А.Г. Сергеев - Программа экзамена по комплексному анализу 5 и 6 семестров (1124357)
Текст из файла
Программа экзаменов по комплексному анализуЛектор — А. Г. СергеевV–VI семестры, 2002–2003 г.V семестр1. Комплексные числа, полярная форма комплексного числа, стереографическая проекция.2. Топология комплексной плоскости, пути и кривые, области на комплексной плоскости; теорема об открыто-замкнутом подмножестве связного множества.3. Вещественная и комплексная дифференцируемость функций на комплексной плоскости.4. Комплексная производная; производная по направлению; условия Коши – Римана.5.
Конформные отображения; геометрическая интерпретация комплексной производной.6. Дробно-линейные преобразования C; конформность дробно-линейных отображений.7. Группа дробно-линейных отображений. Круговое свойство дробно-линейных отображений.8. Свойство сохранения симметрии при дробно-линейных отображениях; свойство трех точек.9. Дробно-линейные автоморфизмы основных областей (круг, полуплоскость, плоскость, C).10. Интеграл от функции вдоль кривой и его свойства (линейность; аддитивность; независимость от параметризации; ориентированность). Оценка интеграла вдоль кривой.11. Лемма Гурса (теорема Коши для треугольников).12. Комплексная первообразная; единственность; существование первообразной в круге.13.
Первообразная вдоль пути; теорема существования. Формула Ньютона – Лейбница.14. Отношение гомотопности; теорема Коши. Односвязные области.15. Существование комплексной первообразной в односвязной области. Теорема Коши в многосвязной области.16. Интегральная формула Коши; теорема о среднем; формула Коши – Грина (без доказательства).17. Разложение голоморфной функции и ряд Тейлора; неравенства Коши; теорема Лиувилля.18. Голоморфность суммы степенного ряда и круге его сходимости, формула Коши – Адамара.19. Коэффициенты ряда Тейлора; бесконечная дифференцируемость голоморфной функции; формула Кошидля производных голоморфной функции.20. Теорема Мореры.
Три эквивалентных определения голоморфной функции.21. Нули голоморфной функции; разложение голоморфной функции в окрестности нуля; теорема единственности.22. Ряды из голоморфных функций; теорема Вейерштрасса. Задача аппроксимации и теорема Рунге.23. Разложение голоморфной функции в ряд Лорана.24. Ряды по целым степеням z; коэффициенты Лорана; неравенства Коши для коэффициентов Лорана.25.
Изолированные особые точки; описание устранимых особых точек и полюсов в терминах ряда Лорана.26. Теорема Сохоцкого; теорема Лиувилля (для целой функции с полюсом); рациональность мероморфнойфункции на расширенной плоскости.27. Вычеты; теорема Коши о вычетах.28. Вычет в терминах ряда Лорана; вычисление вычета; лемма Жордана; теорема о полной сумме вычетов.29.
Аналитическое продолжение гамма-функции Эйлера.30. Понятие об аналитическом продолжении. Аналитическое продолжение канонического элемента по цепочкеи вдоль пути. Эквивалентность аналитических продолжений по цепочке и вдоль пути.31. Единственность продолжения канонического элемента вдоль пути.32. Теорема о монодромии.33. Понятие многозначной аналитической функции. Аналитические элементы и их продолжение. Ветви аналитической функции.34.
Элементарные аналитические функции: корень n-й степени, логарифм.35. Особые точки аналитической функции. Точки ветвления конечного порядка. Разложение аналитическойфункции в ряд Пюизо.√36. Римановы поверхности функций z и Ln z.37. Определение римановой поверхности аналитической функции. Структура комплексного многообразия наримановой поверхности.1VI семестр1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.Логарифмический вычет.
Число нулей и полюсов функции, мероморфной в области. Принцип аргумента.Теорема Руше. Основная теорема алгебры.Принцип сохранения области.Локальное обращение голоморфных функций. Необходимое условие локальной однолистности.Теорема Гурвица. Предел последовательности однолистных голоморфных функций.Принцип максимума модуля. Лемма Шварца.Локально равномерно ограниченные семейства голоморфных функций.Теорема Монтеля. Непрерывные функционалы на компактных семействах функций.Автоморфизмы основных областей (расширенная плоскость, комплексная плоскость, единичный круг).Теорема Римана.Принцип соответствия границ. Теорема Каратеодори (без доказательства).Принцип симметрии.Конформное отображение верхней полуплоскости на прямоугольник. Интеграл Кристоффеля – Шварца.Эллиптический синус.
Периоды мероморфных функций.Общие свойства эллиптических функций (теорема Лиувилля, вычеты и значения эллиптической функциив фундаментальном параллелограмме, суммы нулей и полюсов).Функция Вейерштрасса.Двоякопериодичность функции Вейерштрасса. Поведение функции Вейерштрасса и ее производной в фундаментальном параллелограмме.Поле эллиптических функций с заданной решеткой периодов и его образующие.Дифференциальное уравнение для функции Вейерштрасса.Параметризация кубической кривой с помощью функции Вейерштрасса. Формула сложения точек.Модулярная функция.
Теорема Пикара.Гармонические функции. Бесконечная дифференцируемость, теорема о среднем, принцип экстремума.Лемма Харнака (без доказательства).Задача Дирихле. Единственность. Формула Пуассона, интеграл Шварца.Последняя компиляция: 22 июня 2005 г.Обновления документа — на сайте http://www.dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
