Ю. Карпов - Иммитационное моделирование систем с AnyLogic 5 (1124147), страница 43
Текст из файла (страница 43)
что случайная величина Х примет значение х, запись и < У< Ь обозначает событие, состоящее в том, что случайная величина )'примет какое-нибудь значение из.интервала [а, Ь[. Самой полной характеристикой случайной величины является закон ее распределения. Законом распределения случайной величины называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями, соответствующими этим значениям.
Наиболее употребительным законом распрелеления случайной величины является ее функция распределения. Функция Р[х) распределения случайной величины Х (иногда называемая интегральной функцией распределения вероятностей) — это такая функция вещественной переменной х, значение которой при каждом х равно вероятности выполнения неравенства Х< х, т. е. Р(х) определяется для каждого х следующим образом: г!х) = Р(Х<х) для- < х< где Р(Х < х) — вероятность события Х < х. Иными словами, Р[х) — это вероятность того, что после выполнения эксперимента случайная величина Х получит значение, не превышавшее число х.
Функция распределения Р[х) имеет следующие свойства: П для всех значений ж О < У[х) < 1; П Р[х) является неубывающей функцией, т. е.: ° (х!~ х2. х! < х2) 6х!) — Р[х2) П У!х) изменяется от О до 1: 11п2„ Цх) = О, 1(пт„ Цх) = 1. Если случайная величина Х принимает значения только из конечного или счетного множества, она называется дискретной.
Вероятность, с которой дискретная величина Х принимает значение хь определяется так: Р(х!) = Р(Х = х;), !' = 1, 2, причем выполняется равенство: ,'~„р(х;) = 1. 1=! Глава 10. Разработка и анализ стохастичвских моделей в среде Апу( од1с 207 Функция распределения дискретной случайной величины К в соответствии с данным ранее определением запишется так: Р(х)= ,"~ р(х;).
л;.<э В имитационном моделировании обычно используются случайные величины, множество возможных значений которых составляет непрерывный интервал. Будем говорить, что случайная величина Х является непрерывной, если существует неотрицательная функция Ях), которая определена для всех вещественных значений х и имеет следующее свойство: для любого множества С вещественных чисел справедливо: с дополнительным условием Р(Х и С) = ) Г (х)Их, с Функция ~ называется плотностью распределения (вероятностей) случайной величины Х. Функция Ераспределения случайной величины Х определится теперь так: С некоторыми допущениями можно считать, что ~(х) — зто производная функции )(х) (рис. 10.1). рис.
10.1. Г1лотность распределения и функция распределения непрерывной случайной величины Часть тд атетодслогичесиие вопросы использования моделей 2ОВ В частности, если а и Ь вЂ” любые вещественные числа, лля которых а < Ь, и ! = '(с, Ь! — интервал вещественных чисел, то справедливо соотношение (рис. 10.2): ь Р(Х ц 1) = ) г (х)ттх = Г(Ь) - Г(а) . И '(а) Рис, 10.2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (а, Ь) 10.3. Метод Монте-Карло Способ имитационного моделирования процессов с помощью генерации последовательностей случайных величин получил общее название метаод Монте-Кпрло, поскольку именно рулетка является одним из самых старых генераторов случайных чисел.
Метод Монте-Карло используется не только для анализа систем в условиях неопределенности. Рассмотрим одно из самых простых применений этого метода для определения вполне детерминированной величины — для вычисления значения числа тс Возьмем квадрат со стороной 2В, тогда его плошадь 4йз. Плошадь вписанной в этот квадрат окружности равна яКз. Отношение плошали окружности к площади квадрата равно я/4. Построим имитационную модель, которая дает возможность вычислить число и с любой требуемой точностью, так. Будем генерировать пару случайных чисел в интервале ! — Я, А) с помощью генератора случайных чисел с равномерным распределением и рассматривать эти числа как пары Глава 10.
Разработка и анализ стохастических моделей а среде Япу1одю ЯЮ координат (Х, У) случайной точки. Отношение числа точек, которые попадут внутрь вписанной окружности (т. е. тех, у которых Хз + У2 < т(2), к числу всех сгенерированных точек внутри квадрата, будет приближаться к числу я/4. Построим такую модель в Апу!.Ой)с. Создайте новый проект сь1в1орз.
В окне редактора корневого активного объекта ма1п введите один параметр а (радиус вписанной окружности) со значением )00 и две переменные: и — число сгенерированных случайных ТОЧЕК И Мбча1 — ЧИСЛО ТОЧЕК. КОтсрЫЕ ПОПада(От ВНутрЬ ВПИСаННОй ОКружности. Их начальные значения установите О. Кроме того, введите переменную ввгр1, которая будет подсчитывать оценку числа я в процессе моделирования, а также переменную в, которая будет отражать относительную погрешность оценки. Все эти переменные ве(цественные.
Задача нашей имитационной модели — многократно генерировать случай- НЫЕ КООрдИНатЫ ТОЧКИ В ИНтЕрВаЛЕ (-я, а], дОбаВЛятЬ В ПЕрЕМЕННуЮ Мбчаз единицу, если очередная точка попадает внутрь окружности радиуса я, и подсчитывать оценку числа я по формуле явгр1=4*моча1/и.
Организуем генерацию точек с помощью циклического статического таймера. За каждый шаг по времени для быстроты будем генерировать сразу )00 точек. Введите таймер в поле редактора модели, и в поле Действие при срабатывании окна Свойств таймера введите следующий код: гог (1пг 1=0; 1<100; 1++ ) ( и++; доцЬ1е Х = цптгогю( -а, я ]; // генерируем случайные координаты боцьае У = цпягогж( — и, и ): 1г(х*х + у*у < а*а) // если точка попадает внутрь окружности, ЬО а1++; // то увеличиваем Мбча1 ) Хзсрт = 4*ма а1/М) // подсчитываем оценку числа я егг = аьв(месь.р1 — еэгр1)/магно.в1( // подсчитываем ошибку Для вычисления ошибки здесь в качестве точного значения числа я исполь- ЗуЕтея КОНСтаята рг КЛаССа Месь яЗЫКа Зава.
СООтастетВУЮШаЯ МОДЕЛЬ С ИМЕНЕМ СЬ1в1оР1 НаХОДИтСЯ В ПаПКЕ )ЫМе]Ехатпр)ез1рап )!. Для наглядности в этой модели лобавлена анимация с именем ап'маг1оп, и в код Действие ири срабатывании окна свойств таймера добавлены следующие операторы: Яьареоча1 т]ос = пеи Бьаребча1( Х, У, 1. ); // порождается новый //гра$ический объект — окружность радиуса 1 с координатами Х, У цос.ве111песо1ог( оо1от ]; // у окружности устанавливаем цвет оо1ог бог.эегв111Со1ог( со1ог ]т // это цвет заливки и цвет линии аг)юатзоп.асМ( б)оГ ); // эта точка добавляется в анимацию Часть |1 Методологические вопросы использования моделей Цвет сотот устанавливается либо красным, если точка попадает во вписанную окружность, либо синим в противном случае.
После запуска модели вы увидите результат, представленный на рис. !0.3. Рис. 1О.Э. Выполнение модели, подсчитывающей число л Состояние модели, представленное на рис. 10.3, показывает, что прошло 3000 испытаний. При случайной генерации внутрь окружности радиуса й попали 235б точек. Это определяет значение я как 4'2356/3000 = 3.1413(3).
Относительная погрешность определения числа л равна 8*10-з, т. е. менее одной сотой процента. 10.4. Имитационный эксперимент в условиях неопределенности Задачи принятия решений в условиях неопределенности встречакттся в жизни на каждом шагу, и имитационное моделирование является основным способом получения обоснованного решения в этих условиях. В качестве входных данных имитационной модели в таких задачах использукттся случайные величины, поэтому и выходные данные прогона имитационной модели будут случайными величинами.
Конечно, каждый прогон имитационной модели должен выполняться только при конкретных значениях параметров. Например. для оценки будущей прибыли на автозаправочной станции нужно задать конкретные значения цены на топливо и эксплуатационные расходы в будущем году. Эти значения могут быть только какими-либо конкретными реализациями случайных величин, поэтому и результаты, полученные после прогона модели с этими Глава 10. Разработка и анализ стохастических моделей в с де Япуьод~с 211 случайно выбранными входными значениями, будут тоже случайными значениями.
Для получения разумной характеризации выходных случайных величин нужно многократно выполнять имитационную модель, выбирая различные реализации случайных входных параметров (рис. 10.4). Рис. 10.4. Многократное выполнение имитационной модели в условиях неопределен- ности входных параметров Вектор входных случайных значений следует, конечно, выбирать в соответствии с их вероятностными распределениями, известными или предполагаемыми. Очевидно, что любой результируюцтий показатель исследуемой модели в этом случае тоже будет величиной случайной с некоторым законом распределения, характеристики которого можно определить в результате многократного выполнения имитационного эксперимента (рис.
10.5). Рис. 10.6. Многократное выполнение имитационной модели при генерации входных параметрОв как реализаций случайных величин Оба блока — блок генерации случайных реализаций входных величин и блок анализа статистических характеристик случайных реализаций выходных характеристик модели — можно включить в имитационную модель. Тогда ее можно считать просто преобразователем случайных величин (рис. 10.6). Рис.
10.6. Имитационная модель как преобразователь случайных величин Часть В. Методологические вопросы использования моделей В Апу!.ой!с включено 37 генераторов случайных величин с наиболее часто встречаюшимися вероятностными распредеЛениями: равномерным, экспоненциальным, Бернулли, биномиальным и т. д. Все их можно найти в 7~ководстпве пользователя Апу! оя!с.
Все классы вероятностных распределений унаследованы от класса пьвес. Они называются пзвесвхрооеосье1, пзвстсы, пзвсснозззь1 и т.д. Класс пьвст имеет только один абстрактный метод две(!, возврашаюший случайное значение, сгенерированное по этому закону распределения. Пользователь может определить свое вероятностное распределение, для чего нужно создать свой класс распределения и унаследовать его от базового класса гцесх. Методы классов распределений подробно описаны в Справочнике классов Авуаров!с. У класса хссгчеоьбесс есть унаследованные от класса воос статические методы, которые идентичны описанным ранее методам классов вероятностных распределений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
