Е.П. Долженко - Программа экзамена по комплексному анализу 5 и 6 семестры (1124361), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Производная и первообразная вдоль пути. Формула Ньютона – Лейбница.21. Интегральная теорема Коши в односвязной области.22. Интегральная теорема Коши в области любой связности.23. Вычеты, две теоремы Коши о вычетах. Интегральная формула Коши.24.
Интеграл типа Коши, формулы Коши для его производных. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций.25. Теорема Мореры. Первообразная аналитической функции.в области.26. Пространство A (G) всех однозначных аналитических функций в области G, его счетная нормируемость иметризуемость. Теорема Вейерштрасса о последовательностях и рядах аналитических функций.
Полнотапространства A (G).27. Степенной ряд. Теорема Абеля и формула Коши-Адамара. Аналитичность суммы степенного ряда. Поведение ряда на границе его круга сходимости.28. Ряды по целым степеням (z − a), их области сходимости, аналитичность их сумм. Поведение ряда награнице его области сходимости.29. Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана, единственность разложения, формулы инеравенства Коши для коэффициентов.30. Теорема Лиувилля, теорема Римана об устранимой изолированной особой точке.
Связь величины радиусасходимости степенного ряда и величин радиусов сходимости ряда Лорана с расположением особых точексумм этих рядов.31. Действия со степенными рядами: арифметические действия, почленное дифференцирование и интегрирование, ряд рядов, подстановка ряда в ряд, ряд обратной функции.32. Нули аналитической функции, порядок нуля, лемма о нулях. Теорема единственности для аналитическихфункций.33.
Принцип максимума модуля, его простейшие следствия. Лемма Шварца.34. Изолированные особые точки однозначного характера, эквивалентность двух их классификаций. Полюс,порядок полюса, ряд Лорана в полюсе.35. Существенно особая точка, теорема Сохоцкого. Теорема Пикара (без доказательства). Бесконечно удаленная точка как изолированная особая.36. Формулы для вычисления вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Лемма Жордана.3VI семестр1. Вычеты. Принцип аргумента и теорема Руше• Формулы для вычисления вычетов. Применение вычетов к вычислению определенных интегралов.Лемма Жордана.• Логарифмический вычет, его обобщение.• Один способ вычисления нулей аналитической функции.• Принцип аргумента.
Теорема Руше.2. Аналитическое продолжение• Устранимые множества неизолированных особых точек: хаусдорфовы меры, устранимые множествадля ограниченных аналитических функций, устранимые множества точек для аналитических функций, непрерывных в своих особых точках.• Аналитическое продолжение через границу области. Принцип симметрии Римана – Шварца.• Аналитическое продолжение по цепи и вдоль пути. Полная аналитическая функция, ее римановаповерхность и особые точки.√• Теорема о монодромии.
Области распадения функции z на однозначные аналитические ветви.• Модулярные функции для круга и полуплоскости. Малая теорема Пикара. Большая теорема Пикара(без доказательства).3. Компактные семейства аналитических функций• Компактные семейства однозначных аналитических функций, критерий Монтеля.• Теорема Витали о сходящихся последовательностях аналитических функций.• Теорема Гурвица о нулях сходящейся последовательности аналитических функций. Теорема о пределепоследовательности однолистных функций.4.
Отображения посредством аналитических функций• Локальное обращение аналитической функции: лемма о локальном обращении, принцип области(принцип открытости), его следствия. Обращение аналитической функции. Критерий локальной однолистности. Критерий конформности отображения в точке.• Дробно-линейность конформных отображений круговых областей друг на друга.• Теорема Римана о конформном отображении.• Соответствие границ при конформных отображениях областей. Понятие о теореме Каратеодори. Обратный принцип соответствия границ.• Конформно эквивалентные области. Условия единственности конформного отображения (условиянормировки).5.
Гармонические функции двух переменных• Гармонические функции двух переменных, их связь с аналитическими функциями. Гармоническисопряженные функции. Бесконечная дифференцируемость гармонических функций. Поток и циркуляция градиента.• Инвариантность гармоничности при голоморфной замене переменных.• Принцип экстремума и теорема о среднем для гармонических функций.• Аналитичность комплексно сопряженного градиента гармонической функции. Теоремы единственности для гармонических функций.• Теорема Лиувилля для гармонических функций. Теорема Харнака об устранимой особой точке.• Гармонические полиномы, связь их с тригонометрическими полиномами.• Интегралы Пуассона и Шварца, их ядра. Задача Дирихле в круге и жордановых областях.• Гармоническое продолжение.
Принцип отражения.• О приложениях к гидромеханике и электростатике.6. Начала операционного исчисления• Идея операционного исчисления и преобразование Лапласа.• Оригинал и изображение, аналитичность изображения, стремление его к нулю при Re z → ∞.• Линейность преобразования Лапласа, теоремы подобия, запаздывания оригинала и смещения изображения.• Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения.• Свертка оригиналов, её изображение. Изображение произведения оригиналов (без доказательства).• Формула обращения преобразования Лапласа, достаточное условие на функцию для того, чтобы онабыла изображением (всё без доказательств).• Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений.4Литература1.2.3.4.5.6.7.8.Шабат Б.
В. Введение в комплексный анализ. — М.: 1976.Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. — М.: 1978.Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. — М.: 1968.Привалов И. И. Введение в ТФКП. — М.: 1984.Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы ТФКП. М.: 1987.Долженко Е. П., Николаева С.
Н. ТФКП. Методические указания.Свешников А. Г., Тихонов А.Н., ТФКП. — М.: 1974.Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И., Лекции по ТФКП. — М.: 1989.Последняя компиляция: 22 июня 2005 г.Обновления документа — на сайте http://www.dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
