Билеты 2003-го года от А.Т. Фоменко (1124112)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Экзаменационная программа по курсу дифференциальной геометрии

Осенний семестр 2003 г.

Лектор — А. Т. Фоменко

1. Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма. Ее явный вид для графика функции.

2. Инварианты пары форм. Средняя и гауссовы кривизны. Главные направления и главные кривизны. Теорема об ортогональности главных направлений гиперповерхности.

3. Кривые на поверхности. Нормальные сечения. Теорема об отношении первой и второй квадратичной форм. Формула Менье.

4. Теорема о совпадении собственных чисел пары форм с главными кривизнами. Формула Эйлера.

5. Средняя и гауссовы кривизны для двумерных поверхностей. Примеры поверхностей постоянной гауссовой кривизны (положительной, нулевой, отрицательной).

6. Минимальные поверхности. Мыльные пленки, формулировка теоремы Пуассона-Лапласа о границе раздела двух сред (без доказательства). Уравнение минимальной поверхности. Примеры.

7. Гармонические и минимальные поверхности. Гармоничность минимальной поверхности в конформных координатах.

8. Тензор как полилинейное отображение. Тензорное поле на многообразии. Примеры тензорных полей из механики: тензор деформации сплошной среды, тензор напряжений, закон Гука. Алгебраические операции над тензорными полями.

9. Симметричные и кососимметричные тензорные поля. Кососимметрические тензоры максимального ранга. Их связь с римановым объемом на многообразии.

10. Внешние дифференциальные формы. Внешнее умножение форм.

11. Внешнее дифференцирование внешних форм. Замкнутые и точные формы. Группы когомологий многообразия. Примеры вычисления.

12. Векторные поля и замкнутые, точные формы. Бездивергентные и потенциальные потоки жидкости. Лемма Пуанкаре для случая плоскости.

13. Операция "звездочка" на формах в евклидовом пространстве и ее свойства. Примеры операции "звездочка" на плоскости и в пространстве.

14. Интеграл внешней формы по подмногообразию (по поверхности). Ориентация, индуцируемая на краю многообразия. Формулировка теоремы Стокса.

15. Доказательство теоремы Стокса.

16. Частные случаи формулы Стокса на плоскости и в трехмерном пространстве (Гаусс, Грин, Остроградский). Следствие из теоремы Стокса: теорема Коши о вычетах.

17. Введение ковариантного дифференцирования (связности) в криволинейных координатах в евклидовом пространстве. Появление символов Кристоффеля.

18. Вычисление явного вида операции "набла" (связности) на векторах, ковекторах и линейных операторах в криволинейных координатах в евклидовом пространстве.

19. Общее определение аффинной связности = ковариантного дифференцирования на гладком многообразии. Символы Кристоффеля, тензор кручения, симметричные связности.

20. Алгебраические свойства ковариантного дифференцирования.

21. Симметричные римановы связности. Теорема существования и • единственности.

22. Параллельный перенос в аффинной связности. Уравнение параллельного переноса. Геодезические. Формулировка теоремы об общих свойствах геодезических на римановом многообразии.

23. Параллельный перенос в римановой связности. Перенос вдоль геодезических. Двумерный случай.

24. Параллельный перенос и геодезические на плоскости, конусе, сфере, плоскости Лобачевского, на торе.

25. Теорема об оценке сверху размерности группы изометрий риманова многообразия. Следствие: описание групп изометрий плоскости, сферы, плоскости Лобаческого.

26. Тензор кривизны Рима на. Координатное и инвариантное определения Их эквивалентность.

27. Алгебраические свойства тензора кривизны (теорема о симметриях тензора кривизны). Тензор Риччи, скалярная кривизна. Пример из физики: уравнения Эйнштейна.

28. Теорема о скалярной кривизне двумерной поверхности и гауссовой кривизне.

29. Критические и регулярные значения гладкого отображения. Теорема Сарда (без доказательства). Степень гладкого отображения. Гладкая гомотопия.

30. Теорема об инвариантности степени гладкого отображения многообразий при гомотопии и независимость степени от выбора точки.

31. Примеры вычисления степени. Теорема алгебры о корнях полинома. Теорема Брауэра.

32. Степень отображения и интегралы от внешних форм максимальной степени (теорема об отображении форм максимальной степени). Степень гауссова отображения.

33. Интеграл от гауссовой кривизны по замкнутой поверхности. Связь с родом поверхности (теорема Гаусса-Бонне).

34. Индекс векторного поля и степень отображения. Вычисление индексов векторных полей. Индекс векторного поля в ограниченной области евклидова пространства.

35. Теорема о существовании нуля гладкого векторного поля на двумерной сфере.

36. Вариационные принципы. Функционалы, их экстремали и уравнения Эйлера-Лагранжа. Примеры из механики и физики.

37. Функционалы длины и действия кривой. Геодезические как экстремали функционалов длины и действия. Формулировка теоремы о геодезических, как о кратчайших.

38. Функционал площади двумерной поверхности в трехмерном пространстве. Уравнения Эйлера и теорема об экстремальности минимальных поверхностей, для функционала площади.

[Mexmat.Net][http://www.mexmat.net/]

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов вопросов/заданий