем может отличаться от вероятностиPθ (T (X) = t).192.6.6. Пример: линейная модель(a) Линейная (гауссовская) модель — важный объект исследований и приложений. Сначала будет дана ееабстрактная формулировка, а затем одна из конкретных форм.Наблюдаемый объект — вектор X. Сейчас мы считаем его n-мерным: X = (X1 , . .

. , Xn )T — вектор-столбец. Его координаты считаем независимыми случайными величинами, распределенными по нормальномузакону, причем DXi = σ 2 , i = 1, n. Значение σ 2 неизвестно.Относительно EX предположим, что EX, будучи неизвестным, принадлежит заданному линейномуподпространству L, L ⊂ Rn .Если обозначить EX = l, E(X − EX)(X − EX)T = Dθ X = σ 2 I (I — единичная матрица), то X ∼ N (l, σ 2 I),причем l ∈ L, L — задано.(b) Покажем, что достаточной статистикой для (составного) параметра θ = (l, σ 2 ), причем l ∈ L, служит пара(projL X, | projL⊥ X|2 ).

Здесь через projM обозначен оператор проектирования (в евклидовой метрике) наподпространство M ⊂ Rn ; L⊥ обозначает ортогональное дополнение L до Rn , т.е. Rn = L ⊕ L⊥ .Для доказательства достаточно указать плотность X и затем ее преобразовать:p(X, θ) =1√σ 2πn()n1 X2exp − 2(Xi − li )=2σ i=1n112√exp − 2 |X − l| ==2σσ 2πn211 √exp − 2 (projL X − l) + projL⊥ X =2σσ 2πПо теореме Пифагора:|(projL X − l) + projL⊥ X|2 = | projL X − l|2 + | projL⊥ X|2 ,ибо (projL X − l) ⊥ projL⊥ X , т.к. l ∈ L.Поэтому плотность X равнаn11122√exp − 2 | projL X − l| exp − 2 | projL⊥ X|2σ2σσ 2πМы видим, что плотность зависит от статистик projL X и | projL⊥ X|2 , но не от X непосредственно. Этапара и составляет достаточную статистику. (Заметим, что функция h(X) здесь равна 1, точнее — постояннапо отношению к X. Это означает, что условное распределение X при фиксированном значении достаточнойстатистики — равномерное.)(c) Линейная регрессия.

Задача линейной регрессии — одна из частных форм линейной модели. В простейшем случае это задача о подборе функции одного переменного — подборе по неточным наблюдениям(измерениям).Предположим, что две переменные t и x связаны соотношением x = f (t), где f (·) — некоторая функция.При некоторых значениях переменной t (называемой часто фактором) t1 , . . . , tn были произведены измерения переменной x (называемой откликом). Они дали значения x1 , .

. . , xn . При этом xi = f (ti ) + εi , гдеε1 , . . . , εn — некоторые ошибки, сопровождающие измерения. Основное предположение состоит в том, чтомы считаем упомянутые ε1 , . . . , εn независимыми случайными величинами. Менее важные предположения: εi распределены одинаково и распределены по нормальному закону N (0, σ 2 ). Предположение Eεi = 0отражает представление о том, что систематических ошибок при измерении отклика в нашей схеме нет.Величина σ обычно считается неизвестной (необязательно).

Она численно выражает неточность (изменчивость) измерений, т.е. масштаб случайных ошибок.Последнее предположение, превращающее задачу регрессии в линейную: считаем, что f (·) можно (с достаточной аккуратностью) выразить в виде линейной комбинации заданного конечного набора функций(скажем ϕ1 , . .

. , ϕm ): существуют параметры θ1 , . . . , θm такие, чтоf (t) = θ1 ϕ1 (t) + . . . + θm ϕm (t).20В этом случае вектор X = (x1 , . . . , xn )T представляется в виде линейной комбинации векторов:TΦj = ϕj (t1 ), . . . , ϕj (tn ) , j = 1, mи вектора ε случайных ошибок: ε = (ε1 , . . . , εn )T :X=mXθj Φj + ε.j=1Линейное подпространство L, которому заведомо принадлежит вектор EX, в данном случае порожденовекторами Φ1 , . . . , Φm .(d) Нормальная выборка. Рассмотрим выборку x1 , . . . , xn из нормальной совокупности N (a, σ 2 ), где параметры a ∈ R, σ 2 ∈ (0, ∞) неизвестны.

Теорема факторизации помогает найти достаточные статистикидля (a, σ 2 ). Выпишем плотность этой модели (пользуясь независимостью гауссовских случайных величинx1 , . . . , xn ) и преобразуем ее:(" n#)n nnYX1(xi − a)21 X 212√ exp −√=exp − 2x − 2axi + na.2σ 22σ i=1 iσ 2πσ 2πi=1i=1Поскольку плотность зависит от переменных x1 , . . . , xn лишь посредством статистикnPxi иi=1nPi=1x2i , эта параи является достаточной статистикой для (a, σ 2 ). Мы уже обращали внимание на то, что главным в определении достаточной статистики T = T (X) является не ее конкретный вид, а то разбиение выборочногопространства на множества уровня вида {T (X) = const}, которое она производит.

Любая другая статистика, если она порождает то же самое разбиение, тоже является достаточной. В частности, достаточнойокажется любая статистика, находящаяся во взаимно однозначном соответствии с T (X).Для обсуждаемой нормальной выборки предпочитаемой достаточной статистикой служит:nx=n1Xxi ,n i=11 X(xi − x)2n − 1 i=1s2 =Легко видеть, что (x, s2 ) взаимно однозначно связана с (nPi=1xi ,nPi=1x2i ).О преимуществах, которые дает статистика (x, s2 ) перед другими статистиками для (a, σ 2 ), мы подробнеебудем говорить позже. Сейчас же отметим лишь то, что x и s2 несмещенно оценивают a и σ 2 :Es2 = σ 2Ex = a,Заметим, что эти соотношения справедливы для любой, не только гауссовской, выборки (если Dx2i существуют).Выборка из N (a, σ 2 ) является частным случаем линейной модели.

Рассмотрим вектор X = (x1 , . . . , xn )T .Его математическое ожидание равно (a, a, . . . , a)T , и потому принадлежит линейному подпространству L,порожденному вектором (1, . . . , 1)T . Так как координаты вектора X независимы и одинаково распределены,то DX = σ 2 I.

Таким образом, предпосылки линейной модели соблюдены.Достаточные статистики общей линейной модели в данном случае суть:projL X = x(1, 1, . . . , 1)T ,| projL⊥ X| =nXi=1(xi − x)2 = (n − 1)s2 .(e) При обсуждении гауссовской линейной модели мы отмечали, что условное распределение X при фиксированном значении достаточной статистики - равномерное. Из этого обстоятельства можно извлечь интересные следствия. В данном примере упомянутое условное распределение сосредоточено на (n − 2)-мернойсфере:nnXX{y : y ∈ Rn ,yi = x,(yi − y)2 = (n − 1)s2 }i=1i=121Рассмотрим векторY =xn − xx1 − x x2 − x√, √,..., √,s n−1 s n−1s n−1TПри фиксированном значении достаточной статистики (x, s2 ) вектор Y является линейным (и взаимнооднозначным) преобразованием вектора X.

Поэтому условное (при фиксированных x, s2 ) распределениеY тоже является равномерным. Это условное распределение сосредоточено на (n − 2)-мерной единичнойсфере()nnXXn2Sn−2 = y : y ∈ R ,yi = 0,yi = 1 .i=1i=1Теперь заметим, что сказанное условное распределение Y при данных x, s2 — одно и то же (а именноравномерное на Sn−2 ) при любых значениях x, s2 .

Значит:1. вектор Y как случайный элемент не зависит от x, s2 ;2. (безусловное) распределение Y совпадает с условным, т.е. является уже известным равномернымраспределением на Sn−2 .Из сказанного следует, что для нормальной выборки такие (часто применяемые на практике) статистики,34n n PP(xi −x)(xi −x)как выборочная асимметрияивыборочныйэксцессне зависят от (x, s2 ). А ихssi=1i=1распределения не зависят от X и могут быть вычислены (табулированы).Упомянутые статистики обычно в виде выборочного коэффициента асимметрииnβ1 =1X(xi − x)3 /s3n i=1и выборочного коэффициента эксцессаn1Xβ2 =n i=1(xi − x)s4−3могут служить для проверки нормальности имеющейся выборки, т. е.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
708,95 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6532
Авторов
на СтудИзбе
301
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее