Лекции по квантовой механике (1124221), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Äâà èç íèõáóäóò ðàññìîòðåíû íèæå:Ìåòîä Ðèòöà: âûáåðåì ïðîèçâîëüíûé ïîëíûé íàáîð áàçèñíûõ ôóíêöèé ϕn ; òîãäàPψ = Cn ϕn .nP ∗PCm Cn (ϕm , H ϕn )(ψ, H ψ)c+ HcmnP=E==,∗ C (ϕ , ϕ )(ψ, ψ)Cmc+ Scnmnm,nãäå Hmn = (ϕm , H ϕn ), Smn = (ϕm , ϕn ). Òàêèì îáðàçîì, E ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëîì c; äëÿíàõîæäåíèÿ ìèíèìóìà E ïåðåïèøåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â âèäå E c+ S c = c+ H c è ïðîâàðüèðóåì åãî, èìåÿ â âèäó ïîñòîÿíñòâî ìàòðèö H è S: δE · c+ S c +E(δ c+ ·S c + c+ S · δ c) =δ c+ ·H c + c+ H · δ c . δE = 0 ⇒ δ c+ (H c −ES c) = 0 (ïîëó÷àåì ñóììó äâóõ ýðìèòîâî ñîïðÿæ¼ííûõ âàðèàöèé ñ ýðìèòîâî ñîïðÿæ¼ííûìè êîýôôèöèåíòàìè âàðèàöèè âûáèðàþòñÿïðîèçâîëüíî, ïîýòîìó îáà êîýôôèöèåíòà ðàâíû íóëþ). Òàêèì îáðàçîì, H c = ES c ìàòðè÷íûé àíàëîã óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.24Ìåòîä Õàðòðè: H = ĥ1 + ĥ2 + ĝ, ĥi ãàìèëüòîíèàíû, îïèñûâàþùèå äâå ÷àñòè ñèñòåìû, ĝ îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ýòèõ ÷àñòåé. Ïðè óñòðåìëåíèè âëèÿíèÿ ĝ ê íóëþ ïåðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ, ÷òî ïîçâîëÿåò íàéòè âîëíîâûå ôóíêöèè.
Åñëè æå âëèÿíèåì ĝíåëüçÿ ïðåíåáðå÷ü, òî áóäåì èñêàòü ψ = ψ1 ψ2 (ïðèáëèæåíèå ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ ).δψ = δψ1 + ψ1 δψ2 ; ñîãëàñíî äîêàçàòåëüñòâó âàðèàöèîííîé òåîðåìû (δψ, (H −E)ψ) = 0 ⇒ZZZZ∗∗∗⇒ δψ1 dV1 ψ2 (H −E)(ψ1 ψ2 )dV2 + δψ2 dV2 ψ1∗ (H −E)(ψ1 ψ2 )dV1 = 0V1V1V2V2(V1 è V2 îáú¼ìû êîíôèãóðàöèîííûõ ïðîñòðàíñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòÿì ñèñòåìû).Âàðèàöèè δψ1 è δψ2 íåçàâèñèìû, ïîýòîìóR ∗R ψ ∗ (H −E)(ψ ψ )dV = 01 22 ψ2 (ĥ1 + ĥ2 + ĝ −E)(ψ1 ψ2 )dV2 = 02V2⇒⇒ VR2R∗∗ ψ1 (ĥ1 + ĥ2 + ĝ −E)(ψ1 ψ2 )dV1 = 0 ψ1 (H −E)(ψ1 ψ2 )dV1 = 0V1V1 ĥ1 +(ψ2 , ĝ ψ2 )2 ψ1 = E − (ψ2 , ĥ2 ψ2 )2 ψ1(ĥ1 + ĝ2 )ψ1 = E2 ψ1⇒⇒ ĥ2 +(ψ1 , ĝ ψ1 )1 ψ2 = E − (ψ1 , ĥ1 ψ1 )1 ψ2(ĥ2 + ĝ1 )ψ2 = E1 ψ2 äàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ èòåðàöèé, ïîñêîëüêó àíàëèòè÷åñêîãîðåøåíèÿ îíà ïî÷òè âî âñåõ ñëó÷àÿõ íå èìååò (ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ Ei = E − (ψi , ĥi ψi )i ,ĝi = (ψi , ĝ ψi )i îïåðàòîðû, ïîñêîëüêó â îáùåì ñëó÷àå ĝ äåéñòâóåò íà âñå ïåðåìåííûå).3.5.Àäèàáàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå.Äàííîå ïðèáëèæåíèå ðàçðàáîòàíî äëÿ ñèñòåì, ñîäåðæàùèõ êàê ë¼ãêèå, òàê è ñóùåñòâåííî áîëåå òÿæ¼ëûå ÷àñòèöû.
Îáû÷íî ë¼ãêèìè ÷àñòèöàìè ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðîíû, à òÿæ¼ëûìè ÿäðà; ïóñòü îáùàÿ ìàññà ýëåêòðîíîâ ðàâíà m, îáùàÿ ìàññà ÿäåð M , êîîðäèíàòûýëåêòðîíîâ îáîçíà÷èì ÷åðåç r, à êîîðäèíàòû ÿäåð ÷åðåç R . Òîãäà H = TR + Tr + V(r, R),ãäåX ~2 ∂ 2X ~2 ∂ 2Tr = −,T=−R2mi ∂ ri22Mi ∂ Ri2ii îïåðàòîðû êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé ýëåêòðîíîâ è ÿäåð, à V(r, R) îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîéýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèé ìåæäó âñåìè ÷àñòèöàìè, êîòîðûé ìû ñ÷èòàåì ìóëüòèïëèêàòèâíûì. Ïîëàãàÿ TR ìàëûì âîçìóùåíèåì, çàïèøåì H = H0 + TR , H0 = Tr + V . íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò âèä(H0 − εn (R))ϕ(R, r) = 0 êîîðäèíàòû òÿæ¼ëûõ ÷àñòèö ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðîì, à áóêâàn îáîçíà÷àåò ñîâîêóïíîñòü êâàíòîâûõ ÷èñåë, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå ÿäåð.
 îáùåì ñëó÷àåP áóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (H −E)Ψ(R, r) = 0 â âèäå Ψ(R, r) =Φn (R)ϕn (R, r) (ñïåêòð H0 ìîæåò áûòü êàê äèñêðåòíûì, òàê è íåïðåðûâíûì, ïîýòîìó ânäàëüíåéøèõ âûêëàäêàõ ïðè íåîáõîäèìîñòè âîçìîæíà çàìåíà ñóììû íà èíòåãðàë). Çàìåòèì, ÷òî!!XXX ~2 ∂ ϕ n ∂ Φn+ Φn · T R ϕ n ;TR Ψ = TRΦn (R)ϕn (R, r) =ϕn · TR Φn −M∂R∂RiiinniXH0 ϕn = εn ϕn ⇒ (H −E)Ψ = 0 =(εn −E)ϕn Φn + TR Ψn25(V ñ÷èòàåì ìóëüòèïëèêàòèâíûì, ïîýòîìó H0 Ψ =PΦn (R)εn ϕn (R, r)). Äîìíîæèì ñêàëÿðníî ðàâåíñòâî íà ϕm ñëåâà; òîãäà, ïîñêîëüêó (ϕm , ϕn ) = δnm , íàéä¼ì!X ~ 2 ∂ ϕ n ∂ ΦnX(TR + εm (R) − E)Φm (R) =ϕm ,− Φn TR ϕn =Lmn Φn ,2m∂R∂RiiinniZZ~2 X∂ϕn (R, r)∂∗ãäå îïåðàòîð Lmn =ϕm (R, r)dr ·− ϕ∗m (R, r) TR ϕn (R, r)dr.2M i∂ Ri∂ RiX0Φm (R)Ïîëàãàÿ âëèÿíèå Lmn ìàëûì, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ (TR + εm (R))Φm (R) = Emíà êîîðäèíàòû ÿäåð. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ âñåé ñèñòåìû çàïèøåòñÿ êàê Ψm = Φm (R)ϕm (R, r),òî åñòü äëÿ å¼ íàõîæäåíèÿ íåîáõîäèìî íåçàâèñèìî ðåøàòü óðàâíåíèÿ íà Φ è ϕ, ïðè÷¼ìóðàâíåíèå íà Φ ñîäåðæèò âñåãî îäèí îïåðàòîð TR , òî åñòü âëèÿíèå ýëåêòðîíîâ íà ñîñòîÿíèåÿäåð íå ó÷èòûâàåòñÿ (÷òî âïîëíå åñòåñòâåííî èç-çà çíà÷èòåëüíîé ðàçíèöû â ìàññå).
 êâàíòîâîé õèìèè äëÿ óïðîùåíèÿ çàäà÷è âñåãäà èñïîëüçóåòñÿ àäèàáàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå,ïðè÷¼ì ñîñòîÿíèå ÿäåð ïîëàãàåòñÿ êëàññè÷åñêèì è èññëåäóåòñÿ ìåòîäàìè êëàññè÷åñêîéìåõàíèêè. Àíàëîãè÷íî îáùåìó ðåçóëüòàòó òåîðèè âîçìóùåíèé êðèòåðèåì ïðèìåíèìîñòè0àäèàáàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå (Φm , Lmn Φn ) |Em− En0 |.264.Ïðèìåíåíèå ôîðìàëèçì Äèðàêà ê ðåøåíèþ çàäà÷ êâàíòîâîéìåõàíèêè.4.1.Îáùèé ôîðìàëèçì êâàíòîâîé ìåõàíèêè.Êàê óæå îòìå÷àëîñü â 2.7, ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ïðåäñòàâëåíèéâåêòîðîâ ñîñòîÿíèé, èç-çà ÷åãî ïðèâåä¼ííûå âûøå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ êâàíòîâîé ìåõàíèêè îêàçûâàþòñÿ íåóíèâåðñàëüíûìè îíè çàïèñàíû â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè,à ïåðåõîä ê äðóãèì ïðåäñòàâëåíèÿì çà÷àñòóþ ñîïðîâîæäàåòñÿ ñëîæíûìè âû÷èñëåíèÿìè.Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáåæàòü ýòîé òðóäíîñòè, Äèðàêîì áûë ñîçäàí îáùèé ôîðìàëèçì êâàíòîâîé ìåõàíèêè èëè ôîðìàëèçì êåò-, áðà-âåêòîðîâ.Îïðåäåëåíèå: êåò-âåêòîðîì (|u i) íàçûâàåòñÿ âñÿêèé âåêòîð, õàðàêòåðèçóþùèé ñîñòîÿíèå ñèñòåìû íåçàâèñèìî îò âûáðàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.nPÏîñòóëàò: ïðîñòðàíñòâî êåò-âåêòîðîâ ëèíåéíî, òî åñòü âñå âåêòîðûCi |ui ii=1!Rξ2C(ξ)|ξiξ ÿâëÿþòñÿ âåêòîðàìè ñîñòîÿíèÿ.
Ñîñòîÿíèÿ |u i è C|u i ñîâïàäàþò.ξ1Ïîñòóëàò: âñÿêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êåò-âåêòîðîâ ñõîäèòñÿ ê êåò-âåêòîðó (ñâîéñòâîïîëíîòû ), à äëÿ âñÿêîãî êåò-âåêòîðà ìîæíî âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ê íåìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êåò-âåêòîðîâ (ñâîéñòâî ñåïàðàáåëüíîñòè ). Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî êåò-âåêòîðîâÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì.Îïðåäåëåíèå: áðà-âåêòîðîì íàçûâàåòñÿ âåêòîð, ýðìèòîâñêè ñîïðÿæ¼ííûé ê äàííîìóêåò-âåêòîðó (h u| = (|u i)+ ). Òàêîå îïðåäåëåíèå ïîçâîëÿåò çàïèñûâàòüp ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ â âèäå h u|v i (brackets) è îïðåäåëèòü äëèíó êåò-âåêòîðà êàê h u|u i.Ïîñòóëàò: âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÷àñòèöû, ñîñòîÿíèå êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ âåêòîðîì |u i,â ïðîèçâîëüíîì g -ïðåäñòàâëåíèè ìîæåò áûòü íàéäåíà êàê ψu (g) = h g|u i, ãäå h g| âåêòîð, ñîäåðæàùèé ïåðåìåííûå, ñîîòâåòñòâóþùèå g -ïðåäñòàâëåíèþ. Íàáîð ïåðåìåííûõ uíàçûâàåòñÿ èíäåêñîì ñîñòîÿíèÿ, à íàáîð ïåðåìåííûõ g èíäåêñîì ïðåäñòàâëåíèÿ. ïðîñòðàíñòâå êåò-âåêòîðîâ íåñëîæíî ââåñòè ëèíåéíûå îïåðàòîðû, äåéñòâóþùèå íàêåò-âåêòîðû ñëåâà; î÷åâèäíî, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ êåò-âåêòîð.
Ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàìëèíåéíîé àëãåáðû òå æå ñàìûå îïåðàòîðû ìîãóò äåéñòâîâàòü íà áðà-âåêòîðû ñïðàâà, çàäàâàÿ íîâûé áðà-âåêòîð.Îïðåäåëåíèå: îïåðàòîð P = |n i h n| íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèîííûì îïåðàòîðîì (ïðîåêòîðîì) íà íàïðàâëåíèå |n i. Ïðîåêöèîííûå îïåðàòîðû ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü ìàòðè÷íûåïðåäñòàâëåíèÿ êåò- è áðà-âåêòîðîâ, à òàêæå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ.
Ïóñòü |n i ñîáñòâåííûå âåêòîðûîïåðàòîðà A, îáðàçóþùèå áàçèñ: A |n i = an |n i, h n1 |n2 i = δn1 n2 . ÎïåðàòîðPPA = |n i h n| íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ïðîåêòîðîì.nPA |n2 i =X|n1 i h n1 |n2 i =n1Xδn1 n2 |n2 i = |n2 in1 îïåðàòîð PA íå èçìåíÿåòáàçèñíûåPP âåêòîðû, à ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì.∀ |u i PA |u i = |n i h n|u i = un |n i ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå; êîýôôèöèåíòû Ôóðüånnu|u i â âèäå ñòîëáöà: |u i = (h n|u i)n . Àíàëîãè÷íî ∀ h v| h v| PA =Pn çàäàþò ïðåäñòàâëåíèåPh v|n i h n| =vn h n| êîýôôèöèåíòû vn çàäàþò ïðåäñòàâëåíèå h v| â âèäå ñòðîêènn(h n|v i∗ )n . Î÷åâèäíî,XXXXh v|u i =h v|m i h m| |n i h n|u i =h v|m i δmn h n|u i =h n|v i∗ h n|u i,mnm,n27nòî åñòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóåò óìíîæåíèþ ñòðîêè íà ñòîëáåö.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà BXXXB = PA B PA =|m i h m| B|n i h n| =Bmn |m i h n|,mnm,nãäå Bmn = h m| B |n i, à ìàòðèöà B íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé îïåðàòîðà B â áàçèñå âåêòîðîâ|n i .Îïðåäåëåíèå: ïóñòü âåêòîðû |u(1) i ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó E1 (dim E1 = N1 ), àTâåêòîðû |u(2) i ïðîñòðàíñòâó E2 (dim E2 = N2 ). E1 E2 = 0; òîãäà âåêòîðû |u(1) u(2) i,óñëîâíî ïðåäñòàâëÿåìûå â âèäå |u(1) i |u(2) i, ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó E1 ⊗ E2 , íàçûâàåìîìó òåíçîðíûì (êðîíåêåðîâñêèì) ïðîèçâåäåíèåì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ E1 è E2 .Î÷åâèäíî, dim(E1 ⊗ E2 ) = N1 N2 , à, åñëè îïåðàòîðû A(1) è A(2) äåéñòâóþò â ïðîñòðàíñòâàõE1 è E2 ñîîòâåòñòâåííî, òî [A(1) , A(2) ] = 0.4.2.Îïåðàòîð óãëîâîãî ìîìåíòà.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîèòü òåîðèþ, èíâàðèàíòíóþ ïî îòíîøåíèþ ê âûáîðó ïðåäñòàâëåíèÿ, íå áóäåì àïåëëèðîâàòü ê êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ,à âîñïîëüçóåìñÿ ëèøü ïðåäâàðèòåëüíî âûâåäåííûìè êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè.Êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ: ïóñòü Jx , Jy , Jz êîìïîíåíòû îïåðàòîðà óãëîâîãîìîìåíòà J .
 êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè Jx = ŷ p̂z − ẑ p̂y , Jy = ẑ p̂x − x̂p̂z , Jz = x̂p̂y − ŷ p̂x .[Jx , Jy ] = [ŷ p̂z , ẑ p̂x ] − [ŷ p̂z , x̂p̂z ] − [ẑ p̂y , ẑ p̂x ] + [ẑ p̂y , x̂p̂z ] = x̂p̂y [ẑ, p̂z ] + ŷ p̂x [p̂y , ŷ] = i~ Jz (ñì.îñíîâíûå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ â 2.1); àíàëîãè÷íî [Jy , Jz ] = i~ Jx , [Jz , Jx ] = i~ Jy .J2 = J2x + J2y + J2z ⇒ [Jα , J2 ] = 0, α = x, y, z; â ÷àñòíîñòè, [Jz , J2 ] = 0 ⇒ J2 Jz = Jz J2 .Îïåðàòîðû Jz è J2 êîììóòèðóþò, ïîýòîìó (ñì. 1, òåîðåìà î êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðàõ) îíè èìåþò îáùèé îðòîíîðìèðîâàííûé íàáîð ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ |λ, κ i, ãäå λ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ J2 (J2 |λ, κ i = λ|λ, κ i), à κ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ Jz (Jz |λ, κ i =κ|λ, κ i). Çàìåòèì, ÷òîXX2 ≥ 0;h λ, κ| J2 |λ, κ i = λ =h λ| J2α |λ, κ i =h λ, κ| J+α Jα |λ, κ i = Jα |λ, κ iααJ2z |λ, κ i = κ2 |λ, κ i ⇒ κ2 = h λ, κ| J2z |λ, κ i = h λ, κ| J2 |λ, κ i − h λ, κ| J2x +Jy2 |λ, κ i = λ −h λ, κ| J2x + J2y |λ, κ i ⇒ κ2 ≤ λ, ïîñêîëüêó+h λ, κ| J2x + J2y |λ, κ i = h λ, κ| J+x Jx |λ, κ i + h λ, κ| Jy Jy |λ, κ i ≥ 0.Ââåä¼ì îïåðàòîðû J+ è J− : J± = Jx ±i Jy , íàçûâàåìûå îïåðàòîðàìè ïîâûøåíèÿ è ïîíèæåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
