Е.П. Долженко - Программа экзамена по комплексному анализу 5 и 6 семестры (1124361)
Текст из файла
Программа экзамена по комплексному анализуЛектор — Е. П. ДолженкоV–VI семестры, 2004–2005 г.V семестрПрограмма экзамена1. Основные понятия.Комплексные числа, комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Многозначные функции и их однозначные ветви на примере аргумента Arg z.
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Метрика и топология комплексной плоскости: последовательностии пределы, бесконечно удалённая точка и расширенная комплексная плоскость, замкнутые и открытыемножества, области, компакты. Пути и кривые на плоскости.
Пример жордановой кривой положительнойплощади, кривая Пеано. Спрямляемые кривые, натуральная параметризация.2. Стереографическая проекция.Формулы стереографической проекции. Хордальная метрика в C. Круговое свойство стереографическойпроекции. Постоянство растяжений. Угол с вершиной в бесконечности. Сохранение углов при стереографическом проектировании. Конформность. Некоторые симметрии сферы Римана и комплексной плоскости.Отображение w = z1 . Другие виды стереографической проекции.3.
Функции комплексного переменного.Предел функции, непрерывность. Модуль непрерывности, его свойства. Дифференцируемость по комплексному переменному, условия Коши – Римана. Правила дифференцирования по комплексному переменному, производная обратной функции. Аналитичность (голоморфность) функции в области и в точке(в том числе в бесконечности). Теорема Лумана – Меньшова (без доказательства).
Формальные производные по переменным z и z, комплексная форма условий Коши – Римана. Понятие о полианалитическихфункциях.4. Геометрический смысл комплексной дифференцируемости, конформность.Сохранение углов и постоянство растяжений в точке a при отображении w = f (z) при условии f ′ (a) 6= 0.Конформные отображения. Теоремы Х. Бора, Д. Е. Меньшова, теорема Римана о конформном отображении, соответствие границ при конформных отображениях, теорема Каратеодори, принцип симметрии Римана – Шварца, условия нормировки конформных отображений (всё без доказательств).5. Целые линейные и дробно-линейные функции, их основные свойства.Конформный гомеоморфизм, круговое свойство, свойство симметрии.
Сохранение сложного отношениячетырёх точек, однозначная определённость отображения тремя парами соответственных точек, неподвижные точки отображения. Групповые свойства. Общий вид дробно-линейного отображения круга насебя, верхней полуплоскости на себя и на круг.6. Экспонента и логарифм, степень с произвольным показателем.Экспонента, её периодичность и области однолистности, конформные отображения с её помощью. Логарифм и степень с произвольным показателем, их однозначные аналитические ветви и римановы поверхности, их производные.
Конформные отображения с их помощью.7. Функция Жуковского.Функция Жуковского, её области однолистности и конформные отображения. Обратная функция к функции Жуковского, её однозначные аналитические ветви и риманова поверхность.8. Функции тригонометрические и гиперболические, обратные к ним функции.Тригонометрические функции, их периодичность и области однолистности, конформные отображения сих помощью. Обратные тригонометрические функции. Функции гиперболической тригонометрии, связь стригонометрическими функциями.19. Интеграл по комплексному переменному.Определение интеграла по комплексному переменному вдоль кривой.
Ограниченность интегрируемой функции. Достаточные условия интегрируемостивдоль спрямляемой кривой. Оценки уклонения инR функцииRтегральной суммы от интеграла. Примеры 1 dz, z dz. Связь с криволинейными интегралами от функций двух действительных переменных. Два критерия интегрируемости функции вдоль спрямляемой кривой (без доказательства). Переход к пределу под знаком интеграла.
Интеграл как линейный непрерывный функционал. Аддитивность интеграла относительно пути интегрирования. Сведение интеграла покомплексному переменному к интегралу по действительному переменному. Производная и первообразнаявдоль пути. Формула Ньютона – Лейбница.10. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши, интеграл типа Коши.Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной области. Первообразная аналитическойфункции в области. Теорема Мореры.
Вычеты, две теоремы Коши о вычетах. Интегральная формулаКоши. Интеграл типа Коши, формулы для его производных. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций, формулы Коши для производных. Теорема Мореры. Первообразная аналитическойфункции в области.11. Пространства аналитических функций.Пространство A (G) всех функций, однозначных и аналитических в области G, его счётная нормируемостьи метризуемость. Теорема Вейерштрасса о последовательностях и рядах аналитических функций. Полнотапространства A (G).12.
Степенные ряды и ряды по целым степеням.Степенной ряд. Теорема Абеля, формула Коши – Адамара. Аналитичность суммы степенного ряда. Поведение ряда на границе круга сходимости. Ряди по целым степеням (z − a), их области сходимости,аналитичность их сумм. Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана, единственностьразложения, формулы и неравенства Коши для коэффициентов. Теорема Лиувилля. Теорема Римана обустранимой изолированной особой точке.
Связь величины радиуса сходимости степенного ряда и величинрадиусов сходимости ряда Лорана с расположением особых точек сумм этих рядов. Теорема Фату о поведении степенного ряда на границе круга сходимости (без доказательства). Действия со степенными рядами:арифметические действия, почленное дифференцирование и интегрирование, ряд рядов, подстановка рядав ряд, степенной ряд обратной функции.13. Теорема единственности и принцип максимума модуля.Нули аналитической функции, порядок нуля, лемма о нулях. Теорема единственности для аналитическихфункций.
Принцип максимума модуля, его простейшие следствия. Лемма Шварца.14. Изолированные особые точки однозначного характера.Изолированные особые точки однозначного характера, эквивалентность двух их классификаций. Полюс,порядок полюса, ряд Лорана в полюсе. Существенно особая точка, теорема Сохоцкого – Вейерштрасса.Теорема Пикара (без доказательства). Бесконечно удалённая точка как особая.
Формулы для вычислениявычетов. Применение вычетов к вычислению определённых интегралов. Лемма Жордана.Экзаменационные билетыЗаметим, что эти билеты (в отличие от программы экзамена) не соответствуют прочитанному курсу.1. Комплексные числа, комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Многозначные функции и их однозначные ветви на примере аргумента Arg z. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Метрика и топология комплексной плоскости: последовательностии пределы, бесконечно удалённая точка и расширенная комплексная плоскость, замкнутые и открытыемножества, области и порядок их связности, компакты и континуумы, кривые.2.
Стереографическая проекция, её формулы. Круговое свойство. Хордальная метрика в C.3. Свойство конформности стереографической проекции: постоянство растяжений и сохранение углов. Уголс вершиной в бесконечности.4. Симметрии сферы Римана и комплексной плоскости. Отображение w = z1 .5. Функции комплексного переменного. Предел функции, непрерывность, дифференцируемость, условия Коши – Римана. Правила дифференцирования. Аналитичность (голоморфность) функции в области и в точке(в том числе в бесконечности). Теорема Лумана – Меньшова (без доказательства).6.
Геометрический смысл комплексной дифференцируемости. Конформное отображение. Теоремы Х. Бора,Д. Е. Меньшова (без доказательства).27. Теорема Римана о конформном отображении, теорема Каратеодори о соответствии границ и принципсимметрии, условия нормировки конформного отображения (все без доказательства).8. Целые линейные и дробно-линейные функции, их основные свойства: конформный гомеоморфизм, круговое свойство, свойство симметрии.9. Целые линейные и дробно-линейные функции: сохранение сложного отношения четырех точек, однозначная определенность отображения тремя парами соответственных точек, неподвижные точки отображения,групповые свойства.10.
Общий вид дробно-линейного отображения круга на себя, верхней полуплоскости на себя и на круг.11. Экспонента, ее периодичность и области однолистности, конформные отображения с ее помощью.12. Логарифм и степень с произвольным показателем, их однозначные аналитические ветви и римановы поверхности, производные. Применения к конформным отображениям.13. Функция Жуковского, ее области однолистности; обратная к ней функция, ее однозначные аналитическиеветви и риманова поверхность. Применения.14.
Функции тригонометрические и гиперболические, их периодичность и области однолистности, обратные кним функции. Конформные отображения с их помощью.15. Области и кривые на плоскости. Определение интеграла по комплексному переменному вдоль кривой.Ограниченность интегрируемой функции.16.
Достаточные условия интегрируемости. Два критерия интегрируемости функции вдоль спрямляемой кривой (без доказательства).17. Примеры интегрирования: интегралы от f (z) = 1 и f (z) = z. Связь интеграла по комплексному переменному с криволинейными интегралами 1-го и 2-го родов.18. Переход к пределу под знаком интеграла. Интеграл как линейный непрерывный функционал. Аддитивность интеграла относительно пути интегрирования.19. Сведение интеграла по комплексному переменному к интегралу по действительному переменному.20.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
